向量在高中数学中的作用

向量在高中数学教课中的作用作为新课程改革，高中数学教材的两个显着变化就是“向量和导数”的引入.其目的也很明确：为研究函数、空间图形，供给新的研究手段，即充分表现它们的工具性.但这类“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不停“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完美的“认知模块”、“知识系统”.，极大地丰富了对于空间向量的“数目积”这一运算的“认知模块”的内涵.对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生能够说是惊喜若狂啊，由于学生感觉这类方法好！可操作性强！（只需能建系，有坐标就行！）但在实质应用中，学生感觉这些结论不易理解，加上这些结论只好逐渐形成和完美，靠照本宣科吧，今日记了明日又忘了！等到用时，还是“僵硬、古板”，甚至张冠李戴.如何打破这一问题？我以为其根来源因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”.那么，这一性质是如何与有关问题产生“对接或联系”的呢？1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”.([0,])1．1线线角2的求法的新认识：我们把这两条线给予适合的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所cos|cosa,b||ab|ab|成的角的范围为[0,||a||b|,我们可否加以从头认]），即|a||b|识这个公式呢？如图，BOBOBO|OB1||OB1|cosbbb|OB||b|，此时OB能够看作1OOa1AB1OOOaAOOA是b与a方向上的aBO单位向量e的数目be(此中ea)积|a|，这就是由数目积这条性质滋长而成的；故此结论从头能够理解|ba|cos|a||b|（这里恰好知足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）.为：1．2线面角([0,])2的求法的新认识：n

PO

A

|PAn|sin|cosPA,n||PA||n|（此中n为平面的一个法向量），此结论从头可sin|OP||OP||PA||PA|，此时OP又能够看以理解为：作是PA在n上的投影，即PA与n方向上的单位向n|n|PA|n|(此中e量e的数目积PAe，弦的定义：对边比斜边）.

)sin|n|，故|PA|（这里恰好知足三角函数中正F

1．3二面角的平面角([0,])的求法的新认识：n1|n1n2|n2E|cos||cosn1,n2|||n2|（此中n1与n2是两二面角Dn1=|n1C所在平面的各一个法向量）此结论从头能够理解为：|nn2||nn1|AB1|n2|2|n1||cos||n1||n2|（这里恰好知足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）.★三大角的一致理解：|ba||PAn||n1n2||n2n1|cos|a|sin|n||cos||n2||n1||b|、|PA|、|n1||n2|、其从上述梳理完整能够看出其实质特点：这里的“空间角”的求法，完整与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数目积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完整能够达到“系统化”和“自主化”，由于直角三角形中的三角函数定义，他们太熟习了！马上知识的“生长点”成立在学生认知水平的“近来发展区”，那学习就会瓜熟蒂落！2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”.空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转变为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！此外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只需求会计算已给出公垂线或在座标表示下的距离.所以对异面直线间的距离的考察有着特别的身份.教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了.2．1点面距求法的新认识：d|PO||PA|sinPn

|PA||nPA||nPA||n||PA||n|（此中n为平面的一个法向量），此d|PAn|结论从头能够理解为：|n|，即PA在n上的投影，即PA与n方向上的单位向量e的数目积PAe(此中en)A|n|.O2．2点线距求法的新认识：1）新认识之一：如图，若存在有一条与l订交的直线时，就能够先求出由这两条订交直线确立的平面的一个法向量n，则点P到l的距离Pd|PAn||n|.2）新认识之二：l若不存在有一条与l订交的直线时，AO我们能够先取l上的一个向量n，再利用|PO|2|PA|2|OA|2来解，即：d2|PA|2|OA|2,|OA||PAn|而数目ＯＢ能够理解为PA在l上的向量n的投影，也即为：|n|.2．3异面直线间距离求法的新认识：从这几年的高考《考纲说明》察看，我们不难发现，对异面直线间距离的考察本义不可以太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自作掩饰的新状况.实质上，这类自作掩饰法归根究竟在于高考考纲中的说法：只需求会计算已给出公垂线或在座标表示下的距离.那也就是说，在不要作出公垂线（或许学生作不出！）的状况下，也能够求出它们的距离的！那就是用向量法！如下图：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离.C略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，l1结构三个向量AC,BD,CD，记与两直线的公A垂线共线的向量为n,则由ACn0与BDn0,得n,则它们的距离就能够理解为：CD在n上的投影的绝对值，即：l2BDdn||CD|n|.★三大距离的一致理解:n|d|CDnd|PAnd|PA|||n|（点面距）、|n|（异面距）、|n|（点线距之一）、n|d2|PA|2|OA|2|OA||PA且|n|（点线距之二）、其实质特点是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数目积此性质的直策应