集合典型例题集合和区间

集合典型例题集合和区间集合

1.集合的概念

一般地，把某些指定对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫集合的元素，元素与集合的关系是属于或不属于，分别用或表示．

2．集合中元素的三大特性:无序性、互异性、确定性

3．集合的记法与常见数集的记法

集合常用大写拉丁字母或花括号来记，一些常见数集用特定大写拉丁字母来记．

（1）整数集:

:

（2）非负整数集（自然数集）：

（3）正整数集：或

（4）有理数集：

（5）实数集：

（6）复数集：

4．集合的表示方法

(1）列举法：把集合中元素一一列举在花括号内表示集合的方法

(2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法

(3）图示法：用一条封闭的曲线和它的内部表示集合的方法，这个图叫Venn图

5．有限集、无限集、空集含有有限个元素的集合叫有限集：含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用表示区间

区间是集合的一种表示方法，具体情况如下表所示（a＜b,a和b是区间的端点）。

例1．【2022上海二模】设集合，若，则实数的取值范围是_________．（一次函数，区间恒成立问题，70分）【解析】，，在上恒为正，设，则，即，得，即，实数的取值范围是，故答案为．例2.已知mA,nB,且集合A=，B=，又C=，则有（）（带字母的集合，30分）A．m+nAB.m+nBC.m+nCD.m+n不属于A，B，C中任意一个正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z,

又∵n,∴n=2a2+1,a2

Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2

Z,∴m+nB,故选B.例3、设关于x的方程x2+px-12＝0,x2+qx+r＝0的解集分别为A、B且A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，求p,q,r的值.（集合运算与元素判断，20分）解析：由A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+px-12＝0有根-3，故有(-3)2-3p-12＝0,∴p＝-1,此时A＝｛x｜x2-x-12＝0｝＝｛-3,4｝，又A≠B，A∪B＝｛-3，4｝，A∩B＝｛-3｝，可知方程x2+qx+r＝0只能有重根-3，即这个方程为(x+3)2＝0即x2+6x+9＝0，故q＝6,r＝9，∴p＝-1,q＝6,r＝9.例4.已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．解：分两种情况进行讨论．（相等集合的讨论，20分）（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，c≠1，故c=－．例5.【2021福建莆田模拟】设非空集合满足：当时，有．给出如下三个命题：①若；②若；③若．其中正确命题的个数是（集合与元素关系的难题，75分）A．0B．1C．2D．3D解：由定义设非空集合，满足时，有知，符合定义的参数的值，一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证时，有，符合条件的的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证打时，有，正对各个命题进行判断：对于①，故必有；②，则，对于③，若则，解之得，所以正确命题有3个，例6：在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?（交并集合超难，极限使用容斥原理，90分）解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得a+b+c+d+e+f+g＝25,①b+f＝2(c+f),②a＝d+e+g+1,③a＝b+c.④②代入①得a+2b-c+d+e+g＝25,⑤③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g＝24,⑥④代入⑤得3b+d+e+g＝25,⑦⑦×2-⑥得4b+c＝26.⑧由于c≥0，所以b≤6.利用②、⑧消去c，得f＝b-2(26-4b)＝9b-52.因为f≥0，所以b≥5,则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人.例7:已知集合A＝｛x｜2a≤x≤a2+1｝,B＝｛x｜x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0｝，求使AB的a的取值范围.(子集参数区间的关系，30分)解析：①B＝｛x｜(x-2)［x-(3a+1)］≤0｝，故当3a+1≥2，即a≥时，B＝｛x｜2≤x≤3a+1｝;当3a+1＜2即a＜时，B＝｛x｜3a+1≤x≤2｝又AB，故

或解得1≤a≤3，或a＝-1。②B＝｛x｜(x-2)［x-(3a+1)］≤0｝，故当3a+1≥2，即a≥时，B＝｛x｜2≤x≤3a+1｝;当3a+1＜2即a＜时，B＝｛x｜3a+1≤x≤2｝又AB，故

或解得1≤a≤3，或a＝-1.

例8．【2021河北邯郸一模】已知集合，，，若集合的子集的个数为8，则的取值范围为__________．解析：作函数因为集合的子集的个数为8，所以集合中的元素个数为3，因此且即a的取值范围为（主考函数图象零点的集合题，很不错，80分）例9．已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（

）．(双变量二次不等式，60分)A．1B．3C．6D．10B解:根据题意将两边平方得，继续平方整理得：，故该方程有解.所以，即，解得，因为，故，当时，易得方程无解，当时，，有解，满足条件；当时，，方程有解，满足条件；当时，，方程有解，满足条件；故，因为且集合中恰有2个元素，所以集合可以是，，.例10．设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①，②若，则且，那么称F是U的一个环，下列说法错误的是（

D

）(新定义，集合作为元素，80分)A．若，则是U的一个环B．若，则存在U的一个环F，F含有8个元素C．若，则存在U的一个环F，F含有4个元素且D．若，则存在U的一个环F，F含有7个元素且对A，由题意可得满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确，不符合题意；对B，若，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确，不符合题意；对C，如满足环的要求，且含有4个元素，，故C正确，不符合题意.对D，，，，，，，再加上，中至少8个元素，故D错误，符合题意.例11．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（

）(分类讨论，集合推断题，80分）A．B．C．D．若①错，则，，，有两种情况：，，，，或，，，，；若②错，则，，互相矛盾，故②对；若③错，则，，，有三种情况：，，，，；，，，，；，，，，；若④错，则，，，只有一种情况：，，，，所以故选：C例12若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________（带参数的二次函数仅有一个元素，70分）由题意，不等式且，即，令，所以，所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而一次函数，图象是过一定点的动直线，作出函数和的图象，如图所示，其中，又因为，结合图象，要使得集合中有且只有一个元素，可得，即，解得.即正实数的取值范围是.例13.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为()A．77B．49C．45D．30(点集合相加，60分)解析：集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD内及正方形ABCD上的整点．集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}中的元素可看作图中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45(个)．故选C.例14：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）（真正的双字母考虑，70分）A.B.C.D.解：所解不等式为，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点