初等数论§1整除

第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础，本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公算术基本定理以及倍数，它们的一些应用。2023/10/131阜阳师范学院数科院中小学数学中的一些数论问题：4.已知:782+8161能被57整除，求证：783+8163也能被57整除。1.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始每隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？2.已知66︱X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y.3.有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？2023/10/132阜阳师范学院数科院5.设n为整数，求证:24∣n(n+2)(5n+1)(5n－1).6.100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。2023/10/133阜阳师范学院数科院§1.1整除的概念带余数除法一、整除的概念相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。注：显然每个非零整数a都有约数

1，a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。例1

有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成的多位数，求这个自然数最小为多少？123456792023/10/134阜阳师范学院数科院二、整除的性质定理1〔传递性〕定理2定理3例2(1)

已知：x和y是整数，13︱(9x+10y)，

求证：13︱(4x+3y)；(2)若

a,b

是整数，且7∣(a+b),7∣(2a－b)，证明:7|(5a+2b)。

2023/10/135阜阳师范学院数科院三、带余数除法定理4设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得

定义2：（1）式通常写成并称q为a被b除所得的不完全商；r叫做a被b除所得的余数；(2)式称为带余数除法。2023/10/136阜阳师范学院数科院证明：存在性：考虑整数序列则a必在序列的某两项之间，

即存在一个整数q，使得

唯一性：反证〔略〕定理4设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得

2023/10/137阜阳师范学院数科院例3利用带余数除法，由a,b的值求q,r.如果允许b取负值，则要求思考正确吗？2023/10/138阜阳师范学院数科院证明：由带余除法有2023/10/139阜阳师范学院数科院例5设n为整数，求证：24∣n(n+2)(5n+1)(5n－1).证明：f(n)=n(n+2)(5n+1)(5n－1)=n(n+2)[(n2－1)+24n2]=(n－1)n(n+1)(n+2)+24n3(n+2)∵4!∣(n－1)n(n+1)(n+2),24∣24n3(n+2)∴24∣f(n).练习：对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。2023/10/1310阜阳师范学院数科院例6

已知：

782+8161能被57整除，求证：783+8163也能被57整除。证明：783+8163=7(782+8161)－7×8161+8163=7(782+8161)+8161×57∵782+8161和57都能被57整除∴原式得证。2023/10/1311阜阳师范学院数科院习题选讲P4－4

设a,b是任意两个整数，

证明：存在两个整数s,t，使得并且，当b为奇数时，s,t是唯一的。b为偶数呢？则a必在此序列的某两项之间，

2023/10/1312阜阳师范学院数科院存在性得证；下证唯一性.2023/10/1313阜阳师范学院数科院当b为奇数时，②式中的等号不能成立，

当b为偶数时,s,t可以不唯一，举例如下：注：该例为简化辗转相除法求最大公约数提供了依据。2023/10/1314阜阳师范学院数科院2023/10/1315阜阳师范学院数科院§1.2最大公因数与辗转相除法一、最大公因数例1已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90.2023/10/1316阜阳师范学院数科院练习：100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论。若这100个数互不相同呢？1001定理1：〔有关最大公因数的结论〕注：定理1(3)给出了求最大公因数的方法——辗转相除法.2023/10/1317阜阳师范学院数科院二、辗转相除法定义：设有整数的带余数除法中，每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算方法称为辗转相除法。即有(*)或2023/10/1318阜阳师范学院数科院定理2

在上面的表达式(*)中，有证明：另一方面，2023/10/1319阜阳师范学院数科院证明：先考虑两个数的情形，一方面，另一方面，由辗转相除法可以得到，对于多个整数的公因数，利用可以证明.2023/10/1320阜阳师范学院数科院例2

求下面各组数的最大公因数。解：18591573115732865143014322860注：亦可通过分解因数的方法求最大公因数.2023/10/1321阜阳师范学院数科院补充说明：利用§1.1习题4的结论，可以使得辗转相除法求最大公因数更为快速一些。每次除得余数的绝对值不超过除数的一半，余数可以为负。例3

求（76501，9719）.765019719877752125181000828941156953285424961440=1.2023/10/1322阜阳师范学院数科院定理4说明：（1）在(*)式中，所有各项都乘以m可以得证。（2）由(1)即可得证。2023/10/1323阜阳师范学院数科院定理52023/10/1324阜阳师范学院数科院例4

求最大公约数：方法一：利用定理5.方法二：分解因数.48721082243654212182734692023/10/1325阜阳师范学院数科院例5利用辗转相除法计算(27090,21672,11352).270902167211352222704（2）22704438610321111352441280258410320所以，(27090,21672,11352)=258.2023/10/1326阜阳师范学院数科院例6

证明：若n是正整数，则

2023/10/1327阜阳师范学院数科院定理6设a，b不全为0，则存在整数s,t，使得证明：利用P4习题1-3的结论.一方面，另一方面，2023/10/1328阜阳师范学院数科院特别地，证：必要性的证明由定理6直接可得。2023/10/1329阜阳师范学院数科院推论1证明：2023/10/1330阜阳师范学院数科院推论2证明：另解：利用推论12023/10/1331阜阳师范学院数科院.思考题：用辗转相除法求x，y，使得125x

