考研数学基础班概率统计讲义

考研数学根底班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件〔一〕根本概念1、随机试验—具备如下三个条件的试验：〔3〕*次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。2、样本空间—随机试验的所有可能的根本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。〔二〕事件的运算1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件B的积，记为AB。2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件B的和事件，记为AB。3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件B的差事件，记为AB。〔三〕事件的关系1、包含—假设事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为AB。假设AB且BA，称两事件相等，记AB。2、互斥〔不相容〕事件—假设A与B不能同时发生，即AB，称事件B不相容或互斥。3、对立事件—假设AB且AB称事件B为对立事件。A(AB)AB，且AB与AB互斥。〔2〕AB(AB)(BAB，且AB,BAB两两互斥。〔四〕事件运算的性质ABA(或B)AB；〔2〕ABABBA；AAAAA；〔2〕A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)；A(AB)A；〔2〕(AB)AAB；〔3〕AB(AB)AB(B。AA；〔2〕AA。二、概率的定义与性质〔一〕概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P()称为所对应事件的概率：1、对事件A，有P(A)02、P()3、设,,L,,L为不相容的随机事件，则有P(U)P()〔二〕概率的根本性质1、P()0。n1n1n n2、设,,L,为互不相容的有限个随机事件列，则P(U)P()。kk3、P(A)1P(A)。P(AB)P(A)P(AB)。〔三〕概率根本公式1、加法公式〔1〕P(AB)P(A)P(B)P(AB)。〔2〕P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)。2、条件概率公式：设B是两个事件，且P(0，则P(B|A)P(AB)。P(A)3、乘法公式〔1〕设P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)。〔2〕P(L)P()P(|)P(|)LP(|L)。三、事件的独立性1、两个事件的独立—设B是两个事件，假设P(AB)P(A)P(B)，称事件B相互独立。⎪⎧P(AB)P()P(B);⎪⎨2、三个事的独立—设,B,C是三个事件，假设⎪P(AC)P()PC);⎨⎪P(BC)P(B)PC);⎩P(ABC)P()P(B)PC),，称事件B,C相互独立。【注解】〔1〕B相互独立的充分必要条件是B、B、B任何一对相互独立。〔2〕设P(A)0或P(A)1，则A与任何事件B独立。〔3〕设P(A)P(B)0，假设B独立，则B不互斥；假设B互斥，则B不独立。四、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组—设事件组,,L,Aj(i,jn,ij)；n〔2〕U，则称事件组,,L,为一个完备事件组。i12、全概率公式：设,,L,是一个完备事件组，且P()0(in)，B为事件，则nP(B)P()P(B|)。i13、贝叶斯公式：设,,L,为一个完备事件组，且P()0(in)，B为任一随机事件，P(B)0，则P(A|B)P()P(B|)。i P(B)例题选讲一、填空题1、设P(0.4,P(AB)0.7，〔1〕假设B不相容，则P(B)B相互独立，则P(B)。2、设P(P(B)P(C)。1,P(AB)P(AC)P(BC)14 6，则事件B,C全不发生的概率为3、设两两相互独立的事件B,C满足：ABC,P(P(B)P(C)1P(ABC)9，2 16则P(。4、设事件B满足P(AB)P(AB)，且P(p，则P(B)。BB都不发生的概率为1发生B不发生的概率与A不发生B9发生的概率相等，则P(。二、选择题：1、设B是两个随机事件，且0P(P(B)P(B|P(B|，则[ ](A)P(A|B)P(A|B)；(B)P(A|B)P(A|B)；(C)P(AB)P(A)P(B)；(D)P(AB)P(A)P(B)。2、设事件B满足0P(P(B)1，且P(A|B)P(A|B)1，则[ ](事件B对立；(B)事件B相互独立；(C)事件B不相互独立；(D)事件B不相容。三、解答题10个正品和22次品的的概率。2、设工厂A与工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是A生产的概率。A在每次试验中的概率为p，三次独立重复试验中事件A至少出现一次的概率为19A27发生的概率p。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，目标被命中，求是甲命中的概率。第二章一维随机变量及其分布一、根本概念1、随机变量—设为随机试验E的样本空间，为定义在上的函数，对任意的，总存在唯一确定的()与之对应，称为随机变量，假设的可能取值为有限个或可列个，称为离散型随机变量，假设在*可区间上连续取值，称为连续型随机变量。2、分布函数—设为一个随机变量，称函数F(*)*}(*)为随机变量的分布函数。【注解1】分布函数的四个特征为〔1〕0F(*)1。〔2〕F(*)单调不减。〔3〕F(*)右连续。〔4〕F()0,F()1。【注解2】分布函数的性质〔1〕P{*F(a0)。〔2〕P{*F(a)F(a0)。〔3〕*F(b)F(a)。〔4〕*F(b0)F(a)。3、离散型随机变量的分布律—称P{**i}piin)称为随机变量*的分布律。piin)。〔2〕p2Lpn1。4、连续型随机变量的密度函数—设*的分布函数为F(*)，假设存在非负可积函数f(*)，使得*F(*)ft)dt，称f(*)为*的密度函数。【注解〕f(*)0。〔2〕f(*)d*1。二、常见随机变量及其分布〔一〕离散型n1、二项分布—假设随机变量*的分布律为P{*k}Ckpkp)nk(0kn)，称随机变量*服从二项分布，记为*~B(n,p)。nk2、Poisson分布—假设随机变量*的分布律为P{*k}ke(k，称随机变量*服从泊松分k!布，记为*~()。3、几何分布—假设随机变量*的分布律为P{*k}p)k(k，称随机变量*服从几何分布，记为*~G(p)。〔二〕连续型⎧1,a*b⎨1、均匀分布—假设随机变量的密度函数为f(*)⎪ba⎨,，称随机变量服从均匀分布，记为⎪,*0⎪⎨~U(a,b)，其分布函数为F(*)⎪*a,a*b。⎨⎪ba,*b2、正态分布—假设随机变量的密度函数为f(*)1e2(*)222(*)，称随机变量服从正态~N(,2)0,1，称随机变量服从标准正态分布，记为~N*2*为(*)1e2(*)，其分布函数为*(*)t)dt。e**3、指数分布—假设随机变量的密度为f(*)⎨, 0(0)，称随机变量服从指数分布，记为,*0,*0~E()，其分布函数为F(*)⎨1e*。,*0(0)1,(a)1(a)。2〔2〕假设~N(,2)，则}}1。2〔3〕假设~N(,2)，则~N。〔4〕假设~N(,2)，则F(b)F(a)(b)(a)。例题选讲一、选择题1、设*1,*2的密度为f1(*),f2(*)，分布函数为(*),(*)，以下结论正确的选项是[ ]((*)(*)为*随机变量的分布函数；(B)f1(*)f2(*)为*随机变量的密度函数；(C)F1(*)F2(*)为*随机变量的分布函数；(D)f1(*)f2(*)为*随机变量的密度函数。2、设随机变量*的密度函数f(*)为偶函数，其分布函数为F(*)，则[ ](A)F(*)为偶函数；(B)F(a)2F(a)1；a 1 aC)F(a)10f(*)d*；(D)F(a)2 0f(*)d*。3、设*~N(,42),Y~N(,52)，令pP{*q5}，则[ ](对任意实数都有pq；(B)对任意实数都有pq；(C)对个别，才有pq；(D)对任意实数，都有pq。4、设*~N(,2)，则随的增大，概率*} [ ](单调增大；(B)单调减少；`(C)保持不变；(D)增减不确定。二、填空题1、设*~N(,2),方程y24y*0无实根的概率为1,则。22、设*~B(2,p),Y~B(3,p),假设P{*5。9三、解答题1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2球3个黑球，假设任取一个盒子，从中任取3个求，以*表示红球个数。〔1〕写处*的分布律；〔2〕求红球个数不少于2个的概率。⎪,*1⎪⎨2、设离散随机变量*的分布函数为F(*),1*1，求*的分布律。⎨1*2,*2⎧Ae*,*0⎨⎪3、设*的分布函数为F(*)⎪B0*1 ，⎨⎪1Ae(*1),*1〔1〕求B；〔2〕求密度函数f(*)；〔3〕求P{*1}。34、设*~U(0,2)，求随机变量Y*2的概率密度。5、设*~N，且Y*2，求随机变量Y的概率密度。第三章二维随机变量及其分布一、根本概念1、联合分布函数—设(*,Y)为二维随机变量，称F(*,y)P{**,Yy}为(*,Y)的联合分布函数。2、二维离散型随机变量的联合分布律—设(*,Y)为二维离散型随机变量，称P{**i,Yyj}pij(im,jn)为(*,Y)的联合分布律，称n mP{**i}pijpi(im),yj}pijpj(jn)ji1分别为随机变量*,Y的边际分布律。3、连续型随机变量的联合密度函数—设(*,Y)为二维连续型随机变量，假设存在f(*,y)0，使得*duF(*,y){**,Y}duyfu,v)dv，称f(*,y)为随机变量(*,Y)的联合密度函数，称f*(*)f(*,y)dy,fY(y)f(*,y)d*分别为随机变量*,Y的边际密度函数。【注解】联合分布函数的特征有〔1〕0F(*,y)1。〔2〕F(*,y)关于*,y为单调不减函数。〔3〕F(*,y)关于*或者y都是右连续。〔4〕F(,)0,F(,)0,F(,)0,F(,)1。二、常见的二维连续型随机变量1、均匀分布—设二维连续型随机变量(*,Y)的联合密度为f(*,y)⎧1,(*,y)D⎪⎨A⎪，其中A为区域D的面积，称(*,Y)在区域D上服从均匀分布。,(*,y)D2、正态分布—设二维连续型随机变量(*,Y)的联合密度为1f(*,y)1 1 [(*)22(*)(y2)(y2)2]}则称(*,Y)服1212122) 12 2从二维正态分布，记为(*,Y)~N(,,2,2,)，其中0,0。1 2 1 2 1 2【注解】假设(*,Y)~N(,,2,2,)，则*~N(,2),Y~N(,2)。1 2 1 21 1 2 2二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性〔一〕二维离散型随机变量的条件分布1、设yj}0，在事件{Yyj}发生的情况下，事件{**i}发生的条件概率为P{**i|Yyj}pijpj(i；2、设P{**i}0，在事件{**i}发生的情况下，事件{Yyj}发生的条件概率为yj|**i}〔二〕二维连续型随机变量的条件密度pijpi(j。f(*,y)1、设fY(y)0，则在“Yy〞的条件下，*的条件概率密度为f*(*|y)。fY(y)f(*,y)2、设f*(*)0，则在“**〞的条件下，Y的条件概率密度为fY|*(y|*)。f*(*)〔三〕随机变量的独立性1、定义—设(*,Y)为二维随机变量，假设对任意的*,y都有F(*,y)F*(*)FY(y)，称随机变量*,Y相互独立。2、独立的充分必要条件〔1〕离散型随机变量—设(*,Y)为二维离散型随机变量，则*,Y相互独立的充要条件是pijpi.p.j(ij。〔2〕连续型随机变量—设(*,Y)为二维连续型随机变量，则*,Y相互独立的充要条件是f(*,y)f*(*)fY(y)【注解】假设(*,Y)为二维连续型随机变量，求(*,Y)的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数f(*,y)，一般有如下三种情况：〔1〕题中直接给出f(*,y)〔2〕*,Y服从的分布且*,Y独立，则f(*,y)f*(*)fY(y)。