均值不等式专题20道带答案

均值不等式专项3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，运用基本不等式求解的最小值得到所求成果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题对的成果：【点睛】本题考察基本不等式求解和的最小值问题，核心是能够运用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后运用基本不等式求最值.【详解】当时，，，因此最大值为1，当时，由于，当且仅当时取等号，因此，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考察运用基本不等式求最值，考察基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接运用代数式的恒等变换和运用均值不等式的应用求出成果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考察的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，重要考察学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，因此，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考察了条件等式下运用基本不等式求最值，考察了变形的能力，考察了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得通过圆心，可得，再+运用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表达觉得圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得通过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题重要考察直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在运用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件规定中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号获得的条件)的条件才干应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】由于,当且仅当时取等号，因此的最小值是【点睛】在运用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件规定中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号获得的条件)的条件才干应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后运用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时获得最小值是故答案为：【点睛】本题重要考察了运用基本不等式求解最值，解题的核心是进行分离后运用1的代换，在运用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件规定中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号获得的条件)的条件才干应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，运用基本不等式可得成果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，因此的最小值为，故答案为.【点睛】本题重要考察二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题.在运用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件规定中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号获得的条件）的条件才干应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再运用基本不等式可得.【详解】由于，因此，=（当且仅当，即，时取等号），因此的最小值为，故答案为.【点睛】本题考察基本不等式及运用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是核心，属于中档题.11．【解析】【分析】运用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考察了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】运用“1”的代换，求得最值，再对直接运用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考察基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”与否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当获得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考察基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考察化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后运用，可得到最小值，要注意等号获得的条件。【详解】由题意，，当且仅当时等号成立，因此，当且仅当时取等号，因此当时，获得最小值．【点睛】运用基本不等式求最值必须含有三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号获得的条件。15．3【解析】【分析】由已知可知，，整顿结合基本不等式可求.【详解】解：，b都是正数，满足，则，当且仅当且，即时，获得最小值3，故答案为：3．【点睛】本题重要考察了运用基本不等式求解最值，解答本题的核心是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.16．15【解析】【分析】对变形可得原式，由，运用，运用基本不等式求最值即可。【详解】解：，且，，故．（当且仅当时取“=”）.故答案为：15．【点睛】本题考察了求代数式的最值问题，运用基本不等式是解决本题的一种常见办法，考察了转化思想的应用，是一道中档题。17．1【解析】【分析】由题意可知，点在椭圆上运动，得，则，构造基本不等式，即可求出成果.【详解】∵点在椭圆上运动，即，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.【点睛】本题重要考察了运用椭圆的方程，运用基本不等式求解最小值，解题的核心是运用了的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出成果.18．4【解析】【分析】运用二次函数的单调增区间求得，再运用，运用基本不等式可求最小值．【详解】的对称轴为，故，又，当且仅当时等号成立，从而的最小值为，填．【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵照“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部构造.求最值时要关注取等条件的验证.19．3；【解析】【分析】将原式子变形得到再由均值不等式可得到最值.【详解】已知正实数，满足，根据均值不等式得到等号成立的条件为：x=2y+2.故答案为：3.【点睛】这个题目考察了均值不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件规定中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号获得的条件)的条件才干应用，否