埃博拉病毒传播分析数学建模

-可修编--可修编-""大学数学建模竞赛

承诺书我『1仔细阅读W大学数学建模竞赛的参赛规则与竞赛纪律。我m完全明白，在竞赛开始后参赛臥员不能以任何方式（包祐、电子、网上咨询等）与臥外的任何人研究、讨论与赛题有关的间题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛纪律的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包祐网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表逮方式在正文引用处和参考文献中明确列岀。我们重承诰，严松遵守参赛规则和竞赛纪律，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛纪律的行为，我们将受到严肃处理。我们授«****大学数学建模竞赛组委会,可将们的论文以任何形式aii&ff展示（色播进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。参赛的題目（UA/B中选择一顶填写） B参赛臥员XX学号院系日期：2015年05月04日•可修编・埃博拉病毒传播分林

i要本文的研究对象为1976年在丹南部和啊果的挨博应河地区发观的挨博拉病So病毒是一种生物安全等级为4级，并目能引起人类和灵长类动物产生挨博拉岀血热的烈性传染病病毒，其主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等谨径传播。其病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2~5天出现高热,6~9天死亡。面湘其强大的传染力和对人类健康的巨大威恥，本文通11数学建模的方法了解埃博拉病毒的传播规律，并分折隔离措施的严恪执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫悄的作用。本文中,首先我m根据已给的信息艮相关假设数据,通过对已知条件和所给表格书记的分折，我们夫致明白了程猩从潜伏到发病再到死亡或自愈的过程，因此我们果用了excel«1合曲线，分析其发病、潜伏、自愈、死亡和隔离的相应的变化曲线，估计参数，再根据其建立数学模里，并用MATLAB求解方程组，调试参数，从而得到我们需要的结果。其次通过对已经得到的数据和曲线图的分析，可以得出人类通过严格的药物控制过后，对其发病和潜伏的挪喑,从而能够这到对疫悄的控制的作用,并且对挨博拉病毒未来发展范矜有了更深刻的了解，以为更好的腔制挨博拉病毒做岀贡献。关建词：非线性曲线抓合；攒分方程；MATLAB；数学模型•可修编・-可修编--可修编--可修编--可修编-1间题的重述1.1背景挨博也病毒（Q译作伊波拉病毒）于1976年在丹南部和慚果的挨博拉河地区被发现后，引起了医学界的广泛关注和重视。该病毒是能引足人类和灵长类动物产生挨博拉岀血热的烈II传染病病毒，其生物安全等级为4级。挨博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2~5天岀现高热，6~9天死to发病后1~4天直至死亡，血液都含有病毒。埃博也病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心皿梗塞、低血容量休克或多发II器官衰竭。当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通il接触传播，而非通过空气传播；只有病人在岀现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博也病毒可能不具有高度的传染性，在此期同接触病人甚至可能不会受感染，I#着疾病的进展，病人的因腹泻、明吐和岀t.hHt岀的体液将具有高度的生物危险性；存在似平天生就对挨博应免挾的人，痊愈之后的人也会对人侵他们的那种埃博应病毒有了免疫能力。挨博应病毒很难根除，迄今为止已有多次疫悄爆发的记录。据百度百科，最近的一次在2014年。截至2014年9月250,此次在西非爆发的埃博已经导致13000人死亡，另有6500被确诊感染。更为可怕的是，挨博拉病毒可能经过变异后可以通11呼吸传播！