大学课件-《高等电路》

高等电路第1章电路方程的矩阵形式

图论的基本概念

割集

关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系支路方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式§

1-2割集

一、割集的概念1、割集的概念割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：1、把Q中全部支路移去，将图分成两个分离部分；2、保留Q中的任一条支路，其余都移去，G还是连通的。2、割集的判断方法如果在连通图G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，若移去与闭合面相切割的所有支路，G

被分为两部分，则这样一组支路便构成一个割集。①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q3:{1,5,2}Q2:{1,4,6}Q1:{2,3,6}Q6:{1,5,3,6}Q5:{2，4，5，6}Q4:{3,4,5}①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56{1，4，5，6}Q7:{1，2，3，4}{1，2，3，4，5}1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通的。练习：

对于图（a）、（b），与用虚线画出的闭合面S相切割的支路集合是否构成割集？为什么？SS（a）（b）不是割集图被分离成3部分。不是割集图被分离成3部分。KCL方程适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL。若一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，割集的KCL方程即变为结点上的KCL方程。独立割集：一组线性独立的KCL方程对应的割集。

二、独立割集选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集。因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的。连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成T1和T2两部分，于是联结T1和T2的那些连支和这条树支必构成一个割集。

利用“树”寻找独立割集连支l1、l2、l3和单树支t1构成一个割集。同理，每一条树支都可以与相应的一些连支构成割集。

单树支割集（基本割集）一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。Q1234567n个结点和b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，有(n-1)个单树支割集，称为基本割集组。

n个结点的连通图，独立割集数为(n-1)。连通图有许多不同的树，可选出许多基本割集组。Q1Q45813145Q25678Q325781346Q1Q2Q3Q42578134625781346257813462578134625781346Q1257813462578134625781346Q2Q3Q4三、割集分析法对电路进行割集分析，求树支电压，步骤如下：1、画出有向图，选择一个树，画出基本割集，而后将基尔霍夫电流定律用于割集；2、利用欧姆定律，以导纳和支路电压的乘积来取代全部支路电流变量；3、将连支电压用树支电压的组合表示；4、把步骤2和3的结果代入步骤1的电流方程组，得到以树支电压为变量的割集方程组，求出树支电压。例1求图示电路的树支电压。解：步骤1：画出有向图，选择一个树，如图示蓝线，画出基本割集，由于割集⑧与⑨为电压源支路而不予考虑，应用基尔霍夫电流定律得①②⑨⑧③124536789割集的方向：割集所含树支的参考方向。步骤2：对各支路应用欧姆定律步骤3：用树支电压表示连支电压步骤4：把步骤2和3的结果代入步骤1的电流方程组，得到：求出树支电压，得：

以树支电压为待求变量建立方程求解电路的方法称为割集电压法。独立性：树中不含有任何回路，不满足KVL约束，所以任一树支电压都不能表示为其他树支电压的线性组合，因此树支电压是独立的；完备性：基本回路为单连支回路，已知树支电压就可以求出连支电压，所以各支路电压均可由树支电压来表示。对于具有m个独立割集的电路，割集方程组的一般形式为：注意：①

Ykk是割集k所有的导纳和，称自导纳，恒为正。Yjk(j≠k)是割集j、k的公共导纳和，称互导纳，互导纳的正负，取决于两割集在共有支路上的方向是否相同，相同时为正，方向相反时为负。iskk为支路电流源之和，电流源方向与割集方向相反取正，反之取负。分析中可将电压源和电阻的串联组合看成为一个支路①②③12453677①②⑨⑧③12453689自导纳：一个割集中所有导纳之和，取正号方程左边：方程右边：支路电流源之和，与割集方向相反取正号互导纳：两割集公共导纳之和，割集方向相同取正号①②③1245367

应用结点电压法的最大困难是如何处理含无伴独立电压源电路。方法1：增设未知变量，补列附加方程。方法2：可选择电压源的一端作为参考点，另一端的结点方程便可省略。若含2个或2个以上电压源，且不在同一结点上。同时使用方法1、方法2对含有n个无伴独立电压源的电路，使用割集法分析，选择这些支路电压作为变量，就可以少列n个电路方程。例2

