勾股定理基础知识

一、 复习内容1、勾股定理的内容。2、 在RtAABC中，/ACB=90°，已知A=2,B=3，则c=；当c=13,a=5，则b=3、实数包括和。4、数轴上点和是一一对应的。5、 在数轴上画出表示下列各数的点：0,2,3，-2,-1.5 ：二、 知识点梳理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为。，b，斜边长为c，那么。2+萨=。2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数:3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1） 确定最大边（不妨设为c）；（2） 若c2=a2+b2，则△ABC是以/C为直角的三角形；若a2+b2<c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2+b2>c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2） 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3） 用于证明线段平方关系的问题。（4） 利用勾股定理，作出长为＜7的线段勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即：a2+b2=c2。常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。这个一定要牢记于心。三、典例精讲考点一：勾股定理的直接应用例1.正方形的面积是2,它的对角线长为（ ）A、1B、2 C、®'2 D、兰2例2.例2.如图，由RtAABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为cm2考点二：求第三条边的长例1.若RtABC中，/C=90。且c=37,a=12，则b=（ ）A、50BA、50B、35C、34D、26例2.已知两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段时，这三条线段能组成一个直角三角形。（提示：所给的两条边长不一定都为直角边。）例3.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c,a2=144,b2=25，则c2=（ ）A、169 B、119C、169或119D、13或25考点三：与高、面积有关例1.两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高例2.等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是cm2♦勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。判断步骤：（1）比较a、b、c大小，找最长边；（2）计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。例1.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格”）例2.试判断：三边长分别是a2-b2,a2+b2,2ab（a>b）的三角形是不是直角三角形？经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 "必1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3，求n。总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15,17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40【变式5】四边形ABCD中，/B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【变式5】解：类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。课内练习与训练一、填空题（每题3分）三角形的三边满足a2=b2+C2，这个三角形是三角形，它的最大边是.在直角三角形ABC中，ZC=900,，BC=12,CA=5,AB=.如果一个直角三角形的三边为三个连续偶数，那么它的三边长为.三角形的三边长分别是15、36、39，这个三角形是三角形.已知△ABC中，AB=12，BC=9，那么当AC2=或时，AABC是直角三角形.如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为.在^ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，如果AB=17，BC=16，那么AD=.在^ABC中，ZC=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要分的时间.甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了28km，乙往南走了21km，这时，甲、乙两人相距.如图（1），四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是.二、选择题（每题4分）有五组数：①7，24，25；②12，16，20；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（ ）.A.1 B.2 C.3 D.4下列结论错误的是（ ）.度数之比为1：2：3的三角形是直角三角形三个边长之比为3：4：5的三角形是直角三角形三个边长之比为8：16：17的三角形是直角三角形三个角度之比为1：1：2的三角形是直角三角形TOC\o"1-5"\h\z如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）.A.7,24,25B.31,41,51C.3,4,5D.4,71,812 2 2 2 2如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ）.A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为（）.a）A,30B.28C.56D,不能确定如图（2），一圆柱高8cm，底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点8处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ）.图1图2图3A. 20cm B.10cmC.14cmD.无法确定图1图2图3A.3B.4C.5D.6A.3B.4C.5D.6小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（ ）.A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定如图3，已知正方形的面积为25，且AC比AB大1，BC的长为（ ）.三、解答题如图，要从电线杆离地面8m处向地面拉一条长10m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离.（6分）一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积.（7分）已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为。(2)已知RtAABC中，/C=90°(2)已知RtAABC中，/C=90°A、24cA、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2（3）（3）已知x、y为正数，且|x2-4|+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25CA、5B、25C、7D、15如图，点P是反比例函数y=k上任意一点，XS =2，贝Uk=难点：PA±x轴于点A，若如图，点P是反比例函数y如图，点P是反比例函数y=k上任意一点，XPA±x轴于点A，PB±y轴于点B，s=2，则k=;。m函数'x与】=弘-酬（洗正0）在同一平面直角坐标系中的图像可能（）。已知一次函数'/I