Hfi假设某地区有20Jj居民和3000只猩梶。人能以一定的|«率接触到所有的程当接触到有传播能力的程程后有一定鶴率感染病毒，而人发病之后与腥握的接触可以忽略。研究人员貌廿了前40周人类和程程的发病数量和死亡数量等信息，请你根扬相关信息，研究回答以下问题：1、根据猩猩的发病数量fllJEtS量，建立一个病毒传播模塑，动态描if病毒在“虚Iflg®种辟”中的传播，并预測接下来的在腥腥中的疫悄变化，并以下述怡式给岀“虚«188种I?”在第80周、第120周、第200周的相关数幽;“虚抵密腥种前”SI体预量预測给果（单位:只）潜伏辭体处于发病状杏累廿自敌累廿因病死亡第80用第12019200132、理立“虛01种辟”相互感染的疾病传播模型，傑合描述人和SBSW的发展，并预测接下来疲悄在这两个8?体中的发展悄况，并以下述格式给出“虚«1人类种IT在第80周、第120周、第200周的相关数据；“Hitt人类种ST計体敛量後測结果（单位：个）潜伏人群血于发病狀姦隔离治疗累廿治食累廿因病死亡980N第120周9200M3、 假设在第41周，外界的专家开始介人，并立即严恪腔制了人类与程程的接触,且通过某种特效药物将隔离治疗人SI的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫悄在“虚81人类种群”的发展悄况，对比第2间的预测结果说明其作用和影用I,给岀“虚《1人类种胖”在第45周、第50周、第55周的相关数扬，数据格式同冋題2；4、 请依据前述数学模塑，分析各种疫悄腔制措施的严招执行和药物（色括肪疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措隨对控的作用。2间題分林2.1间题一的分林通11対已知条件的分折，并通过给岀的表怡数据，大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。我们通ilexcel作出发病IS时同的变ft曲线,潜伏随时同变化曲线，估廿参数。然后通11建立数学模型用MATLAB辭出方程组，10试参数使其死亡，自愈等曲线与给出表格大致相同，然后通U建立的模型求岀间题一。03®二的分林同间题一分折，我们通ilexcel作出相应处于发病状态的曲线，自愈以员死亡和隔离的曲线，估it模里相应的参数。然后通过建立的数学模里用MATLABM岀方程组，调试参数使其自愈，处干发病等曲线和表恪给岀的数据大致一致。BBE的分林同间题二分折，我们通ilexcel作岀治愈率提高80%后相应处干发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估廿模塑相应的参数。然后通il建立的数学模型用MATLAB解出方程组,调试参数使其自愈,处于发病等曲线和表18给出的数据大致一致。2.4冋题四的分林通过上术数据和曲线图的分折，可以很清楚的看岀当有人类干预后即就是严恪的通il药物后，发病和潜伏等都有很明显的改善。3假按与符号3.1模型的假设：■由于埃博拉病毒的传播期眼不是很长，故假设不考虑这段时间的人口岀生率和自然死亡率;■平均潜伏期限为6天；■处于潛伏期的埃博拉病人不具有传染性。3.2符号说明：to表示从最初发规埃博拉患者到卫生«n«®预肪措施的时间间隔;N 表示疫区总人口数；S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数的比例；Kt) 表示t时刻感染人数占总人口数的比例；E(t) 表示t时刻潛伏期的人口数占总人口数的比例；Q(t) 表示t时刻退出类的人数占总人数的比例；入⑴ 表示日接触率，即表示毎f病人平沟每天有效接融的人数；N1 表示疫区总娓程口数；S(t)5 表示t时刻健康握据数占总ggU的比例；1(05 表示t时刻感染fi®U占总SSH的比例；E(t)5 表示t时刻潜伏期的figS占总握握数的比例；Q(t)' 表示t时刻退岀类的据程数占总程程的比例；入⑴'表示日接触率，即表示毎个病腥握平均毎天有效接触的程程数；入⑴''表示日接触率，即表示每个病程据平均毎天有效接触的人数；g(t) 表示政附控制力度；f(t) 表示SffitSfeo-可修编--可修编--可修编--可修编-•可修编•可修编・4模塑的建立与求解4.1BB-模型的构建由间题的分折，将猩猩群分为易感®®l?s，病毒潜伏程程8?E,发病figsI,退出者QEl类:•易感人6IS与病毒潜伏人8IE之间的转化易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设毎个病人平均毎天有效接触的健康人数为入(t)S,NI个病人平均毎天能使入(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。