GM11模型应用及残差修正

一.GM(1,1)预测模型应用举例灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型：数列预测。这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。灾变预测。这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。季节灾变预测。若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。拓扑预测。这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。例1(数列预测)：设原始序列X<0)=(x<0)⑴,x⑼(2),x<0>(3),x(0)(4),x<0)(5))=(2.874,3.2783337,3.390,3.679)试用GM(1J)模型对X⑹进行模拟和预测，并计算模拟精度。解：第一步：对X⑹进行一次累加，得X")=(2.874,6.152,9.48942.89746.558)第二步:对X⑹作准光滑性检验。由沙伙)X⑴伙一1)得q(3)a0.54,p(4)«0.36<0.5,p(5)«0.29<0.5。当k>3时准光滑条件满足。第三步：检验X⑴是否具有准指数规律。山0伙)兀⑴伙一0伙)兀⑴伙一1)=1+0伙)得b⑴⑶2l・54,b⑴(4)^1.36,cr,n(5)a1.29当k>3时,b⑴伙)=e[1,1.5LJ<0.5,准指数规律满足,故可对X⑴建立GM(1,1)模型。第四步：对X⑴作紧邻均值生成，得z⑴=(4.513,7.820,11.184,14.718)于是

7⑴⑵f■-4.513f~x<0)(2)_3.278_-Z⑴⑶1-7.8201,r=X⑹⑶3.337-円⑷1一11」841x⑹⑷3.390■-Z⑴(5)1-14.7181_X⑹(5)_3.679B=第五步：对参数列a=[a^]r进行最小二乘估计。得a=(BTa=(BTBrlBTY=-0.03723.0653第六步：确定模型-一一0.0372x⑴=3.0653dt及时间响应序列炉)伙+1)=(x(o>(1)一-}e-°k+-=85.27615k00372*-82.402151a a第七步：求X⑴的模拟值x(，)=(00(1),左⑴(2)，左⑴(3)=(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第八步：还原求出X⑹的模拟值。111?0)伙+1)=°⑴f⑴伙+1)=左⑴伙+1)—左⑴伙)得X<0>=(H(1),㈣(2),*°)(3)J⑹⑷,0°)(5))=（2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136）第九步：检验误差。曲下表可算出残差平方和:误差检验表序号实际数据X⑹伙）模拟数据严伙）残差s(k)=xw(k)-xl0\k)相对误差十伙）1k•严伙）23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%43.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%平均相对误差1.6025%第十步:预测丘⑼伙+1）

rb(6)=85.27615k00372x5-82.402151=20.3063x<0>(6)=3.7505f⑴(7)=85.27615k00372x6-82.402151=24.1991x0>(7)=3.8928例2(灾变预测)：某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品。一般来说，自然灾害的发生有其偶然性，但对历史数据的整理，仍可发现一定的规律性。为尽量减少生产不受自然灾害的影响，该企业希望了解影响原料供应的规律性并提前做好原料储备，所收集数据见下表，并规定每亩平均收获量小于320千克时为欠收年份,将影响原料的正常供应，现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份。原料收获统讣表年份199119921993199419951996199719981999收获量(千克)390.6412320559380542553310561年份20002001200220032004200520062007收获量(千克)300632540406.2314576587318第一步：将上表中年份用序号替换，并找出收获量小于320千克的年份序号形成本例初始序列：e®=(3810,14,17)一次累加生成序列:e⑴=(3,11,2135,52)Q⑴的紧邻均值生成序列:Z⑴=(7,16,28,43.5)a=(BrBylBrY=a=(BrBylBrY=6.258347⑴⑵f■-7f_<y<0)(2)'「8_-Z⑴⑶1-161,r=10-乙⑴⑷1-281⑷14-z0,(5)1-43.5117B=-0.25361o⑴(/+1)=［①心(t)一-Wal+-=27.6770N。3如一24.67702aa第三步：预测当t=6时，67n)(6)=73.684护(6)=21.6848因此，下次发生收获量小于320千克的年份为：2011年至2012年，即四至五年后将出现欠收年份。其他预测类型见参考书。二.残差GM(1,1)模型当GM(1,1)模型精度不符合要求时，可使用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来模型进行修正，以提高精度。定义4设严=(严(1),严(2),...,艸何)其中，锹)⑼伙)d⑴伙)为X⑴的残差序列。若存在ko,满足办n心,小°)伙)的符号一致；n-k{)>4,则称(I严伙°)1,1艸伙0+1)I,...,I严S)I)为可建模残差尾段，仍记为严=(严伙0),严伙o+l),...,严("))命题1设严=(严伙°),严伙°+1),...,严⑺))为可建模残差尾段，其一次累加序£'1'=(£山伙()),£山伙°+1),...,/)("))的GM(1,1)模型的时间响应式为釘)伙+1)=匕⑼伙+空，k>灯a, ck则残差尾段的模拟序列为严=(护伙。),严伙。+1),...,护何)其中严伙+1)=(_—)(严伙(J一如)严川如)，k>k.a.定义5若用卸°)修正乂⑴则称修正后的时间响应式(卍(1)-？)严+1k<k.a a(x<0>(l)-->-fl*+2±“£(£心伙。)一空)』如m,k>k0a a af为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。其中残差修正值

