人教高中数学A版必修一 （三角函数的应用）三角函数教学课件(第1课时)

三角函数的应用第1课时

整体感知问题1你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．新知探究1．问题研究1——简谐运动问题2

观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象？弹簧振子的运动（如图）．新知探究1．问题研究1——简谐运动答案：振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s与时间t之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F与时间t之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象．1．问题研究1——简谐运动

例1

某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．新知探究2．建模解模新知探究问题3例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？

答案：

搜集数据，画散点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型．

活动：

教师或者学生画出散点图．2．建模解模新知探究问题4观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y随时间t的变化规律？

答案：

根据散点图，分析得出可以用y=Asin(ωt+φ)这个函数模型进行刻画．问题5由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？

答案：

依据数据表和散点图，可得A=20，T=60s，求得ω=

，然后将点（0，－20）的坐标代入解析式y=20sin(

t+φ)，解得φ=－

+2kπ，k∈Z，所以函数的解析式为y=20sin(

t－

)，t∈[0，+∞)．2．建模解模新知探究

教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；2．建模解模新知探究ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.简谐运动的周期是

，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；

简谐运动的频率是

，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；2．建模解模新知探究

问题6例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？

答案：振幅A＝20mm，周期T＝

s，频率f＝

次，相位为

t－

，

初相为－

．3．问题研究2——交变电流新知探究例2如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图3（2）．（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；（2）当

时，求电流i．图3（1）图3（2）新知探究问题7观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？其中每个参数的物理意义是什么？问题8

根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？4．建模解模

答案：由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用i=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)来刻画．其中A为振幅，

为周期，ωt+φ为相位，φ为初相．

答案：

由图可知，A=5，T=

s，初始状态的电流为4.33A．新知探究解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；4．建模解模

所以电流i随时间t变化的函数解析式是

电流变化的周期T=

s，即

=

s，解得ω=100π；再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为

．

．

当

时，

；

当

时，

；

当

时，

；

当

时，

；

当

时，

．新知探究4．建模解模练习1如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）；（2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到0.1cm）?新知探究4．建模解模答：当l=25时，沙漏的最大偏角为0.1203rad．解：（1）∵

，∴可得s的最大值为3．设偏角为θ，可得最大偏角满足sinθ=

．利用计算器计算可得θ=0.1203rad．（2）沙漏摆动的周期为

，解得

，故

．答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8cm．新知探究4．应用性质练习2一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V）关于时间t（单位：s）的函数解析式．解：设电压U关于时间t的函数是U=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)，根据图象可得振幅A=311，周期T=0.02s，根据T=

，解得ω=100π．根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z．所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．归纳小结问题9对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．三角函数的应用第2课时

整体感知问题1匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，其中分别是通过什么方法构建得到其中的函数模型？答案：匀速圆周运动是依据三角函数定义，直接推理得出变量之间的关系，得到函数模型；简谐运动和交变电流是通过收集数据——画散点图——选择函数模型——求解函数模型的方法建立函数模型．在现实生活中还有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．1．问题研究1——气温变化新知探究例1

如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．问题2如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大温差？答案：曲线在自变量为6～14时，图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差,观察图形得出这段时间的最大温差为20°C.新知探究2．求解模型问题3如何根据图象求温度随时间的变化满足的函数关系y=Asin(ωx+φ)+b中A，ω，φ，b的值？为什么？答案：若A>0时，可得ymax=A+b，ymin=－A+b，A=

(ymax－ymin)，b=

(ymax+ymin)；若A<0时，可得ymax=－A+b，ymin=A+b，A=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin).总之，|A|=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin)；ω可以利用周期公式

求得结果；φ可以利用代入特殊点的坐标求得．新知探究2．求解模型追问例1中A与ω的正负未知，那么所求的函数解析式是不是不唯一？（经过分类讨论，完成例1解答后回答这个问题）解：由图可以看出，从6～14时的图象是函数的半个周期的图象，所以|A|=

(30－10)=10，b=

(30+10)=20．因为

，所以|ω|=

．当A>0，ω>0时，将A=10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ+

，k∈Z．新知探究2．求解模型则所求解析式为y=10sin(

x+

)+20，x∈[6，14]．当A<0，ω>0时，所以A=

(10－30)=－10，b=

(30+10)=20．因为

，所以ω=

．将A=－10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ－

，k∈Z．则所求解析式为y=－10sin(

x－

)+20，x∈[6，14]．新知探究2．求解模型而y=－10sin(

x－

)+20=－10sin(

x+

－π)+20=10sin(

x+

)+20．同理，其他两种情况的解析式也相同．答案：无论A与ω取正还是取负，求得函数的解析式都是相同的，所以只需选择其一进行求解即可．新知探究3．问题研究2——港口水深例2海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报．（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001m）.新知探究3．问题研究2——港口水深（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？新知探究4．建模解模问题4我们知道数学建模的过程是：画散点图——选择函数模型——求解函数模型，你能依据这个过程求出水深与时间符合的函数解析式吗？请写出解答过程并进而完成例2（1）的解答.解：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（如图）．根据图象，可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；由T=

=A=12.4，得ω=

．新知探究4．建模解模由上述关系式易得在整点时水深的近似值（表）：所以，这个港口的水深y与时间x的关系可以用函数

近似描述．新知探究5．模型应用问题5例2（2）中，货船需要的安全深度是多少？转化为数学问题，就是在函数的解析式中，哪个变量需要满足什么条件，该船就可以进入港口？从图象上看呢？答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m．从函数的解析式来看，满足y≥5.5，该船可以进入港口；从图象上看，就是函数

的图象在直线y=5.5上方时，该船可以进入港口．新知探究5．模型应用解：（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m，所以当y≥5.5就可以进港．令

，

．由计算器可得sin0.2014≈0.2．画出两个函数的图象如图．新知探究5．模型应用解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．由函数的周期性易得：在区间[0，12]内，函数

的图象与直线y=5.5有两个交点A，B，因此

，或

．xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025．因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右进港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．新知探究5．模型应用问题6可以将上述求得的点A，B，C，D的横坐标作为进出港时间吗？为什么？答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．例如，由模型解出的凌晨进港时间约等于0.3975时，如果考虑到安全因素，在稍后的0.5时，即0时30分进港是合适的.新知探究5．模型应用问题7

例2（3）中，如果设在xh时货船的安全水深为ym，那么y与时间x满足怎样的函数关系？从解析式来看，两个函数满足什么条件时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？答案：设在xh时货船的安全水深为ym，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．从函数的解析式来看，两个函数需满足

时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数

的图象在直线

上方时，该船能够进入港口．新知探究5．模型应用解：（3）设在xh时货船的安全水深为ym，那么y