图形的初步认识讲义及练习

图形的初步认识 Λ.几何图形立体图形〔体〕锥体〔圆锥、棱锥〕「占八、、几何图形〔点、线、面、体〕直线〔射线、线段〕线 1 W平面图形 曲线 ,I〔面点动成线，线动成面，面动成体。L柱体〔圆柱、棱柱〕J球体L平面〔角、三角形、平行四边形、圆等〕L曲面二、线段、射线和直线1、概念及记法的区别线段：〔1〕有两个端点〔2〕可以度量〔3〕Aa B记作：线段AB或线段BA或线段a射线：〔1〕有一个端点〔2〕向一方无限延伸〔3〕A」 记作：射线AB直线：〔1〕无端点〔2〕向两方无限延伸〔3〕ABl记作：直线AB或直线BA或直线l2、相关概念两点间的距离：连接两点的线段的长度线段的中点：分一条线段为两条相等的线段的点。如AICBIC为线段AB上一点，且AC=BC，则C为线段AB的中点，记作AB=2AC=2BC或AC=BC或AC=BC=1AB3、线段大小的比拟线段长短的比拟有两种方法：〔1〕度量法〔用刻度尺量出两线段的长度再比拟〕〔2〕叠合法〔用圆规〕4、相关性质公理直线公理：过两点有且只有一条直线线段公理：两点之间，线段最短三、角的认识角的概念静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形〔公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边〕运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形〔起始位置的射线称为角的始边，终止位置称为角的终边〕角的表示方法〔1〕可以用三个大写字母来表示，如^AOB〔2〕在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如/O〔3〕可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如/1,/2或/α,/β3、角的大小角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置〔*口大小〕来决定。(1)计量单位：度，分，秒〔时钟的分针，经过一分转6。，时针经过一小时转30。〕(2)角的大小比拟两种方法：①度量法〔用量角器〕②叠合法〔保持顶点和其中一条边重合〕〔3〕两个角的和或差两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较大角中去掉一个较小角后的角。〔4〕角平分线概念：从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线O表示方法：如图，假设OC是/AOB的平分线，则①/AOC=/BOC②/BOC=/.AOC=2/AOB③/AOB=2/AOC=2/BOCCA性质：角平分线的点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上〔5〕角的分类锐角〔大于0。小于90。的角〕直角〔等于90。的角〕钝角〔大于90。小于180。的角〕平角〔180。的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时所形成的角〕周角〔360。的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角〕1周角=2平角=4个直角注：不能说"一个平角是一条直线，一条射线就是周角〞〔6〕补角、余角、对顶角和邻补角补角和余角属于数量关系角，对顶角和邻补角属于位置关系角。①如果两个角的和是一个平角，则这两个角互为补角，即/1+/2=180。，则/1,/2互为补角，简称互补，/1是/2的补角或/2是/1的补角。同角或等角的补角相等。②如果两个角的和是一个直角，则这两个角互为余角，即/1+/2=90。，则/1,/2互为余角，简称互余，/1是/2的余角或/2是/1的余角。同角或等角的余角相等。③两条直线相交形成两类角：一是对顶角，一是邻补角。对顶角相等，邻补角是特殊位置上的补角。如图(a)，两直线AB、CD相交于O,则对顶角有两组：^AOC=/BOD,^AOD=/COB；邻补角有四组：/AOC和/BOC，/AOC和/AOD，/AOD和/BOD，/BOD和A北(b)(a) (C)〔7〕方位角方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一。具体表示时，是南〔或北〕在先，再说偏东〔或偏西〕。如上图(b)，OA的方向为北偏东30。，OB的方向为南偏西45°〔即西南方向〕四、相交线和平行线同一平面内，两直线的位置关系：相交或平行。1、相交线〔1〕相关概念两直线相交：假设两直线有且只有一个公共点，则称两直线相交，公共点叫做交点。垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如上图〔C〕，直线AB，CD互相垂直，垂足为O，记作ABɪCD或CDɪAB于O，读作“AB垂直于CD,垂足为0〃。注：垂线是直线而不是线段。点到直线的距离：从直线外一点向直线作垂线，这点和垂足之间的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线〔亦叫中垂线〕。比例尺=图上距离

