华中科技大学量子力学2001-2013年考研真题及答案解析

版权所有翻印必究版权所有翻印必究《华中科技大学量子力学历年考研真题及答案解析》电话400-666-0985QQ4008113567②变为令，则解为由连续性，由归一化条件得由为能级为粒子的归一化波函数。粒子坐标的分布几率：动量算符本征函数：，其中看作常数。由可得分布几率：4、（1）由知，久期方程得，即的精确本征值。由可知由可知准确到微扰二级修正的本征值为，，对展开，对展开，可知，当忽略高次项时，精确本征值和通过微扰法算得本征值相同。5、（首先标明是在什么表象下求解）在表象下，，，那么久期方程，得解得，对于本征值，令其对应波函数为，则，得，归一化，得，即波函数同理可得对于本征值，归一化波函数为（2）即，其本征态则测得为的几率为

华中科技大学2013年硕士学位研究生入学考试试卷答案解析考试科目：量子力学（除画图题外，所有答案都必须写在答题纸上，写在试题纸上及草稿纸上无效，考完后试题随答题纸交回）一、简答题（30分），的含义。波函数的几个条件。基态，束缚态，简并态，偶宇称态，散射态，态密度。算符，可测量量用什么算符表示，为什么用厄米算符表示力学量算符？定态，守恒量，好量子数。斯塔克效应，简单塞曼效应，复杂塞曼效应，光谱精细结构。【考查重点】考查量子力学中各基本概念、现象，要求理解记忆。【答案解析】波函数表示描写粒子的波。微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。表示波的强度。按照波函数的统计解释，在某一区域内找到粒子的概率与成比例。波函数在变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：连续性、有限性和导致可测量的单值性。这三个条件称为波函数的标准条件。基态：在正常状态下，原子处于最低能级，这时电子在离核最近的轨道上运动，这种定态叫基态。这是电子的稳定状态。束缚态：体系的势能在无限远处无限大，波函数在无限远处为0，使体系的能级是分立的。简并态：在物理学中，简并是指被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细物理状态。例如在量子力学中，原子中的电子，由其能量确定的同一能级状态，可以有两种不同自旋量子数的状态，该能级状态是两种不同的自旋状态的简并态。偶宇称态：宇称是用于描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，只有两个值+1和－1。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换（r→－r）下保持不变，该粒子具有偶宇称（P=+1）。散射态：是一种非束缚态，涉及体系的能谱的连续区部分，即是能量连续的态。体系的势能在无限远处有限，波函数在无限远处不为0，粒子可以在无限远处出现，体系能量可以取任意值，即组成连续谱。此时态函数是自由粒子平面波的叠加。【注意对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在。】态密度：在量子力学中，跃迁概率一节介绍过这个概念：以表示在能量范围之内末态的数目，则就是这些末态的态密度。算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。可测量量用厄米算符表示。所有力学量的数值都是实数，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数，厄米算符具有这个性质。因而量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。定态：能量具有确定值时体系所描写的状态。定态中概率密度和概率流密度都与时间无关。系统取定态时，任何物理量的平均值都不随时间变化，包括守恒量。守恒量：不显含时间t且与哈密顿算符对易的力学量算符对应的力学量。守恒量的平均值在任何量子态下都不随时间变化。好量子数：在量子力学中，标记力学量的本征值的指标称为量子数，若该力学量是守恒量（即与哈密顿量对易），那么相应的量子数就称为好量子数。