2019年全国统一高考数学试卷文科新课标

2019年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔新课标Ⅱ〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．〔5分〕集合A＝{*|*＞﹣1}，B＝{*|*＜2}，则A∩B＝〔〕A．〔﹣1，+∞〕B．〔﹣∞，2〕C．〔﹣1，2〕D．∅2．〔5分〕设z＝i〔2+i〕，则＝〔〕A．1+2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．﹣1﹣2i3．〔5分〕向量＝〔2，3〕，＝〔3，2〕，则|﹣|＝〔〕A．B．2C．5D．504．〔5分〕生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过*项指标．假设从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进展预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不一样且只有一个人预测正确，则三人按成绩由高到低的次序为〔〕A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．〔5分〕设f〔*〕为奇函数，且当*≥0时，f〔*〕＝e*﹣1，则当*＜0时，f〔*〕＝〔〕A．e﹣*﹣1B．e﹣*+1C．﹣e﹣*﹣1D．﹣e﹣*+17．〔5分〕设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是〔〕A．α有无数条直线与β平行B．α有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．〔5分〕假设*1＝，*2＝是函数f〔*〕＝sinω*〔ω＞0〕两个相邻的极值点，则ω＝〔〕A．2B．C．1D．9．〔5分〕假设抛物线y2＝2p*〔p＞0〕的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝〔〕A．2B．3C．4D．810．〔5分〕曲线y＝2sin*+cos*在点〔π，﹣1〕处的切线方程为〔〕A．*﹣y﹣π﹣1＝0B．2*﹣y﹣2π﹣1＝0C．2*+y﹣2π+1＝0D．*+y﹣π+1＝011．〔5分〕α∈〔0，〕，2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕设F为双曲线C：﹣＝1〔a＞0，b＞0〕的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆*2+y2＝a2交于P，Q两点．假设|PQ|＝|OF|，则C的离心率为〔〕A．B．C．2D．二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．〔5分〕假设变量*，y满足约束条件则z＝3*﹣y的最大值是．14．〔5分〕我国高铁开展迅速，技术先进．经统计，在经停*站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．15．〔5分〕△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinA+acosB＝0，则B＝．16．〔5分〕中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体〞〔图1〕．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体表达了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．〔1〕证明：BE⊥平面EB1C1；〔2〕假设AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．18．〔12分〕{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．19．〔12分〕*行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0〕[0，0.20〕[0.20，0.40〕[0.40，0.60〕[0.60，0.80〕企业数22453147〔1〕分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；〔2〕求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕．〔准确到0.01〕附：≈8.602．20．〔12分〕F1，F2是椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．〔1〕假设△POF2为等边三角形，求C的离心率；〔2〕如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值围．21．〔12分〕函数f〔*〕＝〔*﹣1〕ln*﹣*﹣1．证明：〔1〕f〔*〕存在唯一的极值点；〔2〕f〔*〕＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕22．〔10分〕在极坐标系中，O为极点，点M〔ρ0，θ0〕〔ρ0＞0〕在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A〔4，0〕且与OM垂直，垂足为P．〔1〕当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；〔2〕当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕23．f〔*〕＝|*﹣a|*+|*﹣2|〔*﹣a〕．〔1〕当a＝1时，求不等式f〔*〕＜0的解集；〔2〕当*∈〔﹣∞，1〕时，f〔*〕＜0，求a的取值围．2019年全国统一高考数学试卷〔文科〕〔新课标Ⅱ〕参考答案与试题解析一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．〔5分〕集合A＝{*|*＞﹣1}，B＝{*|*＜2}，则A∩B＝〔〕A．〔﹣1，+∞〕B．〔﹣∞，2〕C．