二次函数和存在相似三角形

...wd......wd......wd...二次函数与存在相似三角形3、〔红河〕如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．〔1〕求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；〔2〕求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；〔3〕是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似假设存在，请求出点P的坐标，假设不存在，请说明理由．解：〔1〕在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2．当x=0时，即y=0+4，解得y=4．∴点A、B、C的坐标依次是A〔﹣2，0〕、B〔2，0〕、C〔0，4〕．设直线BC的解析式为y=kx+b〔k≠0〕，则，解得．所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4．〔2〕∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为〔x，﹣2x+4〕，则△ODE的面积S可表示为：．∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴点E的坐标为〔1，2〕．〔3〕存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：设点P的坐标为〔x，﹣x2+4〕，0＜x＜2．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：①当△PDO∽△COA时，，，解得，〔不符合题意，舍去〕．当时，．此时，点P的坐标为．②当△PDO∽△AOC时，，，解得，〔不符合题意，舍去〕．当时，=．此时，点P的坐标为．综上可得，满足条件的点P有两个：，．1.(2014•东营·T25)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D〔3，﹣4〕．〔1〕求直线BD和抛物线的解析式；〔2〕在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似假设存在，求出M的坐标；假设不存在，说明理由；〔3〕在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．解：〔1〕∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B〔0，2〕．当y=0时，x=﹣1，∴A〔﹣1，0〕．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B〔0，2〕，D〔3，﹣4〕，∴解得，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；〔2〕存在．如图1，设M〔a，﹣a2+a+2〕．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C〔1，0〕，∴OC=1．∵B〔0，2〕，∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得a1=1，a2=﹣2.∴M〔1，2〕或〔﹣2，﹣4〕；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M〔，〕或〔，〕．又∵M在第一象限，∴符合条件的点M的坐标为〔1，2〕，〔，〕；〔3〕设P〔b，﹣b2+b+2〕，H〔b，﹣2b+2〕．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P〔1，2〕，当b=2时，P〔2，0〕∴P点的坐标为〔1，2〕或〔2，0〕．3.(2014·钦州·T26)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为〔1，0〕，点B的坐标为〔0，4〕，点E〔m，0〕是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似假设存在，求出此时m的值；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A〔1，0〕，与y轴交于点B〔0，4〕，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；〔2〕∵E〔m，0〕，B〔0，4〕，PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，∴P〔m，﹣m2﹣m+4〕，G〔m，4〕，∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；〔3〕在〔2〕的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．∵y=﹣x2﹣x+4，∴当y=0时，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D〔﹣3，0〕．当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，将D〔﹣3，0〕代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直线BD的解析式为y=x+4，∴H〔m，m+4〕．分两种情况：①如果△BGP∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1；②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．综上所述，在〔2〕的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．4.〔2014·成都·T28〕如图，抛物线y=〔x+2〕〔x﹣4〕〔k为常数，且k＞0〕与x轴从左至右依次交于A，B，与x轴交于C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．〔1〕假设点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；〔2〕假设在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；〔3〕在〔1〕的条件下，设F为线段BD上一点〔不含端点〕，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停顿，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少解：〔1〕抛物线y=〔x+2〕〔x﹣4〕，令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕．∵直线y=﹣x+b经过点B〔4，0〕，∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D〔﹣5，3〕．∵点D〔﹣5，3〕在抛物线y=〔x+2〕〔x﹣4〕上，∴〔﹣5+2〕〔﹣5﹣4〕=3，∴k=．〔2〕由抛物线解析式，令x=0，得y=k，∴C〔0，﹣k〕，OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此假设两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP．①假设△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．设P〔x，y〕，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y=x+k．∴D〔x，x+k〕，代入抛物线解析式y=〔x+2〕〔x﹣4〕，得〔x+2〕〔x﹣4〕=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2〔与点A重合，舍去〕，∴P〔8，5k〕．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得k=．②假设△ABC∽△ABP，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．与①同理，可求得：k=．综上所述，k=或k=．〔3〕由〔1〕知：D〔﹣5，3〕，如答图3，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA===，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×〔﹣2〕+=2，∴F〔﹣2，2〕．综上所述，当点F坐标为〔﹣2，2〕时，点M在整个运动过程中用时最少．5.〔2014·衡阳·T28〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象与x轴的交点为A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕两点，与y轴交于点C〔0，﹣3m〕〔其中m＞0〕，顶点为D．〔1〕求该二次函数的解析式〔系数用含m的代数式表示〕；〔2〕如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；〔3〕如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似解：〔1〕∵抛物线与x轴交点为A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕，∴抛物线解析式为：y=a〔x+3〕〔x﹣1〕．将点C〔0，﹣3m〕代入上式，得a×3×〔﹣1〕=﹣3m，∴m=∴抛物线的解析式为：y=m〔x+3〕〔x﹣1〕=mx2+2mx﹣3m〔2〕当m=2时，C〔0，﹣6〕，抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P〔x，2x2+4x﹣6〕．设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴y=﹣2x﹣6．如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F〔x，﹣2x﹣6〕．∴PF=yF﹣yP=〔﹣2x﹣6〕﹣〔2x2+4x﹣6〕=﹣2x2﹣6x．S=S△PFA+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA=〔﹣2x2﹣6x〕×3∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3〔x+〕2+∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．〔3〕∵y=mx2+2mx﹣3m=m〔x+1〕2﹣4∴顶点D坐标为〔﹣1，﹣4m如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9；CD2=CF2+DF2=m2+1；AD2=DE2+AE2=16∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，∴△ACD必为直角三角形．i〕假设点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，即：〔9m2+9〕+〔16m2+4〕=m2+1，整理得：m2=﹣ii〕假设点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，即：〔16m2+4〕+〔m2+1〕=9m2+9，整理得：m2=，∵m＞0，∴m此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=；△BOC的三边长为：OB=1，OC=，BC=．两个三角形对应边不成比例，不可能相似，∴此种情形不存在；iii〕假设点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，即：〔9m2+9〕+〔m2+1〕=16整理得：m2=1，∵m＞0，∴m=1．此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=3；△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=．∵=，∴满足两个三角形相似的条件．∴m=1．综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．6.〔2014·西宁·T28〕如图，抛物线y=x2+x﹣2交x轴于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．〔1〕求点B，C所在直线的函数解析式；〔2〕求△BCF的面积；〔3〕在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕当y=0时，﹣x2+x﹣2=0，解得x1=2，x2=4，∴点A，B的坐标分别为〔2，0〕，〔4，0〕.当x=0时，y=﹣2，∴C点的坐标分别为〔0，﹣2〕.设直线BC的解析式为y=kx+b〔k≠0〕，则，解得．∴直线BC的解析式为y=x﹣3；〔2〕∵CD∥x轴，BD∥y轴，∴∠ECD=90°.∵点B，C的坐标分别为〔4，0〕，〔0，﹣2〕，∴BC===2.∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到，∴△BCF的面积=BC•FC=×2×2=10；〔3〕存在．分两种情况讨论：①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1，则△BAP1∽△BOC，∵点A的坐标为〔2，0〕，∴点P1的横坐标是2.∵点P1在点BC所在直线上，∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1.∴点P1的坐标为〔2，﹣1〕；②过A作AP2⊥BC，垂足点P2，过点P2作P2Q⊥x轴于点Q．∴△BAP2∽△BCO.∴=，=∴=.解得AP2=.∵=，∴AP2•BP=CO•BP2.∴×4=2BP2.解得BP2=.∵AB•QP2=AP2•BP2，∴2QP2=×.解得QP2=.∴点P2的纵坐标是﹣.∵点P2在BC所在直线上，∴x=.∴点P2的坐标为〔，﹣〕.∴满足条件的P点坐标为〔2，﹣1〕或〔，﹣〕．7.〔2014·威海·T25改编〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕经过A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕，C〔0，2〕三点．〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似假设存在，试求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕∵