江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)

江苏省常州市2019年中考数学真题试题(含解析)

1.选择题1.-3的相反数是（）。A。3B。-2C。1D。-12.若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）。A。x=-1B。x=3C。x≠-1D。x≠33.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）。A。圆柱B。正方体C。圆锥D。球4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）。A。线段PAB。线段PBC。线段PCD。线段PD5.若△ABC～△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长的比为（）。A。2：1B。1：2C。4：1D。1：46.下列各数中与2+的积是有理数的是（）。A。2+B。2C。1：2D。2-77.判断命题“如果n＜1，那么n^2-1＜0”是假命题，只需举出一个反例。反例中的n可以为（）。A。-2B。0C。1D。28.随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切。某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示时到t时PM2.5的值y1的极差（即时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）。A。y2随t的增大而增大B。y2随t的增大而减小C。y2与t无关D。y2先增大后减小2.填空题9.计算：a^3÷a=____。答案：a^210.4的算术平方根是____。答案：211.分解因式：ax^2-4a=____。答案：a(x+2)(x-2)12.如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于____°。答案：5513.如果a-b-2＝0，那么代数式1+2a-2b的值是____。答案：314.平面直角坐标系中，点P(-3.4)到原点的距离是____。答案：515.若(1.2)是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解，则a＝____。答案：-116.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝____°。答案：3017.如图，半径为1的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝____。答案：7/318.如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N分别是线段AB、DE的中点，连接CM、CN，则CM∥DN，且CM：DN＝____。答案：3：1在线段BD上，如果△XXX是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则有MN=PN。19.(8分)1)计算π+(1/2)-(1/4)=π+1/42)简化(x-1)(x+1)-x(x-1)=x^2-x-x^2+x=-x20.(6分)解不等式组：x+1>2或x-31或x<4，解集为区间(-∞,1)∪(4,+∞)，如下图所示：21.(8分)1)连接AC'后，AC'与BD平行。2)由于纸片沿BD折叠，因此BC=BC'，又因为AD与BC'相交于点E，所以AE=ED，于是△AED为等腰三角形，∠AED=∠ADE。又因为折叠后AC'与BD平行，所以∠ADE=∠C'BD，因此EB与ED相等。22.(8分)1)样本容量为20，数据的众数为10元。2)平均数=(5×5+10×6+15×4)/20=8.5元。3)估计该校学生的捐款总数为600×8.5=5100元。23.(8分)1)每个盒子中纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为1/3.2)拼成的图形是轴对称图形的概率为1/3×2/9=2/27.24.(8分)设甲、乙每小时各做x个零件，则有2x+3x=30，即x=6.因此甲每小时做6个零件，乙每小时做24个零件。25.(8分)1)由题意可得k=2.2)由反比例函数的性质可得BD的长度为2，因此D的坐标为(0,1)。26.(10分)1)如图2所示，将两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形。方法1：梯形面积为(a+b)×c/2；方法2：梯形面积为c^2/2+(a^2+b^2)/4.因此有(a+b)×c/2=c^2/2+(a^2+b^2)/4，化简可得a^2+b^2=c^2，即勾股定理成立。2.如图2，一个$n$行$n$列的棋子正方形，有两种方法计算棋子数量，得到等式$n^2=$。运用】3.一个$n$边形有$n$个顶点，在内部画$m$个点，以$(m+n)$个点为顶点，将$n$边形剪成若干个三角形。设最多可以剪成$y$个三角形。当$n=3$，$m=3$时，如图3，最多可以剪成7个三角形，因此$y=7$。①当$n=4$，$m=2$时，如图4，$y=$。②对于一般情形，在$n$边形内画$m$个点，通过归纳猜想，可得$y=$（用含$m$、$n$的代数式表示）。请用两种方法证明你的猜想成立。27.如图，二次函数$y=-x^2+bx+3$的图像与$x$轴交于点$A$、$B$，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为（$-1$，$0$），点$D$为$OC$的中点，点$P$在抛物线上。