〔﹣1，2〕D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：由A＝{*|*＞﹣1}，B＝{*|*＜2}，得A∩B＝{*|*＞﹣1}∩{*|*＜2}＝〔﹣1，2〕．应选：C．【点评】此题考察交集及其运算，是根底题．2．〔5分〕设z＝i〔2+i〕，则＝〔〕A．1+2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．﹣1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z＝i〔2+i〕＝﹣1+2i，∴＝﹣1﹣2i，应选：D．【点评】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．3．〔5分〕向量＝〔2，3〕，＝〔3，2〕，则|﹣|＝〔〕A．B．2C．5D．50【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标减法运算求得的坐标，再由向量模的公式求解．【解答】解：∵＝〔2，3〕，＝〔3，2〕，∴＝〔2，3〕﹣〔3，2〕＝〔﹣1，1〕，∴||＝．应选：A．【点评】此题考察平面向量的坐标运算，考察向量模的求法，是根底题．4．〔5分〕生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过*项指标．假设从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】此题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为．即可得出概率．【解答】解：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．∴p＝＝．应选：B．【点评】此题主要考察组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，此题属根底题．5．〔5分〕在“一带一路〞知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进展预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不一样且只有一个人预测正确，则三人按成绩由高到低的次序为〔〕A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【考点】F4：进展简单的合情推理．【分析】此题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手，因为只有一个人预测正确，而乙对则丙必对，丙对乙很有可能对，假设丙对乙错则会引起矛盾故只有一种情况就是甲预测正确乙、丙错误，从而得出结果．【解答】解：由题意，可把三人的预测简写如下：甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一个人预测正确，∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲不正确，∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，甲＞乙，乙＞丙．应选：A．【点评】此题主要考察合情推理，因为只有一个人预测正确，所以此题关键是要找到互相关联的两个预测入手就可找出矛盾．从而得出正确结果．此题属根底题．6．〔5分〕设f〔*〕为奇函数，且当*≥0时，f〔*〕＝e*﹣1，则当*＜0时，f〔*〕＝〔〕A．e﹣*﹣1B．e﹣*+1C．﹣e﹣*﹣1D．﹣e﹣*+1【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】设*＜0，则﹣*＞0，代入函数解析式，结合函数奇偶性可得*＜0时的f〔*〕．【解答】解：设*＜0，则﹣*＞0，∴f〔﹣*〕＝e﹣*﹣1，∵设f〔*〕为奇函数，∴﹣f〔*〕＝e﹣*﹣1，即f〔*〕＝﹣e﹣*+1．应选：D．【点评】此题考察函数的解析式即常用求法，考察函数奇偶性性质的应用，是根底题．7．〔5分〕设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是〔〕A．α有无数条直线与β平行B．α有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【解答】解：对于A，α有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．应选：B．【点评】此题考察了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考察了推理能力，属于根底题．8．〔5分〕假设*1＝，*2＝是函数f〔*〕＝sinω*〔ω＞0〕两个相邻的极值点，则ω＝〔〕A．2B．C．1D．【考点】H1：三角函数的周期性．【分析】*1＝，*2＝是f〔*〕两个相邻的极值点，则周期T＝2〔〕＝，然后根据周期公式即可求出．【解答】解：∵*1＝，*2＝是函数f〔*〕＝sinω*〔ω＞0〕两个相邻的极值点，∴T＝2〔〕＝＝∴ω＝2，应选：A．【点评】此题考察了三角函数的图象与性质，关键是根据条件得出周期，属根底题．9．〔5分〕假设抛物线y2＝2p*〔p＞0〕的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝〔〕A．2B．3C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝〔〕2，解得p＝8．应选：D．【点评】此题考察了抛物线与椭圆的性质，属根底题．10．〔5分〕曲线y＝2sin*+cos*在点〔π，﹣1〕处的切线方程为〔〕A．*﹣y﹣π﹣1＝0B．2*﹣y﹣2π﹣1＝0C．2*+y﹣2π+1＝0D．*+y﹣π+1＝0【考点】6H：利用导数研究曲线上*点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在*＝π时的导数，再由直线方程点斜式得答案．【解答】解：由y＝2sin*+cos*，得y′＝2cos*﹣sin*，∴y′|*＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴曲线y＝2sin*+cos*在点〔π，﹣1〕处的切线方程为y+1＝﹣2〔*﹣π〕，即2*+y﹣2π+1＝0．应选：C．