四川省成都市金牛区20192020学年八年级下学期期末数学试题(含答案及解析)

2019-2020学年四川省成都市金牛区八年级（下）期末数学试卷A卷一.选择题（共10小题）x+1.若分式一有意义，则％的取值范围是（ ）x-1A.%*1 B.%，-1 C.x=1 D.x=-1【答案】A【解析】【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解.【详解】根据题意得：％-1W0,解得：XWL故选：A.【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题..下列图形中，是中心对称图形的是（ ）【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解.【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；。、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合..下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.12a2b2=3a・4ab2 B.（%+4）（%-4）=%2-16Cam+an=a（m+n） D.%-1=%（1-—）%【答案】C【解析】【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定．【详解】A、左边不是多项式的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、am+an=a（m+n）是因式分解，故此选项符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义，解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．.若m>n，则下列判断正确的是（ ）mnA.m-2<n-2 B.—>— C.6m<6n D.-8m>-8n33【答案】B【解析】【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．【详解】A、将m>n两边都减去2得：m-2>n-2,故此选项错误；mnB、将m>n两边都除以3得：y>3，故此选项正确；。、将m>n两边都乘6得：6m>6n，故此选项错误；D、将m>n两边都乘-8得：-8m<-8n，故此选项错误.故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）-180°,列式求解即可.【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得,(n-2)-180°=900°,解得n=7.故选C.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.6.F列等式一定成立的是（ ）A.—U CL =---b b3aaB.——=—6b 2bC.【答案】B6.F列等式一定成立的是（ ）A.—U CL =---b b3aaB.——=—6b 2bC.【答案】B【解析】【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.a【详解】A、原式二b，原变形错误,故此选项不符合题意;原式=，原变形正确,故此选项符合题意;C、a—1原式=正干,原变形错误,故此选项不符合题意;a原式:土厂原变形错误,故此选项不符合题意;故选：B.【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型..如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点。，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是A.AB//DC，AD〃BC.AB=DC,AD=BCC.AOC.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD/BC【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可.【详解】A、'：AB//CD,AD//BC,•・四边形A5C。是平行四边形，故此选项不符合题意；B、'：AB=DC,AD=BC,•・四边形A5C。是平行四边形，故此选项不符合题意；。、'：AO=CO,BO=DO,•・四边形A5C。是平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB=DC, 无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意;故选：D.【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键.8.如图，矩形的对角线AC、5。相交于点O,ZAB0=60°,若矩形的对角线长为6.则线段4。的A.333 B.4 C.2<3 D.3【答案】A【解析】【分析】由矩形的性质可得AC=2AO,BD=2BO,AC=BD=6,可证^AOB是等边三角形，可得AB=3=OA,由勾股定理可求解.【详解】•・•四边形ABCD是矩形，•・AC=2AO,BD=2BO,AC=BD=6,：.AO=OB=3,ZABO=60°,•・△AOB是等边三角形，•・AB=3=OA,

