第八章-回归分析

第八章_回归分析8.1回归分析基础8.2用Excel进行回归分析处理8.3上机实验八用Excel进行回归分析回归和相关已成为统计学中最基本的概念之一，其分析方法已是最标准、最常用的统计工具之一。从狭义上看，相关分析的任务主要是评判现象之间的相关程度高低以及相关的方向，而回归分析则是在相关分析的基础上进一步借用数学方程将那种显著存在的相关关系表示出来，从而使这种被揭示出的关系具体化并可运用于实践中去。从广义的角度去理解相关和回归，此时回归分析就包含着相关分析。【实例描述】1887年生物统计学家高尔顿在研究豌豆和人体的身高遗传规律时，首先提出“回归”的思想。1888年他又引入“相关”（Correlation）的概念。原来，他在研究人类身高的遗传时发现，不管祖先的身高是高还是低，成年后代的身高总有向一般人口的平均身高回归的倾向。8.1回归分析基础

8.1.1一元线性回归8.1.2多元线性回归8.1.3逐步回归8.1.1一元线性回归回归分析最简单的情形是一个自变量和一个因变量，且它们有线性关系，这叫一元线性回归，即模型为Y＝A＋BX＋ε，这里X是自变量，Y是因变量，ε是随机误差，通常假定随机误差的均值为0，方差为σ2（σ2>0）,σ2与X的值无关。A和B为未知待估的总体参数，又称其为回归系数。8.1.1一元线性回归如何根据样本资料去估计就成为回归分析的基本任务。由此可以假设样本的回归方程如下：、上式中，、和分别为Y、A和B的估计值8.1.1一元线性回归例8-1:为研究某类企业的生产量和单位成本之间的关系，现随机抽取10个企业，得如下数据（见表8-1）：根据该资料，经计算可得表8-2：8.1.1一元线性回归由上表资料，可得：这样就可以得到生产量(x)和单位成本(y)之间的样本回归方程8.1.2多元线性回归总体的多元线性回归方程为总体回归方程一般未知，需要通过样本去估计。设估计方程为上式中，、b1、b2、…、bk称为回归系数，其中，bi(i=1,2,…，k)又称为偏回归系数，它表示当其它自变量均为零时，xi每变化一个单位对因变量影响的数值。8.1.2多元线性回归设样本为(x1，x2，…，xk，y)，利用最小二乘法可估计出回归方程中的参数，即要求=最小值当k=2可解得：8.1.2多元线性回归例8-2：为研究某商品的需求量、价格、消费者收入三者之间的关系，经调查得如表8-3所示资料：根据上表资料，可得如表8-4的回归计算表：8.1.2多元线性回归据表中数据，如果设需求量(y)与收入(x1)及价格(x2)之间的回归方程为：8.1.2多元线性回归8.1.3逐步回归逐步回归分析的主要计算步骤如下：（1）确定F检验值（2）逐步计算如果已计算t步(包含t＝0),且回归方程中已引入l个变量,则第t+1步的计算为:①计算全部自变量的贡献V'(偏回归平方和)。②在已引入的自变量中,检查是否有需要剔除的不显著变量。在已引入的变量中选取具有最小V‘值的一个并计算其F值,如果F<=F2,表示该变量不显著,应将其从回归方程中剔除,计算转至③。如F>F2,则不需要剔除变量,这时则考虑从未引入的变量中选出具有最大V'值的一个并计算F值,如果F>F1,则表示该变量显著,应将其引人回归方程,计算转至③。如果F<=F1,表示已无变量可选入方程,则逐步计算阶段结束,计算转人（3）③剔除或引人一个变量后,相关系数矩阵进行消去变换,第t+1步计算结束。其后重复①~③计算。（3）其他计算,主要是回归方程入选变量的系数、复相关系数及残差等统计量的计算8.2用EXCEL进行回归分析处理

8.2.1相关函数8.2.2Excel回归分析工具8.2.1相关函数1．线性回归函数LINEST功能:运算结果返回一线性回归方程的参数，即当已知一组混合成本为Y因变量序列值、N组Xi有关自变量因素的数量序列值时，函数返回回归方程的系数mi（i=1,2…n单位变动成本）和常数b（固定成本或费用）。多元回归方程模型则为：y=m1x1＋m2x2……＋mnxn＋b。8.2.1相关函数语法：LINEST(known_y's,known_x's,const,stats)。其中Known_y's