【点评】此题考察利用导数研究过曲线上*点处的切线方程，熟记根本初等函数的导函数是关键，是根底题．11．〔5分〕α∈〔0，〕，2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝〔〕A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数．【分析】由二倍角的三角函数公式化简可得4sinαcosα＝2cos2α，结合角的围可求sinα＞0，cosα＞0，可得cosα＝2sinα，根据同角三角函数根本关系式即可解得sinα的值．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈〔0，〕，sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+〔2sinα〕2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．应选：B．【点评】此题主要考察了二倍角的三角函数公式，同角三角函数根本关系式在三角函数化简求值中的应用，考察了转化思想，属于根底题．12．〔5分〕设F为双曲线C：﹣＝1〔a＞0，b＞0〕的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆*2+y2＝a2交于P，Q两点．假设|PQ|＝|OF|，则C的离心率为〔〕A．B．C．2D．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的离心率．【解答】解：如图，由题意，把*＝代入*2+y2＝a2，得PQ＝，再由|PQ|＝|OF|，得，即2a2＝c2，∴，解得e＝．应选：A．【点评】此题考察双曲线的简单性质，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．〔5分〕假设变量*，y满足约束条件则z＝3*﹣y的最大值是9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数z＝3*﹣y为y＝3*﹣z，由图可知，当直线y＝3*﹣z过A〔3，0〕时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．【点评】此题考察简单的线性规划，考察数形结合的解题思想方法，是中档题．14．〔5分〕我国高铁开展迅速，技术先进．经统计，在经停*站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【考点】C2：概率及其性质．【分析】利用加权平均数公式直接求解．【解答】解：∵经统计，在经停*站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：＝〔10×0.97+20×0.98+10×0.99〕＝0.98．故答案为：0.98．【点评】此题考察经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考察加权平均数公式等根底知识，考察推理能力与计算能力，属于根底题．15．〔5分〕△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinA+acosB＝0，则B＝．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简等式可得sinAsinB+sinAcosB＝0，由于sinA＞0，化简可得tanB＝﹣1，结合围B∈〔0，π〕，可求B的值为．【解答】解：∵bsinA+acosB＝0，∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcosB＝0，∵A∈〔0，π〕，sinA＞0，∴可得：sinB+cosB＝0，可得：tanB＝﹣1，∵B∈〔0，π〕，∴B＝．故答案为：．【点评】此题主要考察了正弦定理，同角三角函数根本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考察了计算能力和转化思想，属于根底题．16．〔5分〕中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体〞〔图1〕．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体表达了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的外表上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有26个面，其棱长为﹣1．【考点】LR：球接多面体．【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45＝倍．【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为*，则*+*+*＝1，解得*＝﹣1．故答案为：26，﹣1．【点评】此题考察了球接多面体，属中档题．三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．〔1〕证明：BE⊥平面EB1C1；〔2〕假设AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【分析】〔1〕由线面垂直的性质可得B1C1⊥BE，结合BE⊥EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面EB1C1；〔2〕由条件可得AE＝AB＝3，然后得到E到平面BB1C1C的距离d＝3，在求四棱锥的体积即可．【解答】解：〔1〕证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1；〔2〕由〔1〕知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt≌Rt，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3，∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．【点评】此题考察了线面垂直的判定定理和性质，考察了四棱锥体积的求法，属中档题．18．