求电压u2。解：结点电压法附加方程解得割集分析法解得u2=12V125463Q1Q3Q2Q3课后练习电路如图所示，求ux。6ux第1章电路方程的矩阵形式

图论的基本概念

割集

关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系支路方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式§

1-2割集

一、割集的概念1、割集的概念割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质：1、把Q中全部支路移去，将图分成两个分离部分；2、保留Q中的任一条支路，其余都移去，G还是连通的。2、割集的判断方法如果在连通图G上作一个闭合面，使其包围G的某些结点，若移去与闭合面相切割的所有支路，G

被分为两部分，则这样一组支路便构成一个割集。KCL方程适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL。若一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，割集的KCL方程即变为结点上的KCL方程。独立割集：一组线性独立的KCL方程对应的割集。

二、独立割集每一条树支都可以与相应的一些连支构成割集单树支割集（基本割集）一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。n个结点和b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，有(n-1)个单树支割集，称为基本割集组。

n个结点的连通图，独立割集数为(n-1)。连通图有许多不同的树，可选出许多基本割集组。

以树支电压为待求变量建立方程求解电路的方法称为割集分析法。独立性：树中不含有任何回路，不满足KVL约束，所以任一树支电压都不能表示为其他树支电压的线性组合，因此树支电压是独立的；完备性：基本回路为单连支回路，已知树支电压就可以求出连支电压，所以各支路电压均可由树支电压来表示。对于具有m个独立割集的电路，割集方程组的一般形式为：注意：①

Ykk是割集k所有的导纳和，称自导纳，恒为正。Yjk(j≠k)是割集j、k的公共导纳和，称互导纳，互导纳的正负，取决于两割集在共有支路上的方向是否相同，相同时为正，方向相反时为负。iskk为支路电流源之和，电流源方向与割集方向相反取正，反之取负。练习电路如图所示，求ux解：选电压源和待求电压支路为树支Q1Q2Q3ux6ux§

1-3关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。一、图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵三种矩阵形式：二、关联矩阵A(描述结点和支路的关联性质)n个结点b条支路的图用n

b的矩阵描述：Aa=n

b支路b结点

n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为：注意ajkajk=1支路k与结点j

关联，方向背离结点；ajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点；ajk=0支路k与结点j无关。1、关联矩阵A1２３６５４①②④③特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。Aa=①②③④123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩阵中任一行可以从其他（n-1）行中导出，即只有（n-1）行是独立的。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1被划去的行对应的结点可以当作参考结点。A=(n-1)

b支路b结点n-1把Aa中的任一行划去，剩下的矩阵为（n-1）×b维，用A表示，称为降阶关联矩阵，简称关联矩阵。一个有向图中参考结点的选择是任意的，参考结点选择不同，关联矩阵A也不同。

一个有向图的矩阵Aa则是完全确定的。给定一个矩阵Aa，可以确定一个有向图。根据有向图的关联矩阵A，很容易求Aa，在A中增加对应于参考结点的一行，增加该行后，矩阵每列元素之和为零。A=根据Aa画出有向图以结点4为参考结点a-1-1100000-1-1011001100100-1-1①②③④123456练习以结点④为参考结点写出图示电路的关联矩阵A。解：画出有向图用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；设支路电流列向量为用关联矩阵A左乘i可得A

i=-1-1100000-1-101100010n-1个独立KCL方程矩阵形式的KCL:Ai=02、关联矩阵A的作用1２３６５４①②④③用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。设支路电压列向量为结点电压列向量为用关联矩阵A的转置左乘un可得矩阵形式的KVL:u=ATun1２３６５４①②④③三、基本回路矩阵Bf(描述基本回路和支路的关联性质)B=lb支路b独立回路

l注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bjk1支路k

在回路

j中，且方向一致；-1支路

k

在回路j中，且方向相反；0支路j

不在回路j

中。1、回路矩阵B1２３６５４①②④③123取网孔为独立回路，顺时针方向123B=123456支回011001000-11-11-100-10

选取的独立回路对应于一个树的单连支回路，则得到的回路矩阵称为基本回路矩阵Bf。2、基本回路矩阵Bf

连支电流方向为回路电流方向；支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。规定例：选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。100-1-100101010010-11123Bf=134256支回BtBl=[1Bt]1２３６５４①②④③231练习假设树支为