利用好量子数可以使哈密顿量的矩阵准对角化从而简化计算量。斯塔克效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。可以用简并情况下的微扰理论解释。简单塞曼效应：没有外磁场时的一条谱线在外磁场（较强）中分裂为三条的现象。复杂塞曼效应：外磁场很弱，电子自旋与轨道相互作用不能略去，光谱线分裂为偶数条。光谱精细结构：由于原子中电子的自旋轨道相互作用使原子光谱线分裂，形成的多重结构。轻元素谱线的这种多重结构间隔很小，习惯上称为精细结构。二、证明题（20分）1、束缚态能级非简并，波函数为实函数。2、中，==0【考查重点】考查算符的简单计算。【答案解析】1、证明：【可以举例子：如一维无限深势阱】对整体左右求共轭得可知波函数的复共轭也是方程的解。不是简并态说明波函数与其复共轭相等，即波函数为实函数。2、同理可得=0，即==0。三、计算题（共100分，每题20分），用适当变换，求本征值和本征函。一维线性谐振子，求①坐标和动量的涨落？②是否满足测不准关系？在宽为a的一维无限深势阱中，Ψ（x，0）=（），求：（1）t=时的波函数；（2）t=0和t=时的平均能量；（3）t=时，在0~内发现粒子的概率；（4）波函数在能量表象中的表示。4、（c<1），①求精确解；②用微扰法求二级近似解；③比较两种结果。5、质量为u，自旋为的全同粒子，在宽为a的势阱中：（1）不计粒子的相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。（2）有相互作用V（丨-丨），用一阶微扰求第二、三最低态能量。（可以保留积分式）【考查重点】算符的计算，第二章谐振子、一维无限深势阱，第五章微扰论，第七章全同粒子与自旋。1、具有共同本征函数，其中又与对应的本征值分别为，则的本征值为2、①一维线性谐振子波函数其中归一化因子，基态n=0，。②因为，又满足所以满足测不准关系。3、（1）令波函数为，其中由薛定谔方程（0<x<a）解得由代入上式，即得时的波函数则（2）t=0时，对应n=1n=2能量可能值：相应几率：系统的平均能量：t=t0时系统的平均能量：（3）t=t0时刻，在0区域找到粒子的几率（4）t=t0时的波函数为n=1与n=2时的波函数的线性叠加则，则波函数在能量表象中的表示为：【延：计算可知，说明不是E的本征函数，即不是能量本征态，表象的变换不影响物理规律和结果。】4、（1）由知，久期方程得即的精确本征值。由可知由可知准确到微扰二级修正的本征值为，，对展开，对展开可知，当忽略高次项时，精确本征值和通过微扰法算得本征值相同。5、（1）求粒子体系的能量本征值和本征函数：忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量为二者各自能量的叠加：一维无限深势阱：，则（为正整数）。波函数。考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数必须是反对称的，第一最低能态：n1=1，n2=1，，则由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。第二最低能态：n1，n2分别取1和2，可组成如下四个态：三重态：单态：第三最低能态：n1=n2=2，可组成如下态：由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且为非简并态。（2）将粒子间相互作用势能V（丨-丨）看作微扰：第二最低能态：为简并态先计算子空间中的微扰矩阵元：k=1，2，3，4k=2，3，4k=3，4k=4一阶微扰修正E12（1）满足方程故能量第三最低能态：为非简并态一阶微扰修正E22（1）满足积分公式：即