〔12分〕{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．〔1〕求{an}的通项公式；〔2〕设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．【考点】8E：数列的求和．【分析】〔1〕设等比数列的公比，由列式求得公比，则通项公式可求；〔2〕把〔1〕中求得的{an}的通项公式代入bn＝log2an，得到bn，说明数列{bn}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：〔1〕设等比数列的公比为q，由a1＝2，a3＝2a2+16，得2q2＝4q+16，即q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝﹣2〔舍〕或q＝4．∴；〔2〕bn＝log2an＝，∵b1＝1，bn+1﹣bn＝2〔n+1〕﹣1﹣2n+1＝2，∴数列{bn}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列{bn}的前n项和．【点评】此题考察等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考察对数的运算性质，是根底题．19．〔12分〕*行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0〕[0，0.20〕[0.20，0.40〕[0.40，0.60〕[0.60，0.80〕企业数22453147〔1〕分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；〔2〕求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕．〔准确到0.01〕附：≈8.602．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】〔1〕根据频数分布表计算即可；〔2〕根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．【解答】解：〔1〕根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：＝0.21＝21%，产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；〔2〕企业产值增长率的平均数﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7＝0.3＝30%，产值增长率的方程s2＝＝[〔﹣0.4〕2×2+〔﹣0.2〕2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296，∴产值增长率的标准差s＝≈0.17，∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．【点评】此题考察了样本数据的平均值和方程的求法，考察运算求解能力，属根底题．20．〔12分〕F1，F2是椭圆C：+＝1〔a＞b＞0〕的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．〔1〕假设△POF2为等边三角形，求C的离心率；〔2〕如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值围．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】〔1〕根据△POF2为等边三角形，可得在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，在根据直角形和椭圆定义可得；〔2〕根据三个条件列三个方程，解方程组可得b＝4，根据*2＝〔c2﹣b2〕，所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，【解答】解：〔1〕连接PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|+|PF2|＝〔+1〕c，故曲线C的离心率e＝＝﹣1．〔2〕由题意可知，满足条件的点P〔*，y〕存在当且仅当：|y|•2c＝16，•＝﹣1，+＝1，即c|y|＝16，①*2+y2＝c2，②+＝1，③由②③及a2＝b2+c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4，由②③得*2＝〔c2﹣b2〕，所以c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝32，故a≥4，当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值围为[4，+∞〕．【点评】此题考察了双曲线的性质，属中档题．21．〔12分〕函数f〔*〕＝〔*﹣1〕ln*﹣*﹣1．证明：〔1〕f〔*〕存在唯一的极值点；〔2〕f〔*〕＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】〔1〕推导出f〔*〕的定义域为〔0，+∞〕，f′〔*〕＝ln*﹣，从而f′〔*〕单调递增，进而存在唯一的*0∈〔1，2〕，使得f′〔*0〕＝0．由此能证明f〔*〕存在唯一的极值点．〔2〕由f〔*0〕＜f〔1〕＝﹣2，f〔e2〕＝e2﹣3＞0，得到f〔*〕＝0在〔*0，+∞〕存在唯一的根*＝a，由a＞*0＞1，得，从而是f〔*〕＝0在〔0，*0〕的唯一根，由此能证明f〔*〕＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解答】证明：〔1〕∵函数f〔*〕＝〔*﹣1〕ln*﹣*﹣1．∴f〔*〕的定义域为〔0，+∞〕，f′〔*〕＝＝ln*﹣，∵y＝ln*单调递增，y＝单调递减，∴f′〔*〕单调递增，又f′〔1〕＝﹣1＜0，f′〔2〕＝ln2﹣＝＞0，∴存在唯一的*0∈〔1，2〕，使得f′〔*0〕＝0．当*＜*0时，f′〔*〕＜0，f〔*〕单调递减，当*＞*0时，f′〔*〕＞0，f〔*〕单调递增，∴f〔*〕存在唯一的极值点．〔2〕由〔1〕知f〔*0〕＜f〔1〕＝﹣2，又f〔e2〕＝e2﹣3＞0，∴f〔*〕＝0在〔*0，+∞〕存在唯一的根*＝a，由a＞*0＞1，得，∵f〔〕＝〔〕l