最大似然估计与最大验后估计

最大似然估计(Maximumlikelihoodestimation)最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描述一下最大似然估计：首先，假设工…：二为独立同分布的采样，。为模型参数,f为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设。参数为0的模型f产生上述采样可表示为尹(工1叫...占|9)*("9)"0|9)..”(戛|9)回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为「上…'：.，未知为0,故似然定义为：L(81如…％)=/Vi〉.*戛|ff)= |ff)i=l在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下：H 八 1lnL(01 …〉戛)=旗Inf(xt|0} £=—InZr=i 建其中数平平均似然工1，・*互)称为对数似然，而'称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为二argmax£(8|xi，.*戛)举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(DataIM)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2...那么Data=(x1,x2,...,x100)。这样，P(DataIM)

=P(x1,x2,...,x100|M)=P(x1|M)P(x2|M)...P(x100|M)=pA70(1-p)A30.那么p在取什么值的时候，P(DataIM)的值最大呢？将pA70(1-p)A30对p求导，并其等于零。70pA69(1-p)A30-pA70*30(1-p)A29=0。解方程可以得到p=0.7。在边界点p=0,1，P(DataIM)=0。所以当p=0.7时，P(DataIM)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。假如我们有一组连续变量的采样值(x1,x2,...,xn)，我们知道这组数据服从正态分布，标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？P(DataIM)=？根据公式nJ=1可得 = exp[—五JE(吐-A)2/J=1，则最大似然估计riyfi

—=exp-—f

ji2bJ=1，则最大似然估计对四求导可得的结果为p=(x1+x2+...+xn)/n由上可知最大似然估计的一般求解过程:写出似然函数；对似然函数取对数，并整理；求导数；解似然方程注意：最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与贝叶斯估计区别。贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述最大后验估计（MAP）最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似，但是最大的不同时，最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。首先，我们回顾上篇文章中的最大似然估计，假设x为独立同分布的采样，。为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为：■-^wLEW^argmax/fxle现在，假设0的先验分布为g。通过贝叶斯理论，对于0的后验分布如下式所示：最后验分布的目标为：④s0）=argmax，⑴如（，）=戏gmax |g（9）注：最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。举例来说：假设有五个袋子，各袋中都有无限量的饼干（樱桃口味或柠檬口味），已知五个袋子中两种口味的比例分别是樱桃100%樱桃75%+柠檬25%樱桃50%+柠檬50%樱桃25%+柠檬75%柠檬100%如果只有如上所述条件，那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼十，那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个？我们首先采用最大似然估计来解这个问题，写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼十的概率为p（我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的），则似然函数可以写作P（两个柠檬饼干|袋子）=/由于p的取值是一个离散值，即上面描述中的0,25%，50%，75%，1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可，得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。上述最大似然估计有一个问题，就是没有考虑到模型本身的概率分布，下面我们扩展这个饼十的问题。假设拿到袋子1或5的机率都是0.1，拿到2或4的机率都是0.2，拿到3的机率是0.4,那同样上述问题的答案呢？这个时候就变MAP了。我们根据公式

仓3（王）=包rgmax川⑹晔）=max|为g伊）打幻伊域伊）d# 日仓3（王）=包rgmaxt?写出我们的MAP函数。根据题意的描述可知，p的取值分别为0,25%,50%,75%,1,g的取值分别为0.1,0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为：0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知，通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。上述都是离散的变量，那么连续的变量呢？假设二为独立同分布的「「EL'，有一个先验的概率分布为上'、/、。那么我们想根据工*\…二来找到四的最大后验概率。根据前面的描述，写出MAP函数为：g（K）/O|K）=如）£（以）=此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值