专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)

专升本高等数学（一）-多元函数微积分学（二）（总分：99.98，做题时间：90分钟）A.丿C.D.［*］（答案为［*］（答案为B）于2.于2.设z=(lny)xy，则A.xy(lny)xy-1B.(lny)xylnlnyC.y(lny)xylnlnyD.x(lny)xylnlny（分数：2.00）A.B.丿D.解析：［解析］本题主要考查简单二元函数偏导数的计算.［*］（答案为C）3.设z=sin（xy2）,则等于A.-2xycos（xy2）B.-y2cos（xy2）C.2xycos（xy2）D.y2cos（xy2）分数：2.00）A.B.丿D.［*］.（［*］.（答案为C）4.已知f(xy,x-y)=x2+y2，则于A.2+2yB.2-2yC.2x+2yD.2x-2y（分数：2.00）丿B.C.D.解析：[解析]本题主要考查简单二元函数偏导数的计算f（xy，x-y）=x2+y2=（x-y）2+2xy，f（x，y）=2x+y2，[*]，[*]•（答案为A）5.函数z=3x2y+2xy3在点（1,1）处的全微分dz|等于（1，1）A.4dx-3dyB.4dx+3dyC.8dx+9dyD.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.丿D.解析：[解析][*]A.{(x,y)|x2+y2W4}B.{(x,y)|x2+y204且xMO}C.{(x,y)|x2+y2W4且x#0,y#0}D.{(x,y)|x2+y2W4且y工0}分数：2.00)A.B.丿D.A.{(x,y)|0<X2+y2W2}B.{(x,y)|0Wx2+y2W2}C.{(x,y)|0<X2+y2<2}D.{(x,y)|0Wx2+y2<2}分数：2.00)丿B.C.A.B.丿D.A.丿B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}（总题数：13,分数：26.00）填空项1:（正确答案：［*］）解析：［解析］根据二元函数的定义,函数关系只取决于定义域与对应法则,而与变量所选用的记号无关,如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为［*］•如果将第一自变量u用［*］替换，第二自变量v用［*］替换，则有［*］f（x,y）=2x2+y2，则f（xy，X2_y2）=1.（分数：2.00）填空项1:（正确答案：X4+y4）解析：［解析］f（xy，x2-y2）=2（xy）2+（x2-y2）2=x4+y4.f（x+y，x-y）=X2—y2，贝寸f（x，y）=•（分数：2.00）填空项1:（正确答案：xy）解析：［解析］解法I（置换法）令［*］解得［*］代入给定函数，则有［*］，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f（x，y）=xy解法II（拼凑法）由于f（x+y，x-y）=（x+y）（x-y），则有f（x，y）=xyf(xy,x-y)=X2+y2+xy,则f(x,y)=.(分数：2.00)填空项1：(正确答案：3x+y2)解析：［解析］由于f(xy,x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy.填空项1：（正确答案：2x+yex）解析：[解析]本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数填空项1：（正确答案：X2cos（x2y））填空项1：（正确答案：1）解析：[解析]本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法I[*],[*].解法II由于是求函数[*]在点（1,0）处对x的偏导数，可先求出z,（x,0）即将y=0代入函数[*],可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数.[*],[*].17.函数z=ln（l+x2-y2）的全微分dz=.（分数：2.00）填空项1：（正确答案：[*]）填空项1：（正确答案：dx）填空项1：（正确答案：2x）解析：[解析]本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数.[*].20.函数z=z（x,y）是由方程X2z+2y2Z2+y=0确定，则dz=.（分数：2.00）填空项1：（正确答案：[*]）解析：[解析]两种解法如下．解法I（公式法）令F（x,y,z）=X2z+2y2Z2+y,分别求出三元函数F（x,y,z）对x,y,z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数.[*],(3).(3).[*]解法II(直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x,y)=4(x-y)-X2-y2的极大值点是(分数：2.00)填空项1:(正确答案：8)解析：[解析]解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4<0,A=-2<0,填空项1：(正确答案：{(x,y)|l<X2+y2W2})解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数:1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．分数：55.98)分数：求下列二元函数的定义域．分数：55.98)分数：3.11)正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x,y)|0<X2+y2W4},此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)•[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1).(分数：3.11)正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1〉0,即y2〉2xT.所以D={(x,y)|y2〉2x-1},此函数的定义域是以点([*],0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])分数：3.11)

分数：3.11)正确答案：(对于函数arcsinf(x,y),arccosf(x,y),要求|f(x,y)|Wl,则有[正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则,有[*]=exysin(x+y)y+exycos(x+y)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],正确答案：（令F（x，y，z）=yz+x正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则,有[*]=exysin(x+y)y+exycos(x+y)=exy[ysin(x+y)+cos(x+y)],正确答案：（令F（x，y，z）=yz+x2+z，分别求出三元函数F（x，y，z）对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数.［*］）解析：解析：(4).分数：3.11)(4).分数：3.11)正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x,y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x,y)|y2W4x,x2+y2<l且x#0,y#0},此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])

解析⑸.，求分数：3.11)正确答案：[*])

解析⑸.，求分数：3.11)正确答案：([*],[*].)正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．[*])•(分数：3.11)解析：(8).设z=f(xy,x2+y2),且f可微分,求正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数设z=f(u,v),u=xy,v=x2+y2•(分数：3.11)[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz.(分数：3.11)正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分．[*])正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分．[*])正确答案：（［*］）正确答案：（本题主要考查计算二元复合函数的全微分．［*］，［*］）正确答案：（［*］．）正确答案：（［*］．）解析：（14）.设函数，求•（分数：3.11）正确答案：（［*］）正确答案：（本题主要考查计算二元复合函数的全微分．［*］，［*］）正确答案：（［*］．）正确答案：（［*］．）解析：（14）.设函数，求•（分数：3.11）正确答案：（［*］）解析：（15）.设函数z=z（x，y）是由方程x2+y2-xyz2=0确定，求正确答案：（令F（x，y，z）=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F（x,y,z）对x,y,z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数.［*］）•（分数：3.11）•（分数：3.11）（18）.设函数z=z（x，y）是由方程z=x+yez确定，求正