M—=-几厂川一・=一2$厂dt dt•病毒潛伏人8IE与发病人辞I间的转化潜伏人8?的变化等于易感人8H专人的数量减去转为发病人祥的数量，即dF——=Sa(f)WE。dt•发病人辞I与退出者Q间的转化单位时间退出者的变化等于发病人8?的减少，即塑“dtdF——=SU(/)WEdtS4E+厂+0=1S(0)〜吋卫(oy=EJj(om，Q(oy=©很明显从我们建立的模型是无法得到臼,s},17的解析解的。为了解决这个间题，我们求助于计算机軟件MATLAB来求岀它们的数值解。我们先通过附件中给的数据算出毎一天的E，,S，,1，,Q，,做岀它们与时间的函数图象，然后画岀找们通il模塑解岀的数值解随时间变化的图象。对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参UISit不合理造成的。所以,我们必须通11不断调整那些非it算得到的参数(入，，a，）来使实际图象和理论图象范于一致。经过多次调试，我U发现，当入'=0.680人，訂=0.9,a»=0.58时，实际图象和理论图象有最好的符合。而逆三f值均在找们估址的围，所以我们从为这三个值的得到是合理的。一旦参数确定，就可以通ilMATLAB»件求出该方程组在某个区间段的数值解，从而可推算岀我们所需的数值如下表所示。JOSEQ第80用0.71340.00100.2338第120周0.70080.00010.2990$200190.699800.3202在根据遐辑关系式廿算可得下表的预测值表1“虚111程猩种群”群休数量预测给果单也只周数潛伏人稱处于发扁状杏累廿洽食累廿因爲死亡第80周302835969120N00299598第200周00300600结果分林根据上表可知，在第80周以后，处于潜伏状态的猩猩接近于0,处干发病状态的猩程也范近与0,且裡猩的治愈数和因病死亡数变化不夫，由该模型预测岀的结果与附件中的数据的得岀的发病率和累廿死亡率范齋相同。健康人数占总數比例（比对） 系列1——系列2周数图1・1I!康人数占总数比例图（参考数稠）图1・2促康人数占总数的比僧图（模抓数据）漕伏人数占总数比傍（比对）系列1系列2系列1系列2图2・1潜伏人数占总数的比例图（参考数齬）•可修编•可修编・•可修编•可修编・图2.2沿伏人数占总数的比例图（模拥数H）退出人数占总數比悌（比对）20.00%15.00%g10.00%5.00%0.00%——系列1—系列2图3.1退岀人数占总数的比例图（参考数尿）图3.2退岀人数占总数的比僧图（模ffl&lg）MATLAB主要程序functiondx=rossler(t,x,flag,a,b,c)dx=[-a*x(1)+a*x(1)*x(3)+a*x(1)*x(2)+a*x(1)*x(1);a*x(1)-a*x(1)*x(3)-a*x(1)*x(2)-a*x(1)*x(1)-b*x(2);c-c*x(3)-c*x(2)-c*x(1)];a=0.680;b=0.90;c=0.580;x0=[0.9950.0050]';[t,y]=ode45('rossler',[080],x0,[],a,b,c);flot(t,y);4.2BBZ模型的构建由间题的分折，将人髀分为易感人ISS,病毒潜伏人辞E,发病人辟I,退岀者QEl类：•易感人辞S与病毒潜伏人6IE之间的转化易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设毎f病人平均毎天有效接触的健康人数为入(t)S,NI个病人平均每天能使入(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故N^=-A,S,NI,-ASNI，即—'=-A,'S'I'-ASIdt dt•病毒潛伏人SIE与发病人辞1间的转化潜伏人稱的变化等于易感人I5H专人的数量减去转为发病人8?