朱雪龙《应用信息论基础》习题答案 第六章_第1页
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B6-PAGE6应用信息论基础B6-PAGE1习题答案第6章习题答案设已知离散无记忆信源在给定失真量度下的信息速率失真函数为,现定义新的失真量度。试证：在新的失真量度下信息速率失真函数。证明：对离散无记忆信源<证毕>6.2设有带宽为4kHz的限带白色高斯信源，欲通过信道容量为16kb/s的信道传输，试求在理想情况下信道输出端可能得到的最大信噪比。答：理想情况下，当可以实现无误传输，即将数值代入，可得所以可能达到的最大信噪比为16。6.3 设是N个正交规范化的N维向量。A是由组成的正交矩阵。N维随机向量X在正交变换下得到新的随机向量Z，，其中，，。令，试证：所有正交变换中，变换所对应的Z有最小的熵。证明：1)设随机向量X的相关矩阵为，对应的K-L变换为矩阵，相应的特征值为，由题目条件可知，由，知，，从而，；2)可展开为，，所以由于是正交规范化向量，所以令矩阵，于是有，且，即； (a)所以；3)记由熵函数的凸性，及，将(a)式代入上式，可得，不等式右边即为K-L变换所对应得熵，所以结论成立。6.4 设无记忆信源，接收符号，失真矩阵，试求：和及达到，时的转移概率矩阵。答：，当转移概率矩阵为，满足；，当转移概率矩阵为，，满足，。6.5 已知二元信源X：以及失真矩阵，试求：1) ；2) ；3) 。答：；；，其中，。6.6 设有总功率为10mW的限带(0~5kHz)白色高斯信源通过加性白色高斯噪声信道传输，后者的带宽为0~10kHz，噪声的单边功率谱密度为1W/Hz，容许最大输入功率为20mW。试求在理想情况下接收信号可以达到的最小均方误差。答：，，理想状况下，，所以接收信号可以达到的最小均方误差为mW。6.7 设有平稳高斯信源，其功率谱为失真度量取，容许的样值失真为D，试求：1) 信息速率失真函数；用一独立加性高斯信道(带宽，限功率P，噪声的双边功率谱密度)来传送上述信源时，最小可能方差与的关系。答：，即最小可能方差为。6.8 设有矢量信源，其各分量，，是K个独立的随机变量，失真，试证：在此条件下其中，，满足。证明：所以有等号当且仅当在转移概率满足独立性条件时，即所以要使互信息最小，必定要设计编码器的转移概率独立，由于输入统计独立，所以只要设计各组成分量的互信息最小，而各组成分量的互信息的最小值为，所以求即在约束条件下求，由拉格朗日求极值方法可知当，且满足时取得最小值。6.9 设有离散无记忆信源X经编码后输出Y，失真矩阵的所有列是集合的某一置换。定义函数1) 证明是D的上凸函数；证明：。证明设概率分布满足，令满足的熵函数为，设满足，令满足的熵函数为，定义，且有，则有 (a)又由熵函数的凸性可知，又由的定义可知，所以有(b)由(a)，(b)可知函数是D的上凸函数。<证毕>2)令，

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