1、2、3、7，求Bf4568123712345678按先连支后树支用基本回路矩阵Bf表示矩阵形式的KVL方程；设ulut

Bf

u=100-1-100101010010-11矩阵形式的KVL：Bf

u=03、基本回路矩阵Bf的作用各支路电压的排列顺序与矩阵Bf中各列所对应的支路的顺序相同1342561２３６５４①②④③231Bfu=0ul+Btut=0ul=-Btut设支路电流列向量为：连支电压可以用树支电压表示。用基本回路矩阵BfT

表示矩阵形式的KCL方程注意1２３６５４①②④③231设回路电流为：矩阵形式的KCL：BfTil=i

注意树支电流可以用连支电流表示。1２３６５４①②④③231第1章电路方程的矩阵形式

图论的基本概念割集关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系支路方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式§

1-3关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵

图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。一、图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵三种矩阵形式：二、关联矩阵A(描述结点和支路的关联性质)n个结点b条支路的图用n

b的矩阵描述：Aa=n

b支路b结点

n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为：注意ajkajk=1支路k与结点j

关联，方向背离结点；ajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点；ajk=0支路k与结点j无关。1、关联矩阵A1２３６５４①②④③特点每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。Aa=①②③④123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩阵中任一行可以从其他（n-1）行中导出，即只有（n-1）行是独立的。Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1被划去的行对应的结点可以当作参考结点。A=(n-1)

b支路b结点n-1把Aa中的任一行划去，剩下的矩阵为（n-1）×b维，用A表示，称为降阶关联矩阵，简称关联矩阵。一个有向图中参考结点的选择是任意的，参考结点选择不同，关联矩阵A也不同。用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；矩阵形式的KCL:Ai=0关联矩阵A的作用用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。矩阵形式的KVL:u=ATun三、基本回路矩阵Bf(描述基本回路和支路的关联性质)B=lb支路b独立回路

l注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bjk1支路k

在回路

j中，且方向一致；-1支路

k

在回路j中，且方向相反；0支路j

不在回路j

中。1、回路矩阵B1２３６５４①②④③123取网孔为独立回路，顺时针方向123B=123456支回011001000-11-11-100-10

选取的独立回路对应于一个树的单连支回路，则得到的回路矩阵称为基本回路矩阵Bf。2、基本回路矩阵Bf

连支电流方向为回路电流方向；支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。规定例：选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。100-1-100101010010-11123Bf=134256支回BtBl=[1Bt]1２３６５４①②④③231练习假设树支为

1、2、3、7，求Bf4568123712345678按先连支后树支ul=-Btut连支电压可以用树支电压表示矩阵形式的KCL：BfTil=i树支电流可以用连支电流表示矩阵形式的KVL：Bf

u=0基本回路矩阵Bf的作用四、基本割集矩阵Qf(表示基本割集与支路的关联性质)Q=(n-1)b支路b割集注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路。矩阵Q的每一个元素定义为：qij1支路j

在割集i中，且与割集方向一致；-1支路j

在割集i中，且与割集方向相反；0支路j

不在割集i中。1、割集矩阵Q割集方向为树支方向；支路排列顺序先树支后连支；割集顺序与树支次序一致。2、基本割集矩阵Qf选1、2、3支路为树如果选一组单树支割集为独立割集，得到的割集矩阵称为基本割集矩阵Qf1２３６５４①②④③Q3Q2Q1QlQtQf