17y

=(125,17).2023/10/1332阜阳师范学院数科院习题选讲2023/10/1333阜阳师范学院数科院

4、证明：在辗转相除法中的n满足：

证：由P3§1习题4知：

2023/10/1334阜阳师范学院数科院2023/10/1335阜阳师范学院数科院§1.3最小公倍数定义1

：整数a1,a2,

,ak的公共倍数称为a1,a2,,ak的公倍数。a1,a2,,ak的正公倍数中的最小的一个叫做a1,a2,,ak的最小公倍数，记为[a1,a2,,ak].定理1：下面的等式成立：(ⅰ)[a,1]=|a|，[a,a]=|a|；(ⅱ)[a,b]=[b,a]；(ⅲ)[a1,a2,

,ak]=[|a1|,

|a2|,|ak|]；(ⅳ)

若a

b，则[a,b]=|b|。2023/10/1336阜阳师范学院数科院定理2

对任意的正整数a，b，有证明：

设m是a和b的一个公倍数，那么存在整数k1，k2，使得m=ak1，m=bk2，因此

ak1=bk2.

2023/10/1337阜阳师范学院数科院推论1两个整数的任何公倍数一定是最小公倍数的倍数。推论2

设m，a，b是正整数，则[ma,mb]=m[a,b]。2023/10/1338阜阳师范学院数科院定理3注：把多个整数的公倍数化为两个数的公倍数来计算。推论

若m是a1,a2,

,an的公倍数，则[a1,a2,,an]

m

。2023/10/1339阜阳师范学院数科院定理4

整数a1,a2,

,an两两互素，即(ai,aj)=1，1

i,j

n，i

j

的充要条件是[a1,a2,

,an]=a1a2

an.例3

设a，b，c是正整数，证明[a,b,c](ab,bc,ca)=abc

。证：[a,b,c]=[[a,b],c]=

(ab,bc,ca)=(ab,(bc,ca))=(ab,c(a,b))代入即得证.2023/10/1340阜阳师范学院数科院多项式的带余式除法称为n次多项式.注：整数的带余数除法推广到多项式的带余式除法，其他方面的性质〔整除的性质、辗转相除法、约数、倍数等〕也可以作类似地推广。2023/10/1341阜阳师范学院数科院习题讲解：2023/10/1342阜阳师范学院数科院构造方程其有理根只能为2023/10/1343阜阳师范学院数科院2023/10/1344阜阳师范学院数科院§1.4质数算术基本定理一、质数与合数定义：若整数a

0，1，并且只有约数

1和

a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。

注：本书中若无特别说明，素数总是指正素数。定理1设a是大于1的整数，则（1）a除1外的最小正因数q是质数；（2）若a是合数，则

2023/10/1345阜阳师范学院数科院求质数的方法例1求30以内的质数.划去2、3、5的倍数，得到不能被2、3、5整除的数有7、11、13、17、19、23、29.所以30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.该方法称为幼拉脱斯展纳筛法，利用该方法可以构造质数表，祥见教材P17-18.2023/10/1346阜阳师范学院数科院分析：利用定理2反证即得.注意：在推论中，若p不是质数，则结论不能成立。2023/10/1347阜阳师范学院数科院二、算术基本定理定理3〔算术基本定理〕任一大于1的整数n能表示成质数的乘积，且其分解的结果是唯一的[不考虑次序].即有：n=p1p2

pm

(1)其中pi（1

i

m）是素数.

证明

当n=2时，结论显然成立。由于2

d

k，由归纳假定知存在素数q1,q2,

,ql，使得d=q1q2

ql，从而k

1=pq1q2

ql。假设对于2

n

k，式(1)成立，下证式(1)对于n=k

1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。如果k

1是素数，式(1)显然成立。若k

1是合数，则存在素数p与整数d，使得k

1=pd。2023/10/1348阜阳师范学院数科院推论3.1〔标准分解式〕推论3.2a的正因数可以表示为a的分解式中的部分因数的乘积。推论3.3设a,b是任意两个正整数，且推论3.3是分解质因数方法求最大公因数和最小公倍数的依据。2023/10/1349阜阳师范学院数科院定理4质数的个数是无穷的。证：假设质数的个数有限，记为所以存在质数p,

所以，质数的个数是无穷的。2023/10/1350阜阳师范学院数科院例2写出51480的标准分解式。解：51480=2

25740=22

12870=23

5

1287=23

5

3

429=23

5

32

143=23

32

5

11

13。=23

64352023/10/1351阜阳师范学院数科院例3证明：(a,b)[a,b]=ab.

其中p1,p2,

,pk是互不相同的素数，

i，

i（1

i

k）都是非负整数。(a,b)[a,b]=

2023/10/1352阜阳师范学院数科院2023/10/1353阜阳师范学院数科院三、费马数及其他费马数尺规作图问题：正n边形可尺规作图的充要条件是n的最大单因数是不同的费马质数的乘积。例如：正3、5、15、17边形等。

2023/10/1354阜阳师范学院数科院证：（反证法）2023/10/1355阜阳师范学院数科院2023/10/1356阜阳师范学院数科院§1.5函数[x]与{x}及其在数论中的应用定义：设x是实数，以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，称{x}=x

[x]为x的小数部分.一、函数[x]与{x}及其性质2023/10/13