的数量，即dE—=SA(z)/—sEodt•发病人辞丨与退出者Q间的转化单位时间退出者的变化等干发病人稱的减少，即dt✓7c/—=—/TS八⑹dtdF——=S入⑴IyEdtdtS+E+I+Q=\IS(O)=%,E(O)=EoJ(O)=bQ(0)=Qo很明显从我们建立的模型是无法得到ESI,Q的解桥解的。为了解决这个问題,我们求助于计算机狀件MATLAB来求出它们的数值解。我们先通过附件中给的数据算出每一天的ESIQ做岀它『］与时间的函数图象，风后画岀我『1通il模塑解岀的数值解砸时间变化的图象。对比送两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。逆必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以,我们必须通过不断调整那些非计算得列的参数（入,e,a）来使实际图象和理论图象趋于一致。歸离治疗人数占总人®Wit«图4.1隔离治疗人数占总人数的比例图（模抓数据）晦冉临疗白勺人占\总人1»［白勺匕匕阿4.2隔离治疗人数占总人数的比例图（参考数据）死亡人数占总人@5.1死亡人数占总数的饿比例图（模抵数据）死亡人埶占总■人数比例 奏歹ik 盪性•:系歹U"图5.2死亡人数占忠数的比何图（参考数摒）自愈人数占总人敷的比出图6.2自您人数占总人数的比例（参考数H）发病人数占总数的比巒图麦病占祭人毅的上匕图7.1发病人数占总人数的比例（参考数H）表2“虏扱人类种SP布体数量損測結果单位：个潜伏人辭鬼于发病状态丽治疗累廿冶食累廿因病死亡$8006547610002370第120周7250814504980第200周5946521007650结果分林:由上表可知，在第80周以后，处干潜伏状态的人群变化幅度不大，处干发病状态的人祥也变化帕度不大，且人辞的治愈数和因病死亡数特续增长，由该模里硕渊出的結果与附件中的数锯的得出的发病率和累廿死亡率趋势相同。4.3BSEM分林外界的专家开始介人，并立即严恪控制了人类与程徨的接鮭，冃通过某种特效药物将隔离治疗人81的治愈率提高到了80%。专家的预肮措蘭力度g(t)在控制疫悄的il程中起到了重要的作用，与下列因素有关：•专家关注的疫悄来自于最近几天的疫悄，不妨取近三天的平均值而；•当tn时，g(t)有一个初始值，即为潛在的政府力BKo：综上所述，可以给出g(t)蹶疫悄变化的曲线，形态如图所示，(横坐标为疫悄，纵坐标为g(t)),其表这式为g(/)=k()+«(l—e5)其中ko+k,=1,o根据有关数锯,令ko=O.2,k1=0.8,当而=0.58时，取g(W=0.7,得参数估廿64).1803.政府控制力度g(t)与日传染率入⑴的关系：当政附控制力度为0的时候入⑴取最大值;18着g(t)的增大,入(t)减小；当。⑴不58时,对入⑴的变化所起的作用较小；当Q(t)曲过一定的数值时对入⑴的影喑效果明显;当g(t)Oii于1的时候(不可能为1),则入⑴趙近0。由以上几点可以确定入(t)ISg(t)的变化关系曲线，采用函数兄(0=他(1一/6 )刻画此形态，其巾6为常数。

表3“虚姒人类种群”酢体数量预剧给果单位:个酒伏人辭处于发菊状杏累累廿因嫩死亡$45fl6334127151786第50周5827118241825第55周4613149581876结果分析由上表可知，在专家介人后，埃博拉病毒的预肪控師力18加大，累廿治愈的人数在增名，因病死亡人数虽然在增ira,但是其增加帕度不大，说明挨博也病毒已经得到了良好的控制,与预期估测结果相咧合。4.4网議m的分析在发病初期，由于人们对挨博应病毒的认识不够，重视不足，肪措施较差，没有有效的肪疫药物、检疫药物和治疗药物治疗，也没有相应的政府控制箱施,I®着时间t的增长，病悄不Bi恶化，感染病悄所占比例I呈现不Bi增加的趋势,健康人数占总人数的比例S不斷下降，退出率Q也呈现持续增长的范矜，造成-可修编--可修编--可修编--可修编-了巨大的经济损失和人员ffito在发病中后期，險着相关政府的介人和对该病毒的相关知识的普及，提高了人们对挨博应病毒的预肪恿识，同时，在科研人员的不Bi努力下，肪疫药物、检疫药物和治疗药物的种类增名、疗效増強，I®着时间的増长，感染患者的比例I呈下降范势，健康人数所占比例s的下降趋聲由急变缓，治愈率不断提高，死亡人