/.AD=4BD2—AB2=73^9=3道，故选：A.【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键..如图，在△A6C中，ZBAC=70°,ZC=30°,分别以点A和点。为圆心，大于;AC的长为半径画弧,两弧相交于点MN,作直线MN交6C于点。，连接A。，则NAW的度数为（ ）C.60°D.C.60°D.70°【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得出NDAC=ZC=30°,进而求出NBAD的度数.【详解】由作图可知：MN垂直平分线段AC,可得DA=DC,则NDAC=NC=30°,故NBAD=70°-30°=40°,故选：A.【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型..如图， 口ABCD中，ZADO=30°,AB=6,点A的坐标为（-2,0）,则点C的坐标为（ ）A.(6,<3) B.(3,2<3) C.(6,2y3) D.(6,3)【答案】C【解析】【分析】先根据点A的坐标可得AO=2，再根据直角三角形的性质、勾股定理可求出DO=2<3，然后根据平行四边形的性质可得DC=AB=6，由此即可得出答案.【详解】•・•点A的坐标为(-2,0),・•.AO=2,在Rt△AOD中，/ADO=30。，二.AD=2AO=4,DO=AAD2-AO2=2后,•・•四边形ABCD是平行四边形，AB=6,.・.DC=AB=6,・•.C点坐标为(6,2<3),故选：C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理、点坐标等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．二．填空题(共4小题)|x|-1.分式(%+2)(x+1)的值为0，则％的值为.【答案】1．【解析】【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．|%|-1【详解】,.分式(%+2)(%+1)的值为0，/.I%I-1=0且(％+2)(%+1)W0,解得：%=1.故答案为：1．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．.若%2+5%+a=(%-3)(%+b)，则Ua+b=.【答案】-16.【解析】【分析】先计算(x-3)(x+b),然后将各个项的系数依次对应相等，求出a、b即可.【详解】(％-3)(%+Z?)=%2+(Z?-3)x-3b,•.,%2+5%+q=(x-3)(x+Z?),.\x2+5x+a=x2+(Z?-3)x-3b,,\a=-3b,b-3=5,解得a=-24,Z?=8,所以a+b=-24+8=-16.故答案为：-16.【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与因式分解.解题此类题目的基本思想是等式的左右两边各个项的系数相等，解题的关键是将等式的左右两边整理成相同的形式.13.如图，在中，ZC=90°,4。平分NCA5,于点£,若AC=9,AB=15,贝lj。£=【答案】4.5.【解析】【分析】根据勾股定理求出AB,根据角平分线的性质得到CD=DE,根据三角形的面积公式求出DE.【详解】在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,AB=15,由勾股定理，得BC—12,•「AD平分ZCAB,DE±AB,ZC=90°,・•・CD=DE,—XACXCD+—XABXDE=1XACXBC,2 2 2即—X9XDE+—X15XDE=—X9X12,2 2 2解得：DE=4.5.故答案为：4.5.

AA【点睛】本题考查的是勾股定理、角平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么H2+b2=C2.D14.如图，DE;cm.【答案】12.【解析】【分析】根据三角形的三角形的性质即可得到结论.详解】•・•DE;D14.如图，DE;cm.【答案】12.【解析】【分析】根据三角形的三角形的性质即可得到结论.详解】•・•DE;・•・EF=DE-D・,.DE=—BC2DF=2cm,上，且NAb。为直角，若DF=2cm.BC=16cm,则AC的长•・•点E是AC的中点，ZAFC=90°,・•・AC=2EF=12cm,故答案为：12.【点睛】本题考查三角形中位线定理、解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.三.解答题.计算：(1)因式分解:5a2b2-20ab2+20b2；⑵解方程：=3+二二5

【答案】(1)5b2(a-2)2；(2)原方程无解.【解析】【分析】(1)先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可求解；(2)方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】(1)5a2b2-20ab2+20b2；=5b2(a2-4a+4)=5b2(a-2)2；(2)方程两边都乘(x-3)得x-2-1=5(x-3)，解得x=3,检验：当x=3时，x=3=3-3=0,是增根，故原方程无解．【点睛】考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.同时考查了提公因式法与公式法的综合运用．.先化简，再求值：x26x9+(x—9)，其中x=2.2x2—6x x【答案】【解析】【分析】直接利用分式的混合运算法则将括号里面通分运算，进而化简得出答案．【详解】x2—6x+9/ 9【详解】- --(x--2x2-6x x=(=(x-3)2=2x(x-3)(x+3)(x-3)x2x(x-3)(x+3)(x-3)1=2(x+3)'11当k2时，原式二而;旅【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键.C(-1,17.如图，在平面直角坐标系中，已知△A5C的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),BC(-1,.并写出(1)将△A5C先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到画出△A/C点5.并写出(2)将△A5C绕着点。按逆时针方向旋转90。得到252c2，画出252c2.△A252c2【答案】(1)如图所示，△A3«］即为所求，见解析；点约的坐标为(2,-4)；△A252c2【解析】【分析】(1)依据4ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，即可得到△A1B1C1；(2)依据△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°,即可得到^A2B2G.【详解】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为(2,-4)；