1）$b=$。2）若点$P$在第一象限，过点$P$作$PH\perpx$轴，垂足为$H$，$PH$与$BC$、$BD$分别交于点$M$、$N$。是否存在这样的点$P$，使得$PM=MN=NH$？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由；3）若点$P$的横坐标小于3，过点$P$作$PQ\perpBD$，垂足为$Q$，直线$PQ$与$x$轴交于点$R$，且$S_{\trianglePQB}=2S_{\triangleQRB}$，求点$P$的坐标。28.已知平面图形$S$，点$P$、$Q$是$S$上任意两点，将线段$PQ$的长度的最大值称为平面图形$S$的“宽距”。例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度。1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆。②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”。2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点$A(-1,0)$、$B(1,0)$，$C$是坐标平面内的点，连接$AB$、$BC$、$CA$所形成的图形为$S$，记$S$的宽距为$d$。①若$d=2$，用直尺和圆规画出点$C$所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点$C$在圆$\odotM$上运动，$\odotM$的半径为1，圆心$M$在过点$(0,2)$且与$y$轴垂直的直线上。对于$\odotM$上任意点$C$，都有$5\leqd\leq8$，直接写出圆心$M$的横坐标$x$的取值范围。5.根据相似比为1：2，可以得到△ABC与△A'B'C'的周长比为1：2，因此选B。6.根据题目中的等式可以得到5x-3=7，解得x=2，因此选D。7.当n=-2时，可以发现n0，因此命题“如果n<1，那么n²-1<0”是假命题，举出的反例为n=-2，因此选A。8.当t=0时，可以得到极差y2=85-85=0；当0<t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10<t≤20时，极差y2保持不变，为43；当20<t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98，因此选B。9.根据题目中的式子a³/a=a²，可以化简得到a²，因此答案为a²。10.4的算术平方根是2，因此答案为2.11.根据题目中的式子ax²-4a可以因式分解为a(x+2)(x-2)，因此答案为a(x+2)(x-2)。12.根据题目中的信息，可以得到α的余角为90°-35°=55°，因此答案为55.13.根据题目中的式子a-b-2=1，可以得到a-b=2，代入1+2a-2b中得到5，因此答案为5.14.根据勾股定理，可以得到OP²=PA²+OA²=4²+3²=25，因此答案为5.15.将x=1代入方程ax+y=3中，可以得到a+2=3，解得a=1，因此答案为1.16.根据题目中的信息，可以得到∠BOC=60°，因此∠CDB=∠BOC=30°，因此答案为30.17.根据题目中的信息，可以得到tan∠OBC=√3，因此BD=AB/√3=3，CD=BC-BD=5，tan∠OCB=CD/BD=5/3，因此答案为5/3.18.根据题目中的信息，可以得到AB=CD=1/3，BD=10，BE=CD=1/3，CE=2CD=2/3，BC=3BE=1，AD=3AB=1/3，PD=AD=1/3，因此PF=√(BD²-PD²)=√(10²-(1/3)²)=√(100-1/9)=√(899/9)，因此答案为√(899/9)。解题过程：根据题目所给信息，可以得到以下解题步骤：1.根据题意，将给定的等腰三角形PMN和角度DEC画出来，然后根据已知条件得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，∠PFN=90°。2.根据相似三角形的性质，得出△PNF∽△DEC，然后利用比例关系求出NF=2PF=3，MN=2NF=6.3.因此，答案为6.4.对于第19题，根据题意进行计算，得出π+（22/2）-（-1）=1+11-(-1)=13.5.对于第20题，解不等式x+1>0和3x-8≤-x，得到x>-1和x≤2，因此解集为-1<x≤2.6.对于第21题，连接AC'，则AC'与BD平行，因此答案为AC'∥BD。同时，由折叠可得EB=ED，因此BE=DE。7.对于第22题，根据题意进行计算，得出本次调查的样本容量为30，众数为10，平均数为12，捐款总数为7200元。8.对于第23题，根据题意进行计算，得出盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为1/6.9.对于第24题，设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30-x）个零件，根据题意列出方程解得x=18，因此甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件。10.对于第25题，根据已知条件可以求出点A（2，2），∠AOC=45°，k=4，因此y=2k-1=7.同时，根据平行四边形的性质，可以求出点D（1，4）。11.对于第26题，根据题意可以得出直角梯形的面积为（a+b）（a+b），其中a和b分别为三个Rt△的面积，因此可以进行计算求解。1.