大学物理上练习册第2章《刚体定轴转动》答案-2013

#第2章刚体定轴转动一、选择题1(B)，2(B)，3(C)，4(C)，5(C)、填空题(1).62.5 1.67s(2).4.0rad/..0.25kg•m2—^mgl参考解：M=JdM=J1Qgm/1》dr=—^mgl2 02(5). 2E0三、计算题1.如图所示，半径为0=0.3m的A轮通过皮带被半径为r2=0.75m的B轮带动，B轮以匀角加速度汽rad/s2由静止起动，轮与皮带间无滑动发生.试求A轮达到转速3000rev/min所需要的时间.解：设A、B轮的角加速度分别为。A和。B，由于两轮边缘的切向加速度相同则A轮角速度达到①所需时间为at=PAr1=PBr2PA=PBr2/ri33rt一歹一旷AB2(3000义2兀/60)x0.3 s=40s兀x0.752.一砂轮直径为1m质量为50kg,以900rev/min的转速转动.撤去动力后，一工件以200N的正压力作用在轮边缘上，使砂轮在11.8s内停止•求砂轮和工件间的摩擦系数.(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为1mR2,其中m和R分别为砂轮的质量和半径).解：R=0.5m,3。=900rev/min=30汽rad/s,根据转动定律 M=-JP这里 M="NRN为摩擦系数，N为正压力，J=1mR2.设在时刻t砂轮开始停转，则有：3=3+Pt=0t0从而得 P=-30/t将②、③、④式代入①式，得—目NR=1mR2(-0/1)20①②③④日二mR30/(2Nt户0.5.有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为口，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度3。开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（已知圆形平板的转动惯量J=1mR2，其中m为圆形平板的质量）解：在厂处的宽度为”的环带面积上摩擦力矩为«,,mg人 ,dM=U ♦2兀r•rdr兀R2总摩擦力矩故平板角加速度设停止前转数为n,由可得M=JRdM=—日mgRo总摩擦力矩故平板角加速度设停止前转数为n,由可得贝慢角 0=2m32=2P0=4兀Mn/JoJ32c …n= o-=3R32/16n目g4兀M 0.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为30.设它所受阻力矩与转动角速1度成正比，即M=-k3（k为正的常数），求圆盘的角速度从30变为230时所需的时间.解：根据转动定律:两边积分:得Jd3/dr=-k3解：根据转动定律:两边积分:得d3 k.——=--dt3JJ3o/2ld3=-Jtkdt3o 3 0Jln2=kt/Jt=(Jln2)/k5.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示.轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r,整个装置架在光滑的固定轴承之上.当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S.试求整个轮轴的转动惯量（用m、r、t和S表示）.mg-T=mamg-T=ma①Tr=JP②由运动学关系有：a=rP③由①、②、③式解得：J=m(g—a)r2/a④解：设绳子对物体（或绳子对轮轴）的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得:又根据已知条件v0=01••S=—at2, a=2S/12 ⑤将⑤式代入④式得：J=mr2（会-1）2S3.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2,且m1>m2,定滑轮的半径为r,对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计.设开始时系统静止，试求看时刻滑轮的角速度.解：作示力图.两重物加速度大小。相同，方向如图.m1g-T1=m1aT2-m2g=m2a设滑轮的角加速度为。，则(T1—T2)r=JP且有 a=rP由以上四式消去T1,T3.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2,且m1>m2,定滑轮的半径为r,对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计.设开始时系统静止，试求看时刻滑轮的角速度.解：作示力图.两重物加速度大小。相同，方向如图.m1g-T1=m1aT2-m2g=m2a设滑轮的角加速度为。，则(T1—T2)r=JP且有 a=rP由以上四式消去T1,T2得：m-m)grP=t-1―)——rm+mr2+J12开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度.TTFam2gm-m)grt3二Pt= 1 ^2 m+m)r2+J127.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动.棒的质量为m=1.5kg,长度为l=1.0m,对轴的转动惯量为J=3ml2.初始时棒静止.今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示.子弹的质量为m，=0.020kg,速率为v=400m・s-1.试问:m,l(1)(2)棒开始和子弹一起转动时角速度3有多大？若棒转动时受到大小为Mr=4.0N•m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度0?解：(1)角动量守恒：m'vl=「1, ”)—ml2+m12313

m'v

「1 A—m+m1=15.4rad•s-1(2)由转动定律,得：1—Mr=(3ml2+ml2)p0—32=2p0-m+m'12320=13 L2Mr=15.4rad(1)两轮啮合后的转速n;(2)两轮各自所受的冲量矩．解：(1)选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，JA°A+JB①B=(JA+JB)°，又％=0得： 0-JA°A/(JA+JB)=20.9rad/s转速 n~200rev/min⑵A轮受的冲量矩「JMAdt=JA(JA+JB)=-4.19X102N・m・s负号表示与可方向相反.B轮受的冲量矩.JMBdt=JB(°-0)=4.19X102N・m・s、，，B 方向与°相同．A4.一匀质细棒长为2乙质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点0发生完全非弹性碰1撞.碰撞点位于棒中心的一侧2L处，如图所示.求棒在碰撞后的瞬时绕0点转动的角速度°．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时1的转动惯量为3ml2，式中的m和l分别为棒的质量和长度.)故系统角动量守恒1212J3L/2p故系统角动量守恒1212J3L/2pvxdx-J00L/2pvxdx=pvL2=00-mvL2 0式中P为杆的线密度.碰撞后瞬时，杆对0点的角动量为221(1、

+—m—L7°二一mL2°12因碰撞前后角动量守恒，所以7mL2°/12=mmvL2 0°=6v0/(7L)10.空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为J0,环的半径为R,初始时环的角速度为°0.质量为m的小球静止在环内最高处A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心0在同一高度的B点和环的最低处的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的,小球可视为质点，环截面半径r<<R.)解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零,角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．小球到B点时： J0°0=(J0+mR2)° ①

—J32+mgR=200TOC\o"1-5"\h\z式中vB表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度.由式①得:3=J030/（J0+mR2） 1分.J32R2 ,代入式②得 v=2gR+-0- 当小球滑b mR2+J0 0即：到。点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至30，又由机械能守恒定律知，小球在C的动能完全由重力势能转换而来.即：mmv2=mg（2R）v2c 'c四研讨题.计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。参考解答：不能・ v因为刚体的转动惯量入r2Am与各质量元和它们对转轴的距离有关.如一匀质圆盘对ii过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为1mR2，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴的转动惯量为零..刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？参考解答：根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。.乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？参考解答：分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动.乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平动的初始速度v的方向如图，则摩擦力F的方向一定向后.摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度v逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度3逐渐变小. \v当质心平动的速度v=0而角速度3W0时，乒乓「认匚一尸球将返回.因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度v c和初始角速度3。的大小应满足一定的关系.解题：由质心运动定理:-F=mdvcr dt

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