(2)如图所示，△人?々。?即为所求.【点睛】本题主要考查了旋转变换，平移变换的运用，解题时注意：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离.决定图形旋转后位置的因素有：旋转角度、旋转方向、旋转中心.18.如图，在办5C。中，NA5C的平分线与的延长线交于点£,与4。交于点孔且点尸恰好为边4。的中点，连接A£.E(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AG±BE于点G,BC=6,AG=2,求EF的长.【答案(1)见解析；(2)EF=2；5.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB〃CD,求得NABE=NBEC,根据全等三角形的性质得到DE=AB,于是得到结论；(2)根据平行四边形的性质得到AD〃CB,求得NAFB=NCBF,推出NAFB=NABF,得到AF=AB,根据勾股定理即可得到结论.【详解】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，•・AB//CD,AZABE=/BEC,・•点F恰好为边AD的中点，AAF=DF,VZAFB=ZDFE,•・△ABF/△DEF(AAS),ADE=AB,VDE/AB,A四边形ABDE是平行四边形；(2)解：V四边形ABCD是平行四边形，AAD/CB,

AZAFB=ZCBF,「BE平分/ABC,AZABE=ZCBE,AZAFB=ZABF,AAF=AB,「AF=DF,AD=BC=6,AAB=AF=3,「AG=2,ABG=J32—22=<5,AEF=BF=2BG=255.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．19.水果店小明先用1600元购进一批葡萄,供不应求,又用8000元购进第二批这种葡萄,第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍,但单价比第一批贵2元/斤．（1）第一批葡萄的进货单价是多少元/斤？（2）若两批购进的葡萄都按同一价格销售,两批葡萄全部售完后,获利不少于2400元,那么葡萄的销售单价至少为多少元/斤？【答案（1）第一批葡萄的进货单价为8元/斤；（2）葡萄的销售单价至少为12元/斤．【解析】【分析】（1）设第一批葡萄的进货单价为x元/斤，则第二批进货单价为（x+2）元/斤，根据数量=总价：单价结合第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用数量=总价：单价可求出第一批购进数量，结合第二批的数量是第一批的4倍可求出第二批购进数量，设销售单价为y元/斤，根据利润=销售收入-成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【详解】（1）依题意,得：设第一批葡萄的进货单价为1元/【详解】（1）依题意,得：8000 1600 =4X 解得：1=8,经检验，x=8是所列分式方程的解，且符合题意.答：第一批葡萄的进货单价为8元/斤.（2）第一批购进数量为1600+8=200（千克），第二批购进数量为200X4=800（千克）.设葡萄的销售单价为y元/斤，依题意，得：（200+800）y-1600-8000^2400,解得：）三12.答：葡萄的销售单价至少为12元/斤.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.20.如图，^aABC中，ZA=60°,5。LAC于点。，。石，A5于点5尸为5C边的中点，连接取，DF.（1）求证：EF=DF；（2）若BC=6.求^DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC=22BF,求四边形EFDA的面积.【答案（1）证明见解析；（2）DEFF的周长为9；（3）9+3<3.4【解析】【分析】（1）在RMBCD和R2CE中，根据直角三角形斜边上的中线即可得证；（2）先根据线段中点定义、题（1）的结论可得EF=BF=CF=DF=3，再根据等腰三角形的性质可得/FBE=/FEB/FCD=/FDC，然后根据三角形内角和定理可得/BFE+ZDFC=120。，从而可得ZEFD=60。，最后根据等边三角形的判定与性质即可得；（3）先利用勾股定理求出BE=EC=3<2，再分别在Rt△ACE、RtAABD中，利用直角三角形的性质、勾股定理求出BD、CD、AB的长，然后根据三角形中线的性质可得" =1","=1"，最CDF2BCDBEF2BCE解得解得x=x6，后根据S=S-S-S 即可得.四边形EFDA aABCaCDF^BEF1寸【详解】（1）;BD1AC于点D,CE1AB于点E,・•.aBCD和^BCE均是直角三角形，;点F为BC边的中点，即DF、EF分别为Rt^BCD、Rt^BCE斜边上的中线，DF=1BC,EF=1BC,2 2 ，EF=DF；（2）：点F为BC边的中点，BC=6，BF=CF=1BC=3，2 ，由（1）知，DF=EF=1BC，:.EF=BF=CF=DF=3,.・./FBE=/FEB,/FCD=/FDC,:.ZBFE=180。-2/FBE,/DFC=180。-2/FCD,・.・ZA=60。，・・.ZABC+ZACB=120。，即ZFBE+ZFCD=120。，.・.ZBFE+ZDFC=180。-2ZFBE+180。-2ZFCD=120。，.・・ZEFD=180。一（ZBFE+ZDFC）=60。，又<EF=DF,・・・DEFF是等边三角形，则^DEF的周长为3EF=3x3=9；（3）;BF:3,:.EC=v12BF=3<2,在Rt^BCE中，BE=jBC2-EC2=3,2，在Rt△ACE中，ZA=60。，ZACE=90。-ZA=30。，.:AC=2AE,设AE=x，则AC=2x,EC=、ACC2-AE2=、nx,:.<3x=3V2,