严）伙+1）=（一―）（£⑼伙（J一冬）dWf“a.的符号应与残差尾段£⑹的符号保持一致。定义6若i<0>伙）=左⑴伙）—左⑴伙-1）=（1一e°）（x（o）⑴--）e-a（k~h则相应的残差修a正时间响应式(l-^)(x(0)⑴一-)e-ak,k<k.F°gl)(1_aF°gl)(1_⑴-2)严±—(£⑼伙°)-空)",k>k0

a a.称为累减还原式的残差修正模型。例题湖北省云梦县油菜发病率数据为X⑹=(?o)(l),x(o)(2),x(o>(3),⑹⑷,x<o)(5),x(o)(6),x<o)(7),x(o>(8),…$>(13))=(6,20.40,25,40,45,35,21,14,1&15.5」7,15)建立GM（1,1）模型，得时间响应式为左⑴伙+1)=_567・999严咧弘+573.999作累减还原，得X<0)={i(0)伙)屮=(35.670433.4303,31.330&29.3682,27.5192,25.7900,24」719,22.6534,21.2307,19.897418.647847.4768)检验其精度：列出误差检验表误差检验表序号实际数据x（o）（k）模拟数据严）伙）残差£(k)=x(o)(k)-x(oi(k)相对误差_|£伙）1*•严伙）22035.6704-15.67047&3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4.397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%平均相对误差 30.11%山此可见，相对精度不到70%,需采用残差模型进行修正。取ko=9,得残差尾段£(o)=(£(o)(9),£(o)(1O),P°>(11),J°)(12),£(°)(13))=(—8.6534,-3.2307,7.3974,-1.647&-2.4768)此为可建模残差尾段，去绝对值，得=(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立GM(1,1)模型，得©⑹的一次累加序列占的时间响应式：严伙+1)=—24严咖5z>+32.7其导数还原值为£(0\k+1)=(-0.16855)(_24)八閘'心)=4.0452严皿火®由丘⑹伙+1)=左⑴伙+1)-左⑴(k)=(\-ea)(x(o)(1)--)e~ak=38.061血」唤6&可得累a减还原式残差修正模型为讣伙+1」 38.0614^",心138.0614<^006486A-4.04526>-°16855a-9),k>9其中，公⑼伙+1)的符号与原始残差序列的符号一致。按此模型，可对k=10JlJ2,13四个模拟值进行休整，修正后的精度如下表：误差检验表序号实际数据汕伙)模拟数据叫)残差£(k)=x{0\k)-xi0\k)相对误差_|锹)1亠丽101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相对误差4.595%残差修正GM(1J)模型的模拟精度得到了明显提高。因此时残差序列已不满足建模要求，若对残差精度仍不满意，就只有考虑釆用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。三.GM(1,1)模型群在实际建模中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。一般来说，去不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数a,b的值也不一样。这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。例如我国的

粮食产量，若采用建国以来的数据建立GM(1,1)模型，发展系数-a偏小；而舍去1978年以前的数据，用剩余的数据建模，发展系数-a明显增大。定义1设序列X©=(艸⑴，严2),...,叫))将•严何取为时间轴的原点，则称tvn为过去，匸n为现在，t>n为未来。定义2设序列X<0)=(?o)(l),x(o)(2)，…,x(0)(/1)),丹)伙+l)=(l-^)(x(o)⑴—-)e~ak,a为其GM(1,1)时间相应式的累减还原值，贝I」：当FS时,称x(0\t)为模型模拟值；当时，称卧⑴为模型预测值。建模的主要目的是预测，为提高预测精度，首先要保证有充分高的模拟精度，尤其是时的模拟精度。因此建模数据一般应取为包括疋”⑺)在内的一个等时距序列。定义3设原始数据序列X<o)=(?o)(l),x(o)(2),...,x(o)(n))用=(艸⑴，占(2)，…,严(”))建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1)；%>1,用X® 伙°),严伙°+l),...,x⑼何)建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1)；设兀％+1)为最新信息,将%+1)置入X®,称用X®=(x⑹(1)£>(2)，…,严)(论％+1))建立的模型为新信息GM(1,1)；置入新信息x(o,(n+l),去掉最老信息x(o)(l),称用x(0>=(x(o>(2) x(o)G),x(o)5+i»建立的模型为新陈代谢GM(l,l)o很显然，新信息模型和新陈代谢模型预测效果会更好。任何一个系统随着时间的推移，将会不断地有一些随机扰动或驱动因素进入系统，使系统的发展受到影响。因此，在实际预测中，必须不断地将每一个新数据置入，已考虑到这些随机或驱动因素。相比之下，新陈代谢模型是最理想的模型。随着系统的发展，老数据的信息意义将逐步降低，在不断补充新信息的同时，及时地去掉老数据，建模序列更能反映系统在LI前的特征。四.GM(1,1)四.GM(1,1)模型的适用范可以证明，当GM(1,1)的发展系数\a\>2时，GM(1,1)模型无意义。因此,(-oo,—2]52,+s)是GM(1,1)发展系数a的禁区。在此区间，GM(1,1)模型失去意义。一般地，当Ialv2时，GM(1,1)模型有意义。但是，随着a的不同取值，预测效果也不同。通过数值分析，有如下结论：当-oSO.3时，GM(1,1)的1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上，可用于中长期预测；当0.3<<0.5时，GM(1,1)的1步和2步预测精度都在90%以上，10步预测精度也高于80%,可用于短期预测，中长期预测慎用；当0.5v-c/SO.8时，GM(1,1)用作短期预测应十分慎重；当0.8<fS1时,GM(1,1