数字图像处理-傅里叶变换

马殿富dfma@2002.9.29数字图像处理傅里叶变换1768-1830

1变换问题的引入

频率域幅值与频率

空间域灰度2数字图像正交变换傅里叶变换沃尔什变换哈达玛变换离散余弦变换K-L变换小波变换3傅里叶变换傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字图像之类的数字化系统，把傅里叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题。4幅值频率波形如何表示？？5一维基函数二维基函数欧拉公式6一维傅立叶变换定义设x(n):x(0),x(1),……,x(N-1);X(m):X(0),X(1),……,X(N-1)是数字序列，则序列x(n)的傅立叶变换生成序列X(m)表示如下：正变换反变换缩写函数W的周期为N7x(n)是输入函数，X(m)是输出函数，N=8函数W周期为N=88二维傅立叶变换定义图像矩阵实数频域矩阵复数9二维傅立叶变换定义设f(x,y):f(0,0),f(0,1),……,f(0,N-1),f(1,0),f(1,1),……,f(1,N-1),…….f(N-1,0),f(N-1,1),……,f(N-1,N-1),是数字矩阵F(u,v):f(x,y):f(0,0),f(0,1),……,f(0,N-1),f(1,0),f(1,1),……,f(1,N-1),

…….f(N-1,0),f(N-1,1),……,f(N-1,N-1),是数字矩阵则f(x,y)的傅立叶变换生成F(u,v)表示如下：正变换反变换变换对10二维傅立叶变换傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej

(u,v)傅立叶谱：|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2相位

(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v))能量谱:E=|F(u,v)|21112二维傅立叶变换傅立叶谱：|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2相位:

(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v))131415二维傅立叶变换示例(1)16二维傅立叶变换示例(2)17

18192021傅里叶变换示例

22傅立叶变换示例(1)图像中的周期性噪声产生了变换中的尖峰信号23幅值与相位24傅立叶变换示例(2.1)幅值谱幅值重构图像相位重构图像相位谱25傅里叶变换性质

1可分离性二维傅里叶变换可以分离为一维傅里叶变换处理26傅里叶变换性质

1可分离性图像横向纵向27傅立叶变换性质

2周期性如果f(x,y)

F(u,v),则28傅立叶变换性质

3平移性29傅立叶变换性质

3平移性如果f(x,y)

F(u,v),则f(x,y)exp[j2

(u0x+v0y)/N]

F(u-u0,v-v0)f(x-x0,y-y0)

F(u,v)exp[-j2

(ux0+vy0)/N]u0=N/2v0=N/2exp[j2

(u0x+v0y)/N]=exp[j2

(N*x+N*y)/2*N]=exp[j

(x+y)]=(-1)(x+y)f(x,y)*(-1)(x+y)

F(u-u0,v-v0)30傅立叶变换性质

4共轭对称性如果f(x,y)

F(u,v),F*(-u,-v)是共轭复数，则F(u,v)=F*(-u,-v)|F(u,v)|=|F*(-u,-v)|31傅立叶变换性质

5旋转3233傅立叶变换性质

5旋转设f(x,y)

F(u,v),34傅立叶变换性质

6线性如果f1(x,y)

F1(u,v),f2(x,y)

F2(u,v),则

af1(x,y)+bf2(x,y)

aF1(u,v)+bF2(u,v)35傅立叶变换性质

7比例性如果f(x,y)

F(u,v),则36傅立叶变换性质

7平均值37傅立叶变换性质

拉普拉斯算子如果f(x,y)

F(u,v),并且▽2f(x,y)=

2f(x,y)/x2+2f(x,y)/y2,则▽2f(x,y)=-(2

)2(u2+v2)F(u,v)38卷积定义一维卷积定义：二维卷积定义：39卷积示例(1.1)f(x)和g(x)作卷积折叠平移形成函数g(x-)40卷积示例(1.2)f()和g(x-)乘积结果41卷积示例(2)函数f(x)冲激函数g(x)f(x)*g(x)，原样复制42卷积示例(3)折叠平移乘积43卷积定理如果f(x,y)F(u,v),g(x,y)