AE二乐,AC=2<6,AB=BE+AE=3<2+<6,在RtAABD中，/A=60。，/ABD=90°—/A=30。,s1f3d2+、6「八 ——3<6+3<2「.AD=—AB= ,BD=\:AB2—AD2= ,2 2 2CD=CD=AC—AD=2J6—3<2+、,6_3<6—3<2 - ,■■DF,EF分别为Rt^BCD、Rt^BCE斜边上的中线，1 1「 11 -9S-S-X—BD-CD=—△cdf2“BCD■■DF,EF分别为Rt^BCD、Rt^BCE斜边上的中线，1 1「 11 -9S-S-X—BD-CD=—△cdf2“BCD 22- 10 11 -9S-S-x-BE•EC=—△bef2“BCE 22S --AB.EC-9+3<3,&ABC2 ，则四边形EFDA的面积为S△ABC CciFF &BEF-999，一-9+3V3—4—--4+3<3.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2）,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出/EFD-60。是解题关键.一.填空题nm21.已知m2+n2=2mn，则一+一的值等于

mn【答案】2*【解析】【分析】直接利用已知得出m=n,进而代入求出答案.【详解】:m2+n2=2mn，「,m2+n2-2mn=0,・m=n,nm・•・一+—=1+1=2*mn故答案为：2*【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及分式的化简求值，正确得出m=n是解题关键.-a2a22.若关于％的分式方程三十-=6有增根，则a的值为【答案】3.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-2=0,求出x的值，代入整式方程即可求出a的值.【详解】分式方程去分母得：％-a-2a=6(%-2),解得：％=12-3a解得：％=由分式方程有增根，得到％-2=0,即％=2,12-3a二—5—=2,解得：a=解得：a=故答案为:【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.23.如图，经过点(4,0)的直线：y=-%+b与直线：y=a%交于点P(n,3),则不等式组-%+b>a%>0的解集是.【答案】0V【答案】0V%W1.【解析】【分析】将点(4,0)和点P的坐标代入一次函数的解析式求得n的值，然后根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可.【详解】•・•经过点(4,0)的一次函数y=-%+b与正比例函数y=a%交于点P(n,3).・•・-4+b=0,.*.Z?=4,j=-x+4,.*.3=-n+4,.\n=l,：.P(1,3),由图象得：不等式组-%+》三以>0的解集是0<%Wl,故答案为0<%Wl.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大.24.如图，正方形A5C。的边长为6,点£、尸分别在边A。、5。上.将该纸片沿炉折叠，使点A的对应点G落在边。。上，折痕£尸与AG交于点Q,点K为G8的中点，则随着折痕£尸位置的变化，^GOK周长的最小值为—.3+35【解析】【分析】取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值即可解决问题.【详解】取AB的中点M，连接DQ,QM,DM.・•四边形ABCD是正方形，•・AD=AB=6,ZDAM=ZADG=90°,「AM=BM=3,•・DM=AAB22+AM2=<62+32=3J5,「GK=HK,AB,GH关于EF对称，：,QM=QK,VZADG=90°,AQ=QG,：.DQ=AQ=QG,AQGK的周长=GK+QG+QJ=3+QQ+QM.又•：DQ+QM>DM,：.DQ+QM^3y[5,・•.△QGK的周长的最小值为3+3v15，故答案为3+3<5.【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M,确定QG+QK=QD+QM,属于中考常考题型.25.如图，在RtAACB中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=4,N是斜边AB上方一点，连接BN,点D是BC的中点，DM垂直平分BN,交AB于点£,连接DN,交AB于点F,当^ANF为直角三角形时，线段AE的长为―•【答案】6或-5-.【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当ZAFN=90°时.如图2中，当ZANF=90°时，分别求解即可解决问题.【详解】如图1中，当ZAFN=90°时，S1在RtAACB中，VZC=90°,AC=4,ZABC=30°\AB=2AC=%,BC="AC=4/,:/AFN=ZDFB=90°,ZABC=30°,•・NFDB=60°,DM垂直平分线段BN,\ZFDN=ZEDB=ZEBD=30°,DE=葛=2,•・BE=DE=2,\AE=AB-BE=8-2=6.如图2中，当ZANF=90°时，连接AD,CN交于点O,过点E作EH±DB于H.设EH=羽则BH=<3羽DH=2<3-<3].图1^AC=AN,CD=DN,,\AD垂直平分线段CN,:.ZAON=90°,•「CD=DB,MN=BM,.DM〃CN,.ZADM=ZAON=90°,y^ACD=ZEHD=90°,：.^ADC+ZEDH=90°,ZEDH+ZDEH=90°,：.^ADC=ZDEH,:.△ACDs'dhe,ACCDTOC\o"1-5"\h\z, = 一DHEH... 4 :空2%：3—<3x x6解得x=5,12；.BE=2x=—,12 28・•・AE=AB-BE=8-y=—,28综上所述，满足条件的AE的值为6或-5.28故答案为6或-5.【点睛】本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．二．解答题26.成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利w（元）与甲种玩具进货量m（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？【答案（1）甲、乙两种玩具分别是24元/件，36元/件；（2）商场共有10种进货方案；（3）W=-6m+560,当m=10时，有最大利润W=500元.【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价为x元/件，则乙种玩具进价为（60-x）元/件，根据用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具（40-m）件，根据甲种玩具件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，可列出不等式组求解．（3）先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式，然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可．