=123456支路割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-1练习：已知树支为：

1、2、3、7，求Qf1234567812374568Q4Q2Q3Q1按先树支后连支矩阵形式的KCL：Qfi=0

Qfi=100110

0100-1-1

00110-1用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。设3、基本割集矩阵Qf的作用1２３６５４①②④③Q3Q2Q1Qfi=0it+Qlil=0it=-Qlil树支电流可以用连支电流表示。注意设树支电压（或基本割集电压）：ut=[ut1ut2ut3]T用QfT表示矩阵形式的KVL方程设1２３６５４①②④③Q3Q2Q1矩阵形式的KVL：QfTut=u连支电压可以用树支电压表示。注意1２３６５４①②④③Q3Q2Q1QfTut=u小结QfABfKCLKVLA

i=0BfTil=iul=-BtutBfu=0Qfi=0QfTut=u例：某电路共有6条支路（编号为1~6），其中连支电流树支电阻基本割集矩阵求连支电压。解：由连支电流求得树支电流为由欧姆定律求得树支电压最后求出连支电压对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：§

1-4矩阵A、Bf

、Qf之间的关系一、A与Bf

之间的关系对同一有向图，任选一树，按先树支后连支顺序有：二、Bf与Qf之间的关系对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：

对同一有向图，任选一树，按先树支后连支顺序写出矩阵：三、A与Qf

之间的关系例已知：Bf=10100-11010-10001求基本割集矩阵。解第1章电路方程的矩阵形式

图论的基本概念割集关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系

支路方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式小结QfABfKCLKVLA

i=0BfTil=iul=-BtutBfu=0Qfi=0QfTut=u§

1-5支路方程的矩阵形式一、复合支路典型复合支路下标k—第k条支路;

—第k条支路电流、支路电压;

—第k条支路上独立电压源，独立电流源;

+-—第k条支路的阻抗（或导纳）支路电压与支路电流的方向关联；支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。图示复合支路是在采用相量法条件下画出的，也可以采用运算法。支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；+-设支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量二、用支路阻抗表示的支路方程的矩阵形式

分三种情况来推导支路方程：1、无受控源、无互感;2、无受控源、有互感；3、含受控电压源、无互感Z支路阻抗矩阵

1、电路中无受控源、电感间无耦合如有b条支路，则有：第k条支路:整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵支路阻抗矩阵例写出图示电路的支路阻抗矩阵。2、电路中无受控源，电感之间有耦合M*+-+-*+-+-假设第1条、第2条支路的电感有耦合整个电路的支路电压、电流关系矩阵Z不是对角阵如果第1条支路至至第g支路间均有互感互感电压取“+”号或“-”取决于各电感的同名端和电流、电压的参考方向。其余支路无耦合，Z—为b×b阶非对角方阵，主对角线上为各支路的阻抗，非对角线上的元素为相应支路间的互感阻抗，且Mjk

=Mkj，称支路阻抗矩阵。例3、电路中第k支路含受控电压源()、无电感耦合第k条支路：设即则有式中Z—为b×b阶非对角方阵，称支路阻抗矩阵。对整个电路有例：写出图示电路的阻抗矩阵。+R1R51/j

Cj

L2R6-j

L3M设支路电流列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电流源的电流列向量

分三种情况来推导支路方程：1、无受控源、无互感;2、无受控源、有互感；3、含受控电流源、无互感三、用支路导纳表示的支路方程的矩阵形式Y支路导纳矩阵1、电路中无受控源，电感间无耦合

第k条支路:如有b条支路，则有：式中Y—为b×b阶对角方阵，称支路导纳矩阵整个电路的支路电压、电流关系矩阵：bb阶对角阵例写出图示电路的支路导纳矩阵。Z—为b×b阶非对角方阵，主对角线上为各支路的阻抗，非对角线上的元素为相应支路间的互感阻抗，且Mjk

=Mkj，称支路阻抗矩阵。2、电路中无受控源、电感间有耦合

式中Y—为b×b阶非对角阵(Y=Z-1)，称支路导纳矩阵。如果把具有耦合的电感支路连续编号，则在矩阵Z中与这些支路有关的元素将集中在某一子矩阵中，于是可以通过这一子矩阵的求逆运算来求得导纳矩阵Y，从而减轻了计算量。与情况1的形式相同