由图可知：$(a+b)(a+b)=ab+ab+c^2$，整理得$(a+b)^2=2ab+c^2$，$a^2+b^2+2ab=2ab+c^2$，因此$a+b=c$。因此，结论为：在直角三角形中，直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，则$a+b=c$。2.$n$行$n$列的棋子排成一个正方形，棋子个数为$n^2$，每层棋子个数分别为$1,3,5,7,\dots,2n-1$。由图可知：$n^2=1+3+5+7+\dots+2n-1$，因此答案为$1+3+5+7+\dots+2n-1$。3.(1)当$n=4,m=2$时，$y=6$；当$n=5,m=3$时，$y=9$。(2)方法1：对于一般情形，在$n$边形内画$m$个点，第一个点将多边形分成了$n$个三角形，以后每增加一个点，分割部分增加$2$部分，因此$y=n+2(m-1)$。方法2：以$\triangleABC$的两个顶点和它内部的$m$个点，共$(m+3)$个点为顶点，可把$\triangleABC$分割成$3+2(m-1)$个互不重叠的小三角形。以四边形的$4$个顶点和它内部的$m$个点，共$(m+4)$个点为顶点，可把四边形分割成$4+2(m-1)$个互不重叠的小三角形。因此，以$n$边形的$n$个顶点和它内部的$m$个点，共$(m+n)$个点作为顶点，可把原$n$边形分割成$n+2(m-1)$个互不重叠的小三角形，因此$y=n+2(m-1)$。因此，答案为：(1)$6,3$；(2)$n+2(m-1)$。27.(1)因为二次函数$y=-x+bx+3$的图像与$x$轴交于点$A(-1,0)$，所以$-1-b+3=0$，解得$b=2$。因此，答案为$2$。(2)存在满足条件的点$P$，使得$PM=MN=NH$。因为二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$，当$x=0$时，$y=3$，所以$C(0,3)$。当$y=0$时，$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$，所以$A(-1,0),B(3,0)$。因为点$D$为$OC$的中点，所以$D\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$。因此，直线$BD$的解析式为$y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$。设$P(t,-t^2+2t+3)$（$t<3$），则$M(t,-t+3),N(t,-t),H(t,-t^2+2t)$。因此，$PM=-t^2+2t+3-(-t+3)=-t^2+3t$，$MN=-t+3-(-t)=-t+3$，$NH=-t^2+2t-(-t^2+2t)=2t^2-4t$。因此，$MN=NH$，$PM=MN$，所以$-t^2+3t=-t+3$，解得$t_1=0,t_2=3$。因此，$P(0,3/2)$，使得$PM=MN=NH$。因此，$P$的坐标为$\left(0,\frac{3}{2}\right)$。3)过点$P$作$PF\perpx$轴于$F$，交直线$BD$于$E$。因为$OB=3,OD=\frac{3}{2}$，$\angleBOD=90^\circ$，所以$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\frac{3}{2}$。因此，直线$BD$的解析式为$y=-x+\frac{3}{2}$。因为点$D$为$OC$的中点，所以$D\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$。因此，直线$BD$的斜率为$-1$，所以$PF$的斜率为$1$，因此$PF$的解析式为$y=x+\frac{3}{2}$。因为$PF\perpx$轴，所以$PF$的斜率为$0$，因此$PF$的解析式为$y=\frac{3}{2}$。因此，$F\left(0,\frac{3}{2}\right)$。因为$PF$的斜率为$1$，所以$PE$的斜率为$-1$，因此$PE$的解析式为$y=-x+\frac{3}{2}$。因此，$PE$与$BD$的交点$G$的横坐标为$\frac{3}{4}$，纵坐标为$\frac{3}{4}$。因此，$G\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right)$。因此，$PE=\sqrt{PG^2+GE^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。因此，答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。解题思路：首先，需要将文章中的格式错误进行修改，使其更加清晰易懂。然后，需要删除明显有问题的段落，只保留正确的内容。最后，对每段话进行小幅度的改写，使其表述更加准确。修改后的文章：已知在直角三角形OBD中，PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F。求证：cos∠OBD=cos∠EPQ。解题思路：首先，由题意可知∠PQE=∠BQR=∠PFR=90°，因此∠PRF+∠OBD=∠PRF+∠EPQ=90°。所以，有∠EPQ=∠OBD，即cos∠EPQ=cos∠OBD。接下来，考虑如何求出EP和PQ的长度。在直角三角形PQE中，有：cos∠EPQ=PQ/PE因此，PQ=PE。同理，在直角三角形PFR中，有：cos∠RPF=PR/PF因此，PR=PF。由于三角形PQB与三角形QRB的面积之比为2:1，因此有：S△PQB=2S△QRB又因为S△PQB=BQ×PQ，S△QRB=BQ×QR，因此有：PQ=2QR接下