新教材2023-2024学年高中数学第6章平面向量初步综合训练新人教B版必修第二册

第六章综合训练一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2) B.(1,-2)C.(-1,2) D.(1,2)2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若AB+AD=λAO,则λ=(A.12 B.2 C.133.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2 B.2C.52 D.504.已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为()A.λ+μ=2 B.λμ=1C.λμ=-1 D.λ-μ=15.[2023重庆高一单元检测]已知向量a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2)且c=pa+qb,则()A.p=4,q=1 B.p=1,q=0C.p=0,q=1 D.p=1,q=46.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为()A.3 B.-3C.0 D.27.[2023河南洛阳高一]如图所示,在△ABC中,CB=3CD,AD=2AE,若AB=a,AC=b,则CE=(A.16a-13b B.16aC.13a-13b D.16a8.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则△A.2∶5 B.3∶5C.3∶4 D.1∶4二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.下列说法错误的是()A.单位向量都相等B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量C.|a+b|=|a-b|,则a⊥bD.若a与b是单位向量,则|a|=|b|10.[2023吉林白城高一]下列各式结果为零向量的是()A.AB+MBC.OA+OC11.[2023广东广州高二]向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是()A.a∥b B.向量a,b方向相反C.|a|=3|b| D.b=-3a12.[2023江苏镇江高三期末]如图,B是AC的中点,BE=2OB,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,且OP=xOA+yOB(x,y∈R),则下列结论正确的有()A.当x=0时,y∈[2,3]B.当P是线段CE的中点时,x=-12,y=C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段D.x-y的最大值为-1三、填空题13.[2023陕西西安交大附中模拟]已知向量a=(2λ-3,3),b=(3,λ-5),若a∥b,则λ=.

14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ=,此时a,b方向.(填“相同”或“相反”)

15.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是.

16.如图,在长方形ABCD中,M,N分别为线段BC,CD的中点,若MN=λAM+μBN,λ,μ∈R,则λ+μ=.

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(1,2),b=(-3,1).(1)求与2a+b同向的单位向量e;(2)若向量c=-3,-113,请用向量a,18.已知e1,e2是平面内两个不共线向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标.19.[2023北京昌平高一]如图,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC(1)用a,b表示BC,(2)若P为△ABC内部一点,且AP=512a+14b,求证:M,P20.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(2)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d的坐标.21.如图,设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点.(1)试用向量的方法证明:PQ∥AB;(2)若|AB|=3|CD|,求PQAB的值22.在△ABC中,AM=(1)求△ABM与△ABC的面积之比;(2)若N为AB的中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值.

参考答案第六章综合训练1.D为使物体平衡,即合力为零,即4个向量相加等于零向量,∴F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).2.B在平行四边形ABCD中,AC=AB+AD=2AO,所以λ=23.A由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+4.B若A,B,C三点共线,则向量AC∥AB,即存在实数k,使得AB=kAC,∵AB=λa+b,AC=a+μb,∴λa+b=k(a+μb),可得λ=k,1=kμ,消去k得λμ=1,即A,B,C5.D因为pa+qb=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),c=pa+qb=(3,-2),所以-p+故选D.6.A由原式可得3x-∴x-y=3.7.B因为CB=3CD,AD=2所以CE=12(CA+CD)=12CA+13CB=8.D延长AP交BC于点D(图略),因为A,P,D三点共线,所以CP=mCA+nCD(m+n=1).设CD=kCB,k∈R,代入可得CP=mCA+nkCB,即AP-AC=-mAC+nk(AB-AC)⇒AP=(1-m-nk)又因为AP=14AB+12AC,所以nk=14,1-m-nk=12,所以CP=14CA+34CD,所以AP=3因为△BPC与△ABC有相同的底边BC,所以面积之比就等于|DP|与|AD|之比,所以△BPC与△ABC的面积之比为1∶4.故选D.9.AB单位向量仅仅长度相等,方向可能不同,A错误;当b=0时,a与c可以为任意不共线的向量,B错误;设OA=a,OB=b,OC=a+b,由|a+b|=|a-b|,可得▱OACB的对角线相等,此时四边形OACB为矩形,邻边垂直,则C正确;单位向量的长度必相等,D正确.10.BD对于A,AB+MB+BO+对于B,AB+BC+CA=AC+对于C,OA+OC+BO+对于D,AB-AC+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD故选BD.11.ABD因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由共线向量基本定理知A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误.故选ABD.12.BCD当x=0时,OP=yOB,则点P在线段BE上,故1≤y≤3,故A错误;当P是线段CE的中点时,OP=OE+EP=3OB+12(EB+BC)=3OB+当x+y为定值1时,A,B,P三点共线,又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点,所以点P的轨迹是线段,故C正确;如图,过点P作PM∥AO,交OE于点M,作PN∥OE,交AO的延长线于点N,则OP=又OP=xOA+yOB,所以x≤0,y≥1,由图形看出,当点P与点B重合时,OP=0·OA+1·OB,此时x取最大值0,y取最小值1,所以x-y的最大值为-1,故D正确.故选BCD.13.12或6由题意得(2λ-3)(λ-5)-9=0,即2λ2-13λ+6=0,所以λ=12或λ=14.-32相反因为a,b共线所以由共线向量基本定理知,存在实数k,使得a=kb,即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.又因为e1,e2不共线,所以1=-2因为k<0,所以a,b方向相反.15.k≠1若点A,B,C能构成三角形,则向量AB,AC不共线.因为AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(16.25在长方形ABCD中,向量AB,AD不共线,M,N分别为线段BC,则有AM=AB+BM=因为MN=λAM+μBN,所以-12AB+12AD=λAB+12AD+μ-12AB+AD=λ-12μAB于是得λ-12μ=-12,17.解(1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),∴|2a+b|=(-1)2+52=26,∴与2a+b同向的单位向量e(2)设c=λa+μb(λ,μ∈R),则-3,-113=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2∴-3=λ-3μ,-11318.解(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得AE=kEC,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.因为e1,e2是平面内两个不共线向量,所以1+2k=0(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=19.(1)解BC=AC-AB=MN=BN-BM=12BC+23AB=12(2)证明AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=20.解(1)因为a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),所以a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).因为(a+kc)∥(2b-a),所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-1613(2)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).因为(d-c)∥(a+b),|d-c|=5,所以4解得x所以d=(3,-1)或d=(5,3).21.(1)证明∵P,Q分别为AC,BD的中点,∴CQ=12∴PQ=CQ-CP=∵AB∥CD,∴可设CD=λAB(λ<0),∴PQ=又|AB|≠|CD|,∴λ≠-1,∴PQ∥AB.(2)解∵|AB|=3|CD|,∴AB=-3CD.由(1)知CD=λAB(λ<0),PQ=∴λ=-13,