向量知识点总结

向量知识点总结一、 教学要求：理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、 知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向线段表示向量-日一面去］方向向量一要素（［长度—^ —^（2）向量的模一有向线段的长度IAB\，laIT长度等于1的向量叫做单位向量，｛=刍—-—- —-零向量0（0的方向不定），I01=0（3）共线向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。（4（4）相等的向量长度相等--方向相同a=b- -规定：0=0向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。向量有三种形式（或三种表示）几何表示<——-几何运算代数表示<——-代数运算

坐标表示< >坐标运算向量的加法、减法与数乘（1）向量的加法一一三角形法则或平行四边形法则如图:向量加法的多边形法则如图，求a+b+c（2）向量的减法：—T—T —T —T —Ta-b=a+（-b），即向量a加上b的相反向量。a-b的箭头指向被减向量）r.（3）实数与向量的乘积长度I人aI=1XI-|aI方向：X>0时与a同向X<0时与a反向X=0时，Xa=0

—^—^—^—^ —^—^淤b〃a（a丰0）。存在唯一实数人，使b=Xa向量的运算法则（加、减、数乘）—^ —^ —^设向量a,b,c及实数X,^,则：TTTT①a+b=b+a—T—T —T —T —T—T^②(a+b)+c=a+(b+c)TOC\o"1-5"\h\z—T —T —T^③(X+|lx)a=Xa+pa—T—T —T —TX(a+b)=Xa+Xb—T —TIXaI=1XI-|aITTTTTTIaI-IbI<Ia土bI<IaI+IbI（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）平面向量基本定理（向量的分解定理）TOC\o"1-5"\h\z—T —T —T匕，％是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a，存在—T —T—T唯一实数对X，X，使得a=Xe+Xe。1 2 11 22（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯对向量的\o"CurrentDocument"—T —T —T —T —T —T和。Xe+Xe叫做向量e，e的线性组合，e，e叫做表这一平面内所11 22 1 2 1 2有向量的一组基底。'①基底不唯一，关键是不共线、、②基底给定，分解形式唯一>应用：-T-T设OA，OB不共线，点尸在直线佃上（即A、B、尸三点共线）—T —T —ToOP=XOA+pOBMX+p=1（X，peR）（二）向量的坐标运算

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"—^ —^1.在直角坐标系内，分别取与尤轴，y轴同方向的两个单位向量i,J作为基\o"CurrentDocument" —^ —^ —^ —^底，则该平面内任一向量a，有且只有一对实数尤，y，使得a=xi+yj，\o"CurrentDocument"—^ —^称（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），即为向量的坐标表示。—^（如图，当把向量a的起点移至原点时，（—^（如图，当把向量a的起点移至原点时，（x，y），y）,x，y是向量a在x，y轴上的射影，与坐标，即A也相同。）—^—^是向量a=OA终点A的—^a相等的向量的坐标2.向量的坐标运算y)，人eR—^y)，人eR已知a=（x,yi）—» —» —» —»则：(1)a+b=(xi+yj)+(xi+yj))i+4+y)i+4+y2

yi+y2)）j2y-y),设aCt，y),B^x1 2 1 1 2———fBA=a一b=«-x，

（3）Xa=X（x，y）=Gx，Xy）（三）平面向量的数量积1.数量积的概念—T—T—T—T —T—T设向量OA=a，OB=b，ZAOB=0叫做向量a与b的夹角。记作—T—T —T—T—T —T —T与b的数量积（或内积），记作a•b<a，b—T —T —T与b的数量积（或内积），记作a•b—T —T —T(1)数量IaI•IbIcos0叫做a—T —T —T —T即a•b=IaI•IbIcos0（2）数量积的几何意义:BAaTbBAaTb—T —T —T —T —Ta•b等于a的模IaI与b在a的方向上的射影IbIcos0的乘积。(3)注意:T(a—T—T

((3)注意:T(a—T—T

(a+b)数量积不满足结合律!T•b)•TTTTc丰a•(b•c)Ta=(尤，Ty)，b=（尤2，*），则TTa•bi-i3.重要性质—T（1）设e是单位向量，=(r，y)・(r，y)=xx+yy—T0=<a，—T—Te=IaI•cos0TTTTTTa•b=b•a，a•0=TT—TTT(Xa)•b=X(a•b)二-a•(1)(2)(人b)(XgR)TT0-a=02.数量积的运算法则2+*"2=0、—T —T —T•b=IaI•IbI或a•b=-IaI•

——0）（人唯一确定）y）2—— —-bI<IaI-IbI(5)（四）定比分点与平移

1.线段的定比分点1，yjP2C2，y2）分点p设P],P2是/上两点，P点在1上且不同于P、1—— ——P，若存在一实