当耦合电感成对出现时,若把每一对这样的支路编为相邻支路如第k、k+1支路。则在矩阵Z中将有子矩阵(设两电流流进同名端)如下：式中

因此矩阵Y=Z-1中将有对应的子矩阵例其中Y=Z-13、电路中第k支路含受控电流源(

)、无电感耦合第k条支路：设即则有式中Y—为b×b阶非对角方阵,称支路导纳矩阵。对整个电路

作业：1、电路如图所示（1）写出关联矩阵A。（2）以3,4,5为树支，按先树支后连支顺序，写出基本回路矩阵Bf

，基本割集矩阵Qf。（3）写出支路导纳矩阵表示的支路方程的矩阵形式。4①12356②③④uSC3L2L1+-R4R5R6**M①②③第1章电路方程的矩阵形式

图论的基本概念割集

关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系支路方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式

回路电流方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式§

1-5支路方程的矩阵形式一、复合支路下标k—第k条支路;

—第k条支路电流、支路电压;

—第k条支路上独立电压源，独立电流源;

+-—第k条支路的阻抗（或导纳）支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反；支路电压与支路电流的方向关联

1、电路中无受控源、电感间无耦合bb阶对角阵支路阻抗矩阵二、用支路阻抗表示的支路方程的矩阵形式2、电路中无受控源，电感之间有耦合Z—为b×b阶非对角方阵，主对角线上为各支路的阻抗，非对角线上的元素为相应支路间的互感阻抗，且Mjk

=Mkj，称支路阻抗矩阵。3、电路中第k支路含受控电压源()、无电感耦合式中Z—为b×b阶非对角方阵。1、电路中无受控源，电感间无耦合式中Y—为b×b阶对角方阵，称支路导纳矩阵三、用支路导纳表示的支路方程的矩阵形式bb阶对角阵

式中Y—为b×b阶非对角阵(Y=Z-1),称支路导纳矩阵如果把具有耦合的电感支路连续编号，则在矩阵Z中与这些支路有关的元素将集中在某一子矩阵中，于是可以通过这一子矩阵的求逆运算来求得导纳矩阵Y，从而减轻了计算量。与情况1的形式相同2、电路中无受控源、电感间有耦合

当耦合电感成对出现时,若把每一对这样的支路编为相邻支路如第k、k+1支路。则在矩阵Z中将有子矩阵(设两电流流进同名端)如下：式中

因此矩阵Y=Z-1中将有对应的子矩阵3、电路中第k支路含受控电流源(

)、无电感耦合式中Y—为b×b阶非对角方阵。其中例例设写出Y矩阵表示的支路方程的矩阵形式..Id2=g21U1,..Id4=β46I6L5R2C3L6R1iS1②③①iS4C4id4-+.US4+-u1+-uS2id2i60+-u6561423③②①0第1章电路方程的矩阵形式

图论的基本概念割集

关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵矩阵A、Bf

、Qf

之间的关系支路方程的矩阵形式

结点电压方程的矩阵形式

回路电流方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式支路方程：（3）代入（1）（2）代入上式（1）（3）（2）§1-6结点电压方程的矩阵形式独立电源引起的流入结点的电流列向量结点导纳矩阵，主对角线元素为自导纳，其余元素为互导纳。结点电压方程的矩阵形式令建立结点电压方程的步骤

画出电路的有向图；写出关联矩阵A；写出支路电压源列向量Us和支路电流源列向量Is，以及支路导纳矩阵Y；根据式写出结点方程矩阵形式；解方程求得各结点电压，进而根据式求出各支路电压。解：第一步：画出有向图5V1

3A1A+-0.5

5

0.5

2

1

1①23456②③④例

写出图示电路的结点电压方程的矩阵形式。第二步：写出矩阵A123A=1234561100010-111