Ⅲ专业课教辅专业课考研复习可分为预备阶段、基础阶段、强化阶段、冲刺阶段、模考阶段、复试阶段，我们应学会在每个阶段高效合理利用复习资料。一、教辅简介1、《复习精编》（1）复习方略：实战经验，高屋建瓴。（2）考前必知：考研常识，一览无余。（3）考试分析：题型分析，考点分布。（4）复习指南：宏观指导，提纲挈领。（5）核心考点解析：考点详解，星级重点。（6）考研真题与答案解析：研读深究，实战演练。2、《冲刺宝典》（1）高分冲刺复习指南：冲刺策略制定、考前心态调整、答题策略研究。（2）历年考题风格与解法剖析：剖析考题风格，洞悉考试规律，提升解题技巧。（3）考点考题分析与预测：把握命题走向，分析往年考题，预测考点考题。（4）近年试题分析与展望：往年试题分析，预测考试方向，当年考试展望。3、《模拟五套卷》（1）模拟试卷：遵循近年考试风格、真题题型、考查范围、命题趋势等进行模拟汇编。（2）答案解析：对具体题目配有答案解析，内容详实准确，重点突出。4、《历年真题及答案解析》（1）真题试卷：往年真题试卷，每个考生必备的重点复习材料之一。（2）答案解析：提炼试题考点、命题角度并点拨答题要领，全面详细分析试题。5、《复试一本通》（1）复试流程：了解复试各环节，打好考研最后一仗。（2）复试真题与经验谈：专业课复试题型、部分真题题目，高分经验谈。（3）复试高分攻略：专业课笔试、面试高分攻略，复试英语高分攻略。（4）导师论文与联系方式：归类汇总主要老师的论文和课题及联系方式。（5）复试注意事项：面试中常见的注意事项和复试细节。6、《资料大全》（1）历年考研真题试卷：专业课历年考研真题试卷/名校历年考研真题汇编。（2）教材核心考点解析：浓缩知识点精华，典型考题详解与点评。（3）相关教材题库：名校考研真题，课后习题，章节题库，模拟试题。（4）专业课内部资料：教学课件，本科考试试题，高分学长学姐笔记。7、其他精品（1）《核心考点解析》：提炼浓缩指定教材各章节核心要点并详细解析（2）《名校真题汇编》：20余所知名高校专业课真题题目汇编（3）《课后习题精选》：指定参考书目的课后习题精选（4）《题库精粹》：专业课经典题目答案详解二、使用说明预备阶段：《复习精编》通过全面了解《复习精编》中的“考前必知”列出的考研信息，科学选择适合自己的适用专业；参阅“复习方略”制定属于自己的最佳复习方略。基础阶段：《复习精编》+《历年真题及答案解析》借助《复习精编》中的“考试分析”与《历年真题及答案解析》了解考研命题变化的趋势；通过认真研读《复习精编》中的“核心考点与解析”初步形成基础知识体系，并通过做真题、习题来进一步熟悉和巩固知识点，达到夯实基础的目的。强化阶段：《复习精编》+《历年真题及答案解析》利用《复习精编》中的“复习指南”（复习提示和知识点框架图）来梳理章节框架体系，结合《历年真题及答案解析》强化背诵记忆各章节的“核心考点与解析”中星级高的常考点及考试重点。冲刺阶段：《复习精编》+《冲刺宝典》通过《冲刺宝典》中的“考点考题分析与预测”，以题目带动知识点，考查自身是否能灵活运用所有的重要内容，结合《复习精编》中的“核心考点解析”迅速找到知识体系中的“盲点”，对已考知识点熟练掌握，对未考知识点多加留心，进行最后地加强与巩固。模考阶段：《模拟五套卷》严格按照考试规定时间完成《模拟五套卷》，并适当预留出5-10分钟的机动时间，用于拆封试卷、填涂答题卡、填写信息、检查内容正确与否及完整程度等环节。在答题过程中，应一丝不苟不要随意中断，始终保持应试的状态进行全真演练。复试阶段：《复试一本通》复试之前，考生就需要对《复试一本通》中的“复试流程”进行宏观了解，准备好所需的材料、表格，同时需仔细研读“复试真题”、“复试经验谈”、“导师论文部分”，对复试指定书目进行全面复习。复试演练时，考生可参阅“复试高分攻略”部分，强化口语表达，同时根据复试注意事项中的提示，规范自身的举止，重视礼仪和细节的展现，争取给导师留下良好印象，展现自身良好的学术素养和心理素质。三、内部权威资料（1）《华中科技大学量子力学考研复习精编》（2）《华中科技大学量子力学考研冲刺宝典》（3）《华科量子力学考研模拟五套卷与答案解析》（4）《华中科技大学物理学院考研复试一本通》四、考研必备网站推荐1.研途宝2.研头条考研kaoyantime3.研途宝论坛4.研途宝官方微博新浪：/yantubao

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