实际距离〔2〕相关性质①经过一点有且只有一条直线与直线垂直②直线外一点与直线上各点联结的线段中，垂线段最短③线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。2、平行线〔1〕相关概念两直线平行：在同一平面内不相交的两条直线。如在同一平面内a与b不相交，即a平行于b，记作a〃b。两平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。〔2〕平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果同一平面内有两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，即""aɪc,bɪc,则a〃b”五、作图1、过直线l外一点A画直线l的垂线方法一：用三角尺〔作法：如以下图，三角尺一条直角边和l重合，并移动使得另一直角边过A点，再用铅笔沿另一条边画直线即为所求〕方法二：用量角器〔作法：如以下图，量角器的9。。线与l重合，并移动使得零刻度线过A点，零刻度线所在直线即为所求〕2、过直线a外一点P画一条直线b,使得a//b方法一：如图，①任意画一条直线l,使lɪa②过点P画直线b±l，则a/b,b即为所求方法二：如图，用三角尺和直尺画a/b3、画ZAOB的角平分线OP方法一：用量角器量出ZAOB的度数，以OB为始边用量角器量出1ZAOB，终边为OP,则OP即为所求方法二：尺规法〔同4、〔4〕〕4、尺规作图〔1〕比拟两线段a和b的大小作法：①将圆规的两脚和线段a的两端点重合②此圆规的一脚和b的一端点重合，进展叠合后假设另一脚落在b上，则aYb；假设落在b外，则aAb；假设则好跟匕另一端点重合，则a=b〔2〕画一线段等于线段a和b〔aAb〕的长度的和或差①记C为a和b长度的和，则C=a+b作法：如以下图，用直尺延长a〔AB〕到一定长度，再用圆规往右顺次截取BC=b,则AC即为所求②记d为a和b长度的差，则d=a—b作法：如以下图，用圆规在a上截取AC=b,则BC即为所求〔3〕画一线段AB的垂直平分线作法：如图〔3〕①分别以AB为圆心，大于1AB长为半径在AB上下画弧，上面两条弧的交点为C,下面两条弧的交点为D②连接CD,则直线CD即为所求〔4〕画一ZAOB的角平分线OP作法：如图〔4〕①以。为圆心，任意长为半径画弧分别交OA,OB于C,D②分别以C,D为圆心，大于1CD长为半径在ZAOB内画弧，两弧交点为P③连结OP,则OP即为所求图(3)图(4)【探索】1、直线1上有n个点，问共有多少条线段和多少条射线?答案：线段有：(n-1)+(n-2)+(n-3)+ +3+2+1='^—-2、3、射线有：2n如果以。为端点有n条射线〔构成的角都小于平角〕，组成的角有多少个?答案：角有：（n-D+（n-2）+（n-3）^—^3+2+1=n，nD利用一副三角板可以拼出多少个角〔不包括0。和180。角〕？答案：可以拼出11个角〔这11个角分别以15。递增：15。,30。,45。,…135。,150。,165。【练习】单元测试（A）一、填空题〔每题2分，共20分〕.不在同一直线上的四点最多能确定条直线..如图，从A地到B地走条路线最近，它根据的是..如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图

角等于度.则此零件的锥4.当图中的∠1和∠2可〕.满足时，能使OA⊥OB〔只需填上一个条件即5.从A都不一样②则有种市的特.第3题图快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价的票价6.小每天下午5:30回家，这时分针与时针所成的角的度数为7.在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个局部，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个局部，3个圆把平面最多分成2×3+2=8个局部，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个局部，则10个圆把平面最多分成个局部..有边长为1的等边三角形卡片假设千*,使用这些三角形卡片拼出边长分别是2,3,4,…的等边三角形（如下图）.根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数S与边长n的关系式是..如下图的4×4正方形网格中，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+二、选择题〔每题3分，共30分〕.假设∠α=30°，则∠α的补角为（）.A.30° B.60°C.120°D.150°.平面上有三点4、B、C,如果AB=8,AC=5,BC=3,A.点C在线段AB上C.点C在直线AB外∠6+∠7=.B.点B在线段AB的延长线上D.点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外12.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，则这艘船位于这个灯塔的〔〕A.南偏西50度方向B.南偏西40度方向C.北偏东50度方向D.北偏东40度方向13.如图，/1=15。，ΛAOC=90。，点B、0、D在同一直线上，则C的度数为〔〕A.75。B.15。 C.105。D.165。14.如图，∠AOC=90°,∠COB=α,OD平分∠AOB,则∠COD等于D1则.〔〕C.45°—α D.90。一α.*公司员工分别住在A,B,Cm个住宅区，A区有30人，人，C区有10人.三个区在同一条直线上，位置如下图.该B区有15

