不确定性原理的推导

不确定性原理的推导一、（普遍的）不确定性原理推导:对于任意一个可观测量A,有（见（12）式）：b=（（A一⑷艸|（A-⑷艸）={f\f）（1）式中：/三（2—〈4〉）0同样地，对于另外一个可观测量B，有：^=（s\g）式中：g三（斤一〈3））0由施瓦茨不等式（见（16）式），有：TOC\o"1-5"\h\zb树珂/V〉〈g|g〉哥/|g〉「⑵对于一个复数Z（见（17）式）：|^|2=［Re（z）］24-［hn（z）］2＞［hn（z）］2=［l（^-f（3）2z令z=〈/|g〉，⑵式：b；&彳寺［〈彳g）-〈g|。］）⑷又〈/1g〉=-（A））y/〔（A-何）肖）彳叫（人一⑷）（斤一何）0）彳叫应一期巧一斤⑷+⑷何）0）=〈”亦P）一⑷〈”2p）+⑷（P6”）+⑷〈B〉（p|p〉=〈码-⑴⑷-⑷9〉+⑷0〉类似有:〈川g〉彳刼）-（对〈可（9）（9）（9）（9）所以⑴昉⑵刀彳码-俾）可）（5）式中对易式：[入力]三—丽把（5）代入（4）,得（普遍的）不确定性原理：（6）二、位置与动量的不确定性设测试函数几I）,有（见（23）式）：["]/⑴+曹（/）一葺时）h（Jidfhdvhdf}

i\idridvicLrJ=（7）去掉测试函数，则:A=X.B=/?t把（8）代入（6）：>->-由于标准差是正值，所以位置与动量的不确定性:(11)(11)(11)(11)三、时间与能量的不确定性由（见（24）式）：(10)叮加-⑴(10)可得：b、Qp=加—⑴，加卜3所以时间与能屋的不确定性：(18)(18)附：1、数学符号及常量〈X〉:X的平均值〈&|0〉：矢量（函数）a和0的点积（内积）j的不确定程度，即丿•的标准差hxh=—,其中A=6.6260693（11）1034Js为普朗克常量2龙/：z2=-l2、有关公式推导⑴式：洞0〈0）洞0〈0）巧⑵式：对于|何0〉「和9|©〈0|0）设67=（心呂,兀,・・・爲），0=（儿儿,儿，…,儿）则I〈a|0）『=g+•耳儿+5儿+•••+£y,,）2〈a|a〉=（彳+三+丘+…+兀）〈0|0〉=（）£+£+）£+•••+£）(12)(13)(14)(15)构造方程:构造方程:(兀一y\)2+(tx2-y2)2+(血一y3)2+・••+(%—yn)2=0其中/为未知数显然，该方程最多仅有一个对f的解该方程可写为：（彳+丘+£+-+x；）t2-2（i+x2y2+禺儿+•••+兀”儿）•『+（y；+y；+yl+•••+y；）=o因为其解只有o或i个，所以△§（）：4（砒+无儿+耳儿+•••+X”儿）'—4（对+疋+£+・・・+兀：）$：+）弓+yl+・•・+£）<0把（12）、（13）、（14）式代入，得：|00〉『<©口〉〈0|0〉（⑹⑶式：设z=ci+ib则[£(“/)]—#[("ib)-(a-ib)]2=-^(2ib)2=b2[Im⑵]7所以(17)[Im⑵F=[£(Z+M(17)2i（6）式：薛定愕方程:加竺一乂竺+艸dt2mdx^可以写做:dt2mdx^h及其共轨式:更L一匹—

dt2mdx^h所以又由（13）、（14）式，有:利用分部枳分公式：（15）式可以写为ill2wddx对第二项再分部积分,所以:dx2dx2ih2m(19)⑴二匚训血ihr2〃」OX—

dtdxdx"執T篇妙+就d/PcLrdxdxi消去边界项（在±8处P趋于0）,得:dx（P）=//7（V）=d/(20)(21)(22)(23)(23)(23)(23)则有（6）式中的（儿”为算符）:x=X<tl0

p=idx（9）式：b彳⑷）>工（4/疗（力=工C/-⑺井U）=E（/-2j（；hO）2）P（j）=工『p®-2⑴工jpe+uY工