是关系表达式y=mx+b中已知的y值集合；Known_x's是关系表达式y=mx+b中已知的可选x值集合；Const

为一逻辑值，用于指定是否将常量b强制设为0；Stats为一逻辑值，指定是否返回附加回归统计值。8.2.1相关函数附加回归统计值如下：8.2.1相关函数

例8-3：计算柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas）：lnQ=lnA+alnL+blnK，式中Q为产出，L和K分别表示劳动和资本投入量，A表示平均生产技术水平，a和b分别是Q相对于L和K的弹性。使用下表的统计数据，求线性回归参数A,a,b。8.2.1相关函数8.2.1相关函数（1）建立“线性回归”工作表，如图8-1所示。图8-1“线性回归”工作表8.2.1相关函数（2）在单元格E1中输入“ln（Q）”，在单元格F1中输入“ln（L）”，在单元格G1中输入“ln（K）”。（3）选中单元格E2，输入公式“=LN（B2）”，复制公式到单元区域E3：E19；选中单元格F2，输入公式“=LN（C2）”，复制公式到单元区域F3：F19；选中单元格G2，输入公式“=LN（D2）”，复制公式到单元区域G3：G19。（4）将E2：E19定义为因变量，将F2：G19定义为自变量，选中单元格A20，在单元格中输入“回归分析”。（5）选中单元区域A21：C25，插入统计函数“LINEST”，在函数参数Known_y’s中输入“E2：E19”，在参数Knowm_x’s中输入“F2：G19”，在参数Const中输入值“TRUE”，在参数Stats中输入值“TRUE”。如图8-2所示。8.2.1相关函数图8-2函数LINEST参数对话框8.2.1相关函数（4）按Ctrl+Shift+Enter将返回值以数组形式显示，输出结果如图8-3所示。图8-3回归分析输出结果8.2.1相关函数由回归计算得线性回归参数

LnA=-6.2119,a=2.437547,b=0.8577589，保留四位小数得柯布-道格拉斯生产函数lnQ=-16.2119+2.4375lnL+0.8578lnK。8.2.1相关函数2．索引取值函数index如果只想要返回值中的指定项，则可以用索引取值index函数。语法格式：INDEX（单元格区域或数组常量，行序号，列序号）；功能：使用索引从单元格区域或数组中选取值。可用该函数在LINEST函数返回系数序列数组表中根据所需数据所处的行列位置定位选取。8.2.1相关函数3．四舍五入函数ROUND语法格式：ROUND（数字，小数位数）；功能：将数字四舍五入到指定的小数位数。由于LINEST函数的返回值为6位小数，用此函数指定保留的小数位数。例如在需要的位置输入“=ROUND（INDEX（LINEST（Y，X，TRUE，TRUE），1，4），2）”，则表示取linest函数返回的数组的第1行第4列的数据，并保留2位小数。8.2.2Excel回归分析工具例8-4：某溶液浓度正比对应于色谱仪器中的峰面积，现欲建立不同浓度下对应峰面积的标准曲线以供测试未知样品的实际浓度。已知8组对应数据如下所示，建立标准曲线，并且对此曲线进行评价，给出分析数据。

=0.018.2.2Excel回归分析工具（1）建立“溶液浓度”工作表，如图8-4所示。图8-4“溶液浓度”工作表8.2.2Excel回归分析工具（2）选择成对的数据列，将它们使用“X、Y散点图”制成散点图，如图8-5所示。图8-5X、Y散点图8.2.2Excel回归分析工具（3）选中数据点，单击右键，选择“添加趋势线”-“线性”，并在选项标签中要求给出公式和相关系数等，可以得到拟合的直线。如图8-6~8-8所示。图8-6“添加趋势线”-“线性”对话框图8-7“添加趋势线”选项8.2.2Excel回归分析工具图8-8趋势线及其公式由图中可知，拟合的直线是y=1639.5x-200.89，R2的值为0.9961。8.2.2Excel回归分析工具为了进一步使用更多的指标来描述这一个模型，可以使用数据分析中的“回归”工具来详细分析这组数据。（1）打开“溶液浓度”工作表，在“工具”菜单中选择“