函数单调性奇偶性经典例题答案

...wd......wd......wd...函数的性质的运用1．假设函数是奇函数，则以下坐标表示的点一定在函数图象上的是〔〕A.B.C.D.2.函数是奇函数，则的值为〔〕A．B．C．D．3．f〔x〕是偶函数，g〔x〕是奇函数，假设，则f〔x〕的解析式为_______．4．函数f〔x〕为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f〔x〕＝0的所有实根之和为________．5.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)假设f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．6.定义在区间〔0，+∞〕上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.〔1〕求f(1)的值；〔2〕判断f(x〕的单调性；〔3〕假设f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.7.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.〔1〕求证：f(x)是R上的增函数；〔2〕假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.8.设f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，且在〔0，+∞〕是递增的，〔1〕求证：f〔1〕=0，f〔xy〕=f〔x〕+f〔y〕；〔2〕设f〔2〕=1，解不等式。9.设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为〔〕0B．9C．12D．1810.关于的方程的两个实根、满足，则实数m的取值范围11.函数满足，且∈[－1,1]时，，则与的图象交点的个数是()A．3B．4C．5 D．6 12.函数满足：，则＝；当时＝，则＝13.函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.14.函数f(x)=的图象()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称15.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.16.假设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),且在［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________.17.函数f(x)=ax+(a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.18.求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.19设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a20.函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.21.奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.22.设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于()A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.523.定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)24.假设f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.25.如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比拟f(),f(),f(1)的大小关系_________.参考答案6.〔1〕f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。〔2〕当0<x<y时，y/x>1，所以f(y)-f(x)=f(y/x)<0。故f单调减。〔3〕f(3)=-1，f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)，f(9)=-2而f〔｜x｜)＜-2=f(9)，且f单调减，所以|x|>9x＞9或x＜-97.〔1〕设x1,x2∈R，且x1＜x2,则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f〔x2〕＞f(x1).即f(x)是R上的增函数.〔2〕∵f〔4〕=f〔2+2〕=f〔2〕+f〔2〕-1=5，∴f〔2〕=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜,故解集为.13.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.14.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C15.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－116.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0〕17.证明：(1〕设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0,>1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+>0∴f(x)在(－1，+∞〕上为递增函数.(2〕证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,假设－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，假设x0＜－1,则>0,>0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.18.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞〕上是减函数.19.证明：(1〕不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2〕要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以20.证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.21.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.22.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B23.解析：∵f(x)是定义在(－1，1〕上的奇函数又是减函数，且f(a－