均匀三角多项式B样条曲线

均匀三角多项式B样条曲线中文摘要在空间上Q=span{sint,cost,tk-3,tk-4,,t,1}(k>3)定义了一类均匀样条曲线——k阶三角多项式B样条曲线，它具有许多与均匀B样条相类似的性质。给出了三角多项式B样条曲线的离散公式。由于这类曲线无需有理形式，既可表示多项式曲线又可表示三角函数曲线，因此可应用于CAD/CAM领域作为几何造型的一种新的有效模型。关键词：C-曲线；均匀B样条；C-B样条；三角多项式B样条由于NURBS(非均匀有理B样条)既可表示自由曲线曲面，又可表示一些传统的解析几何模型，如圆锥曲线等，而成为现行的CAD/CAM以M造型系统的一个标准然而，NURBS在形状设计和分析中也存在一些局限性，例如：一般来说，一条k次有理多项式曲线的导数是2无次的有理曲线。而一些CAD/CAM系统不能处理高次的有理曲线曲面。有些系统即使能做处理，但是次数越高，越容易导致数值计算的不稳定，而且有理曲线曲面界的估计比较困难。NURBS模型不能精确表示超越曲线，如摆线螺旋线等，而这些曲线在CAD/CAM中非常有用。有理曲线、曲面表示形状时，除了控制顶点以外，还需要额外的参数，即在每个控制顶点处的权因子，而人们对权因子的选取以及它们对形状的影响还不是很清楚。关于NURBS模型的其他局限性，文献［1-4］给出了较为详尽的讨论。为了发扬NURBS模型的优点，克服其缺点，避免有理表示形式，很多学者提出了曲线、曲面造型的新模型。在这些模型当中，大多数把 B样条曲线的某些多项式项用非多项式项来代替而得到，比如张量形式的指数样条⑸和C-B样条阮［6,7］等等。所有的这些曲线都属于Chebrshev样条曲线［5,8,9］，而Chebyshev样条曲线是T一样条函数理论［10］的一个推广。在文献［6,7］中，张纪文提出了由{sint,cost,t,1}的线性组合得到的C-B样条曲线。C-B样条曲线作为三次均匀B样条曲线的一个推广，它与传统B样条三次曲线具有许多相似的性质。另一方面。 C-B样条曲线还可以精确表示椭圆和圆弧段，这一性质使得其可能成为CAD/CAM系统中几何造型的一个重要工具。然而，C-B样条曲线只能表示一次的多项式曲线，这极大地限制了其在CAD/CAM中的应用。

本文给出了空间Q=span{sint,cost,tk-3,tk-4,...,t,1}(k>3)上一类广义样条的显式构造方法。这类样条曲线具有与均匀B样条相类似的性质，它可以表示k-3次的多项式曲线，而C-B样条只是其k=4时的特殊情况。在本文中，称由{sint,cost,tk-3,tk-4,...,t,1}(k>3)得到的线性组合为k阶三角多项式，同时称由分段的k阶三角多项式组成的曲线为k阶三角多项式样条。1三角多项式B样条基函数的构造及其性质记t=ia(i=0,±1,±2,...)为对参数t轴作均匀分割得到的一组节点， 其中。ia为步长(0<a<K)。记在节点"(i=0,±1±2•，一处达到k-2阶连续的分段无阶三角多项式的全体为Qka。显然nka关于通常的函数加法和数乘运算是封闭的，即Qka是一线性空间。本节中，我们将证明当 k>3时，在Qka上存在一组基，这组基具有正性、归一性和最小支集。因 ^函中基的性质与B样条基的性质相类似，所以我们称"上的基为三角多项式B样条基。定理1空间^函中不存在三角多项式B样条基。性质1非负性：N>0,t6(—3,+3)。i,k性质2性质2局部支集性:>0,16(ia,(i+k)a),N\湿=0,其他也就是说N(t)的支撑子集长为k个区间长度，这也是称其为k阶的i,k原因之一。性质3归一性：£N(t)三1。i,ki性质4线性无关性：N(t)1+3(i=0,±1,±2,…)在(-3,+3)上线性无关。特i,k -3别地，N3(t),n1k(t),・・，叫nk(t)nk在区间［(i+k-1a,i+n+1a上线性无关。图1三角多项式B样条基函数的形状图(a=“/2)性质5求导公式： N'(t)=1(N(t)-N (t))i,k a i,k1 斗1,k1性质6对称性：N(ia+ka—t)=N(ia+1)t&［0,ka］。i,k i,k性质7连续性：从在整个N(t)参数空间上为k—2阶连续。i,k2三角多项式B样条曲线利用上节定义的基函数，我们可以在整个参数空间上定义三角多项式B样条曲线。记定义在〔。，川上的k阶三角多项式样条空间为。、，。「。，司.不妨设。二kab二(n+l)a,显然Nl,*(t),从，*(