〔3〕*的边缘分布，且Y的条件密度，则f(*,y)f*(*)fY|*(y|*)。三、随机变量函数的分布(*,Y)的分布，Z(*,Y)，关于Z的分布有以下几种情形：情形一：设(*,Y)为离散型随机变量，Z(*,Y)，则Z为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的概率即可。情形二：(*,Y)为连续型随机变量，Z(*,Y)，其中为连续函数，则Z为连续型随机变量，可用分布函数定义求Z的分布。情形三：*,Y中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求Z(*,Y)的分布例题选讲一、选择题1、设相互独立的随机变量*,Y分别服从N及N，则[ ](A)P{*Y1；2(B)P{*Y1；2(C)P{*Y1；2(D)P{*Y1。2二、填空题1、设*,Y为两个随机变量，且P{*0,Y3,P{*4，则7 7P{ma*(*,Y)。三、解答题10个大小一样的球，其中6个红球421个，定义如下两个随机,次抽到红球,次抽到红球变量：*⎨,Y⎨,，,第2次抽到白球00就以下两种情况，求(*,Y)的联合分布律：⎧Ae(*2y),*,y02、设(*,Y)的联合密度为f(*,y)⎨，求,〔1〕常数A；〔2〕(*,Y)的分布函数；〔3〕Z*的分布函数；〔4〕P{*Y}。3、设随机变量*~E()，求随机变量Ymin{*的分布函数。4、设*~E(1),Y~E(2)且*,Y独立。〔1〕设Zma*{*,Y}，求Z的密度函数。〔2〕Zmin{*,Y}，求Z的密度函数。第四章随机变量的数字特征一、数学期望及其性质〔一〕数学期望的定义1、离散型数学期望—设*的分布律为P{**k}pk(k，则E**kpk。k2、连续型数学期望—设*的概率密度为f(*)，则其数学期望为E**f(*)d*。3、二维离散型随机变量的数学期望—设离散型随机变量(*,Y)的联合分布律为P{**i,Yyj}pij(ij，Z(*,Y)，则EZ*i,yj)pij。i1j4、二维连续型随机变量的数学期望—设二维连续型随机变量(*,Y)的密度为f(*,y)，Z(*,Y)，则EZd*(*,y)f(*,y)dy。〔二〕数学期望的性质1、E(C)C。2、E(k*)kE*。3、E(*Y)E*EY。4、E(a*bY)aE*bEY。5、假设随机变量*,Y相互独立，则E(*Y)E*EY。二、方差的定义及性质〔一〕方差的定义—D*E(*E*)2。〔二〕方差的计算公式—D*E*2(E*)2。〔三〕方差的性质1、D(C)0。2、D(k*)k2D*。3、设随机变量*,Y相互独立，则D(*Y)D*DY，D(a*bY)a2D*b2DY。三、常见随机变量的数学期望和方差1、二项分布：*~B(n,p),E*np,D*npq。2、泊松分布：*~(),E*D*。3、均匀分布：*~U(a,b),E*ab2,D*(ba)2。124、正态分布：*~N(,2),E*,D*2。四、协方差与相关系数〔一〕定义1、协方差—Cov(*,Y)E(*E*EY)。 D* DY2、相关系数— D* DYcov(*,Y)，假设*Y0，称随机变量*,Y不相关。〔二〕协方差的计算公式：Cov(*,Y)E(*Y)E*EY〔二〕性质1、Cov(*,*)D*。2、假设*,Y独立，则Cov(*,Y)0。3、Cov(*,Y)Cov(Y,*)，4、Cov(a*,bY)abCov(*,Y)。5、Cov(a*bY,Z)aCov(*,Z)bCov(Y,Z)。6、D(*Y)D*DY2Cov(*,Y)。例题选讲一、填空题1、设随机变量*,Y相互独立，且D*DY2，则D(3*)。2、随机变量*~E()，则P{*D*}。3、设*,Y独立同分布，且都服从N(0,1)，则E|*Y|,D|*Y|。24、设*表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为0.4，则E*2。1 25、设随机变量*的密度为f(*)e*2*1，则E*,D*。6、设随机变量*服从参数为的泊松分布，且E[(*1)(*2)]1，则。二、解答题,Yk1、设Y~，*k⎨,Yk(k，〔1〕求(*1,*2)的联合分布律；〔2〕E(*1*2)。