公司的接送车打算在此问只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，则停靠点的位置应设在（）A.A区B.B区C.C区.一点）往由经alIOo共有两不同途径共有（A.3条m200mD.A,B两区之间条信息可通过

下向各站点传

的站点送达，也

条途径传送.则).B.4条C.6条如图的网络线由上（A送.例如信息到b2点可可由经a2的站点送达，信息由A点到达d3的D.12条A.色2B45TBC17.为解决四个村庄用电问题,政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现各村及电厂之间的距离如下图〔单位：公里〕，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（ ）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5.花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如以下图的A、B、C、D所示，其中的阴影局部用于种植花草.种植花草局部面积最大的图案是（）.， , ，， ,a, ，， •（说明：A、B、C中圆弧的半径均为^,D中圆弧的半径为a）2.&、β是斗钝角广算，+β）的值级、乙、24°、48°、76°、8立同D.［村5.5Ctt7-B村第17题中只有一个答案是正确的，则正确A.86°B.76°C.48°D.24°、解答题〔21~25题每题6分，26~27题每题10分，共50分〕20.长.23.∠1与∠2互为补角，且∠2的2比∠1大15°,求∠1的余角.3如下图，∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°,求∠AOB的度数。如图，B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a,BC=b,求线段AD的如图，A、0、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°,试问：∠COD与∠DOE之间有什么关系〃说明理由.24.如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°.假设∠AOC二∠AOB，则OC的方向是；OD是OB的反向延长线,OD的方向是；∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD,作∠BOD的平分线OE,OE的方向是在⑴、〔2〕、〔3〕的条件下，∠COE=北25.如图，是*风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点,1E为两条路的穿插点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）.一学生从A处出发，以2千米/小时点的逗留时间均为0.5小时.〔01**〕 西的速度步行游览，每个景

东⑴当他沿着路线A—D—C—E—A游览回到A处时，共用了3小时，求南ICE^q长;⅛EB.°.A0⑵假设此学生打算从A处出发，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在4小时内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计 I0F的理由（不考虑其他因素）, L×?单元测试〔B〕 A~7V一、填空题〔每题2分，共20分〕 4∣c■假设Na的补角为120。,则Na=度..如图，直线ABLCD于0,直线EF过点0,且NAOE=40°,则NDOF=度..38o12z等于度..在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是个..从A市开往B市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不一样，则有种不同的票价..如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，图中所有线段的长度之和为23,则线段AC的长度为..将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则NCBD的度数为..观察两两相交但无三线共点的假设千条直线，将平面划分成的区域个数K,有如下事实：一条个区一个~个 巨域，K=2=i^+1;两条直线将平面划分成4个区域，K=4=生3+1；三条2直线将平面划分成7个区域，K=7=3^1+1;….请根据你的推测，n条直线最多可将平面划分成的2区域个数K,用n的代表式表示为K=.观察以下图形：，M 人E ，L 一,一， “人E ,L - ，，一， ， 3 …人E ，L假设第1个图形中阴影局部的面积为1,第2个图形中阴影局部的面积为了，第3个图形中阴影局4部的面积为.9,第4个图形中阴影局部的面积为27,……则第n个图形中阴影局部的面积为（用字母n表示）..a、8、Y中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算］（a+β+γ）的值时，有三位同学分别算出了23。、24。、25°这三个不同的结果，其中确有一个是正确的答案，则a+β+γ=.二、选择题〔每题3分，共30分〕.以下各图形中，有交点的是〔〕.12：15时，钟表的时针与分针所成的角是（）A.直角 B.锐角 C.钝角 D.平角.如图，∠AOB是一直角，∠AOC=40°,OD平分∠BOC,则∠AOD等于（ ）A.65° B.50。 C.40。 D.25°.在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是（）.A.1条B.4条C6条D.1条或4条或6条.小华用如下图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，以下给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案是（）.一条船在灯塔的北偏东300方向，则灯塔在船的什么方向〔〕A南偏西300B西偏南400 C南偏西600D北偏东300.在图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以一样的速度从A点到B点.甲G出44B虫沿弧ADA「A1EA.AFA3,A3GB路线爬行，乙虫沿路线爬行，则以下结论正确的选项是（ ）A.甲加到Bz3：乙拈到B点C.甲、乙同时到B点D.无法确定.平面内有条直线（∏N2）,这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，贝∣∣a+b的值是（）.〃2—〃n2—n+2A.n（n-1）B.∏2-n+1C.——-—— D. .如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（）（A）两点之间线段最短 （B）两直线相交只有一个交点（C）两点确定一条直线（D）垂线段最短20.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的