【详解】(1)设甲种玩具进价1元/件，则乙种玩具进价为(40-%)元/件,根据题意,120 180根据题意,得一二-——

x 60一x解得X=24,经检验x=24是原方程的解.贝U60-x=36.答：甲、乙两种玩具分别是24元/件，36元/件；(2)设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具(40-m)件，由题意，得m<20由题意，得24m+36（40一m）<1320，解得10Wm<20.・二m是整数，故商场共有10种进货方案；(3)设购进甲种玩具m件，卖完这批玩具获利W元，则购进乙种玩具(40-m)件，根据题意得：W=(32-24)m+(50-36)(40-m)=-6m+560,・「k=-6<0,・•・W随着m的增大而减小，・•.当m=10时，有最大利润W=-6X10+560=500元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，列分式方程解实际问题的应用，一元一次不等式解方案设计问题的应用，找出题中的等量关系与不等关系是解题的关键.27.已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O,ZCDO=30°.点E、F为矩形边上的两个动图2图2(1)如图1,当点E、F分别位于AB、AD边上时.①求证：ZDOF=ZAOE；②若ZOEB=75°,求证：DF=AE.(2)如图2,当点E、F同时位于AB边上时，若ZOFB=75°,试探究线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由.【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AF=2BE,理由见解析.【解析】【分析】（1）①由矩形的性质可得AO=DO,ZCDA=90°,可证AAOD是等边三角形，可得NEOF=NAOD,可得NDOF=NAOE；②在OF上截取OH=OE,连接DH,由“SAS”可证△AOE04DOH,由四边形内角和定理可求NAFO=105°,可得NDFH=NDHF,可证DF=DH=AE；（2）将△OAF绕点O顺时针旋转120°得到△OBN,连接NE,由旋转的性质可得ON=OF,ZNOF=ZAOB=120°,AF=BN,由“SAS”可证△EOF0AEON,可得NOEF=NOEN,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求NOEF=NOEN=45°,可得NNEB=NNEF=90°,由直角三角形的性质可求解.【详解】（1）①二•四边形A5CD是矩形，：.AC=BD,AO=CO,BO=DO,ZCDA=90°,：.AO=DO,：ZCDO=30°,ZADO=60°,△49。是等边三角形，ZAOD=60°,VZEOF=60°,ZEOF=ZAOD,ZDOF=/AOE；②在。尸上截取08= 连接。X,•・•AO=OD,/DOF=ZAOE,OE=OH,・•・△AOE必DOH(SAS),・•・AE=DH,VZOEB=75°AZAEO=105ZAEO+ZEOF+ZOFA+/DAB=360°,/.ZAFO=105°,/.ZDFH=75°,ZDFH=ZDHF,:・DF=DH=AE；(2)将△04尸绕点。顺时针旋转120。得到△05N,连接N£.=120°=120°,AF=BN,VZAOB=120°,ZEOF=