分形-大自然的几何学

---------四川文理学院计算机科学系王安志Fractal---大自然的几何学在过去，一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。

---著名理论物理学家约翰·惠勒(J.Wheeler)分形几何产生的背景在经典的欧氏几何中，我们可以用直线、圆锥、球等这一类规则的形状去描述如墙、车轮、道路、建筑物等人造物体。分形几何产生的背景但在自然界中，却存在很多“不规则”的、“不可名状的”、“病态的”复杂的几何对象，如山脉、云烟、波浪、树木、闪电，以及星团、短痕、浸润、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……这些对象如何描述和研究？如何用计算机来生成？用经典几何图形来描述？Never！人们发现，传统的数学模型苍白无力！因为它们不再具有我们所早已熟知的连续、光滑可微这一基本性质了。分形几何的历史萌芽期：十九世纪末，二十世纪初.Cantor集，Weierstrass函数等的提出.形成期：二十世纪六、七十年代.Mandelbrot的大量工作.1.1967年，Science,英国的海岸线有多长？2.1975年，《分形对象：形，机遇和维数》.分形(fractal)这个词源于这本书.它从拉丁语“fractus”意思是“不规则的或者断裂的”派生来的.分形几何的历史发展期：二十世纪八十年代至今.1.Hutchinson,1981,分形与自相似.给出了自相似集合的数学理论基础.2.Mandelbrot,1982,《自然界的分形几何》.3.Barnsley,1988,《Fractaleverywhere》.4.Falconer,1990,《分形几何——数学基础及其应用》.德国数学家维尔斯特拉斯这位分析学大师在1872年发现了处处连续但处处不可微分的函数：这一结果的发表曾经使数学界为之震惊。现在维尔斯特拉斯函数已有许多变形。例如：英国的海岸线有多长？？？测量方法：我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过η

，设这样测得的海岸线长度为L(η).然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。用一只小老鼠代替人测量。用苍蝇代替小老鼠测量。测量结论：随着步长η越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。英国的海岸线有多长？？？动力系统（迭代）的问题Julia集Julia集Mandelbrot集

牛顿行星非线性系统中的分形吸引域分形的定义和特征

F具有精细的结构。分形图不管被放大多少倍，都能看到细节具有与整体相似的结构，这一特征非常接近于自然界中大多数的对象。F是不规则的，其整体与局部都不能用传统几何学来描述；F通常具有自相似形式(统计意义上的自相似)；自仿射性,即局部到整体在不同方向上存在不等比例变换；分数维。描述自相似性的一个重要参数，为认识世界中的复杂形态提供了一个新的尺度，在复杂性科学的研究过程中，分维是测量这些形态复杂度的一种度量，是人们对复杂性做定量分析的工具。在大多数情形下，F可通过简单的迭代过程产生。分形几何的研究对象

—自相似集Cantor集Sierpinski垫片Koch曲线海岸线分形图像压缩分形山分形植物模拟。。。。。。Cantor集C1883年，康托尔(G.F.P.Cantor,1845-1918)构造了三分集，也叫康托尔非连续统(Cantordiscontinuum)。1890年，皮亚诺(G.Peano,1858-1932)提出充满空间的曲线——皮亚诺曲线。1891年，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)在《数学年刊》(MathematischeAnnalin)上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。1904年，瑞典数学家柯赫(H.vonKoch,1870-1924)构造出柯赫雪花曲线。1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、海绵、墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(planeuniversalcurve),谢氏海绵是空间万有曲线。1918-1920年左右，法国数学家朱丽亚(G.Julia,1893-1978)、法图(P.J.L.Fatou,1878-1929)研究复迭代。朱丽亚于1918年(当时他25岁)在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了长达199页的杰作，一举成名。1924年11月20日Mandelbrot生于波兰。Koch曲线雪花曲线—三段Koch曲线连在一起构成

随机Koch曲线—对海岸线的模拟Sierpinsk垫片的生成过程L系统L系统是一个基于字符串的并行重写系统，其核心概念就是重写。“重写”的基本思想：通过对植物形态结构进行经验总结、概括和抽象，可预先定义出一系列的生长规则和初始状态,根据生成规则最终得到模拟对象。表1字符串替换过程Tab.1stringreplacementprocess迭代次数生成规则生成结果开始公理Q第一次Q→PP第二次P→PQPQ第三次P→PQ;Q→PPQP第四次P→PQ;Q→PPQPPQ第五次P→PQ;Q→PPQPPQPQP第六次P→PQ;Q→PPQPPQPQPPQPPQ第七次P→PQ;Q→PPQPPQPQPPQPPQPQPPQPQP

三维Sierpinski金字塔三维Sierpinski海绵3-DSierpinski3-DSierpinski(a)(b)单规则L系统模拟的植物plantsimulationbasedonSinglerulesL-system同一个随机L系统4次产生的不同植物形态4differentplantmorphologygeneratedbyastochasticL-system用微分L系统模拟的植物连续生长过程ContinuoussimulationofplantgrowthprocessusingdL-system通常在所模拟对象的植物学意义较为明确的情况下，上下文相关L系统用来表达植物体内部各部分之间的相互影响。以Hogeweg和Hesper应用2L系统构造的植物图形为例：DLA算法迭代函数系统(IFS)一个迭代函数系统由一组满足一定条件的映射函数ωｉ及一组变换发生的概率Pi组成。可表示为IFS={(ωi,Pi),i=1,2,3…n}.对应于每一个ωn有一个伴随概率0<Pn<1，且ΣPn=1。压缩映射集ωn和对应的伴随概率Pn确定了IFS码。由分形空间的压缩映射定理可知，如果获取了某个给定图形的IFS码，则用较少的代码就可以生成极为复杂的分形图。随机IFS生成图形的流程图

IFS分形树的拼贴示意图IFS分形树分形树的IFS码IFS-codeoffractaltreeiaibicidieifipi10.195-0.490.350.440.440.250.220.4610.41