⎡101⎤⎡0 1⎤2、设*与Y的概率分布为*~⎢111⎥,Y~⎢11⎥，且P{*Y1，42 422〔1〕求*,Y的联合分布律；〔2〕问*,Y是否相互独立？为什么？⎧,U1⎧,U13、设U~U[2,2],*⎨,U1,Y⎨，求,U1〔1〕*,Y的联合分布律；〔2〕D(*Y)。3，失败的概率为1，独立重复试验直到成功2*表示所需要进展的试4 4验次数，求*的概率分布与数学期望。⎧1cos*0*⎨*的密度函数为f(*)⎪2 2⎨*独立重复观察4表示观察值大于的次数，, 3求EY2。第五章大数定律与中心极限定理一、车比雪夫不等式设随机变量*的方差存在，则对任意的0，有*E*}D*，或者*E*}1D*。2 2二、大数定律*1,*2,L,*n,L相互独立，D*i存在且D*iM0(i，则1n对任意的0，有lim*inn1E*i1}1。ni1ni1*1,*2,L,*nE*i,D*i2(i0，1n有lim*in}1。ni13、〔贝努利大数定律〕设*1,*2,L,*n,L独立同分布于参数为p的01分布，则对任意的0，有1nlim*inp}1。ni1*1,*2,L,*n,L独立同分布，且E*i，则对任意的0，有1nlim*in}1。三、中心极限定理ni11Levy-Lindberg中心极限定理〕设随机变量序列*1,*2,L,*n,L独立同分布，且E*i,D*i2(i，则对任意实数*，有n*inlimi1 1 t2*e2dt。n*n~B(n,p)(0p，则对任意实数*，有limn*nnpnp(1p)1 t2*e2dt。例题选讲1、设随机变量*~E(5)，用车比雪夫不等式估计P|*5。*~N(0,42),Y~(2,52)*,Y*Y2。第六章数理统计根本概念一、根本概念1、总体—被研究对象*指标的所有可能结果称为总体。2、简单样本及样本观察值—设总体为*，则来自总体*的n个相互独立且与总体*同分布的随机变量*1,*2,L,*n称为简单随机样本，样本*1,*2,L,*n的观察值,*2,L,*n称为样本观察值。3、统计量—样本的无参函数称为统计量。二、样本常用数字特征设*1,*2,L,*n为来自总体*的简单样本，则1n1、样本均值—**i。ni12、样本方差—S2n 11n2(*i*)11n2i11n k3、样本的k阶原点矩—*i,k。ni11n 24、样本的k阶中心矩—Bk(*i*)ni1,k。三、常用的抽样分布1、2—分布〔1〕定义—设随机变量*1,*2,L,*n相互独立且都服从标准正态分布，则称随机变量2 2 2 22 2 2*1*2L*n为服从自由度为n的分布，记为~(n)。〔2〕性质：1〕设*~2(n)，则E*n,D*2n；2〕设*~2(m),Y~2(n)，且*,Y相互独立，则*Y~2(mn)。2、t—分布设随机变量*~N~2(n)，且*,Y相互独立，则称随机变量t*为服从自由度为n的t分Y/n布，记为t~t(n)。3、F—分布〔1〕定义—设随机变量*~2(m),Y~2(n)，且*,Y相互独立，则称随机变量F*/m为服从自由Y/n度为m,n的F分布，记为F~F(m,n)。〔2〕性质设F~F(m,n)，则1F~F(n,m)。四、一个正态总体下几个常用的统计分布设总体*~N(,2)，*1,*2,L,*n是来自正态总体*的简单样本，则2 **1、*~N(,), ~N。2、~t(n1)。n / ns/ nn 2 n1 3、(**)2(n1)S~2(n1)。4、1 (*)2~2(n)。2i2i12ii15、ES22。6、*与S2独立。例题选讲1、设*1,*2,L,*n是来自正态总体N(,2)的简单样本，记1 n 1n 2S2221(*i*)2S222n1i1,S2(*i*)，ni11 n 1nS2422S2423 n(*i)1i11,S2(*i)，ni1则服从自由度为n1的t分布的统计量是(*；(B)*；(C)*；(D)*。2S1/2n1S2/n1S3/ nS4/ n22、设*1,*2,*3,*4是来自正态总体*~N(0,4)的简单样本，且Ua(*12*2)2b(3*34*4)服从2分布，求a,b及自由度。*,Y独立同分布且都服从正态分布N(0,9)，*1,L,*9与,L,Y9是分别来自