托勒密定理、婆氏定理、圆中基本模型专题(二)

页托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二）【教学重难点】1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角2．婆罗摩笈多定理3．例题探究【模块一圆中托勒密定理】古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式．1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC．2．简单证明：在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC，易得△AEB∽△ADC，旋转一拖二得△ABC∽△AED，由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC．模型识别：具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算．※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等的四边形，可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）．四类常见对角互补模型：①模型一：等边60°对120°型条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC．证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD，AB重合，则△ACD≌△AMB，∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC+∠ABM=180°，∴M，B，C三点共线，∵∠MAC=∠BAD=60°，∴△MAC为等边三角形，∴MC=AC，∠M=∠ACD，∴MB+BC=AC，∠ACB=∠ACD，∴CA平分∠DCB，CB+CD=AC．②模型二：等腰直角对直角型条件：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°．结论：（1）CA平分∠DCB；（2）CB+CD=AC．证明：略···③模型三：等腰顶角120°对60°型条件：如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠BCD=60°．结论：（1）CA平分∠BCD；（2）CB+CD=AC．证明：略···※④模型四：同侧双直角型条件：如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠BCD=90°．结论：CB－CD=AC．证明：略···【模块三对角互补模型→托密视角】1．等腰△三角函数计算：如图7，2．托勒密定理应用：①如图8，对角互补型：结论：当α=60°时，a＋b=c当α=45°时，a＋b=c当α=30°时，a＋b=c※利用角平分线性质也可直接得②如图9，同侧等角型：结论：当α=45°时，c－b=a···【模块四婆罗摩笈多定理】婆罗摩笈多（约公元598－约660年）是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓，婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学．婆罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的．婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”．若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．1．简单证明：已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于点F，求证：F是AD中点．

证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF，∴AF=DF即F是AD中点．2．婆罗摩笈多逆定理请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理：（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC．（2）如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA，并求PN的长．3．共顶等腰直模型（婆罗摩笈多模型）已知：如图，两个等腰直角三角形Rt△ABO和Rt△CDO，顶点重合，连接AC，BD．结论：①如果F是AC中点，那么一定有EF⊥BD；②如果EF⊥BD，那么一定有F是AC中点；③S△BOD=S△AOC；④2FO=BD．证明：（1）法一：（外）弦图构造法，如图1（2）法二：导角构造→全等构造法，如图2【例1】如图3所示,试证明：上述共顶等腰直模型中①②结论．【例2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG：（1）过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于M，求证：①EM=MG，②BC=2AM．（2）若M为EG的中点，求证：AH⊥BC．【模块四真题探究】【例3】（改编）如图1，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积． 【例4】（2013·成都中考改编）如图2，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，，点E在上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A'重合，点B与B'重合，连接EB'，EC，EA'．设EB'