数列极限的几何意义

数列极限的几何意义数列极限是数学中一个非常重要的概念，它在几何学中也有着重要的应用。数列极限的几何意义是指，当一个数列中的数值趋近于某个值时，这个值就是数列的极限。在几何学中，数列极限可以用来描述一些重要的几何概念，例如曲线的切线、曲面的切平面等。我们来看一下曲线的切线。曲线的切线是指在曲线上某一点处的切线，它是曲线在该点处的局部近似。当我们用数列极限来描述曲线的切线时，我们可以将曲线上的点看作是数列中的数值，而曲线的切线则是数列的极限。例如，在曲线y=x2上，当X趋近于1时，y的值也会趋近于1。因此，曲线在点(1,1)处的切线就是数列{y}的极限，其中y_n=xn^2,Xn趋近于1。另一个重要的几何概念是曲面的切平面。曲面的切平面是指在曲面上某一点处的切平面，它是曲面在该点处的局部近似。当我们用数列极限来描述曲面的切平面时，我们可以将曲面上的点看作是数列中的数值，而曲面的切平面则是数列的极限。例如，在曲面Z=x2+y^2上，当X和y趋近于0时，z的值也会趋近于0。因此，曲面在点(0,0,0)处的切平面就是数列{z}的极限，其中z_n=n2+y_n2,xn和y_n趋近于0。数列极限在几何学中有着重要的应用，它可以用来描述曲线的切线、曲面的切平面等重要的几何概念。通过数列极限的几何意义，我们可以更加深入地理解这些几何概念，并且可以更加准确地描述它们。

数列极限数学的起源来自于人们的生产实践。早期原始社会的人们过着群居生活，生产力水平的低下导致他们不得不花费心思去思考如何分配仅有的粮食，维持整个部落的发展。因此最开始的“数学”是真正的数学——有关于正整数的研究。前些年有幸听到北京大学丘维声教授的讲课录音，其中讲到辛空间的时候他说：“实际上数论才是血统最纯正的数学……”所以在微积分起源发展的过程中，诸如Leibniz等数学大师特别注重对离散极限及其和式（这就是后面的无穷级数）的研究，并提出了一系列理论（神奇的是这些理论在复变函数论还能被人们有效使用，并且发展成更高级的留数理论）。01极限的“ε-δ”语言这个定义相信大家都比较熟悉，但是很多人看了之后，心里总会产生这样的想法：这些都是神马玩意，又是ε又是δ的！（这个定义反映出数学分析的抽象性，对于初学者确实不怎么友好；但是很遗憾，后面的许多定理，诸如定积分的定义，重积分的计算公式，第二类曲面曲线积分的计算方法邓***都要用到这个定义去证明。所以我们很有必要反复温习这个定义）在ε-δ语言中，如果我们关注这个不等式：的几何意义，我们就不难发现，这个不等式反映了当正整数n充分增长时，数列{xn}到原点的距离；如果这个不等式确实可以找到确定的实数a成立，那么我们就说数列{xn}收敛于a；这里需要特别注意，数列不收敛（也叫发散）的情况有几种？①当n→∞时，xn→∞，换言之，数列{xn}可以无限增长；②数列{xn}有界，但是当n→∞时，数列{xn}的增长方向不确定，例如数列{cosnπ}，当n=1，3，5…时cosnπ=-1；当n=2，4，6，…时，cosnπ=1，换言之两个子列极限不唯一，原数列并不收敛。这两种情况反映出数列收敛的两个性质：①增长速度必须有度，数列必须有界；②数列的增长方向必须有唯一性。实际上，这两条对于函数极限仍然有效。【例1】求下列极限：【分析】这个题目当时被命题人放在第二个填空的位置（期末考试没有选择题），很多人看到这个题目，第一眼想到的就是通分然后考虑使用L'Hospital。首先说，这个想法并没有错，毕竟洛必达法则是求未定式极限的重要手段。但是这是第二个填空题，对函数y=xcotx-1求导的计算量实在是过分的大，对于一个填空题（而且位置如此靠前）而言这实在是得不偿失。其次，我们考虑极限定义的几何意义与等价无穷小x∽tanx，既然极限定义的几何意义是到原点的距离，那么在x→0时，tanx与x到原点的距离是等价小的，取倒数之后我们仍然可以断定在原点的某个去心邻域内，1/tanx（亦即cotx）与1/x到原点的距离仍然是等价无穷大量，因此这个题目答案就是0（这只是一个思考方式，在正式场合不能够乱用）。（PS：当时我在考场上做这道题目，瞥见旁边的好几位仁兄仍然坚持不懈用洛必达法则还没出结果，而我已经做完第一面试卷，我那时感受到“人类的悲欢并不相同”这句话在高等数学的真切应用不过很快打脸的事情就来了，那时候我的监考教师就是我的数学教授，他看我在那里捂着嘴偷笑，就走到我身边拾起我的卷子看了一眼，然后一边剔牙一边摇头，背着手就走了，我当时心里凉了半截。后来才知道我整张卷子就错了一个最简单的问题：单调区间被我写反了，这么低级的错误发生在我身上，他觉得不可思议，那个寒假我和他私聊，他批评了我这一点，说凡事都要认真，最简单的计算出错，很可惜的）后面我们会学到Riamman更序定理，这个定理告诉我们，如果一个数列{an}的前n项和Sn在n→∞时也收敛，那么和式Sn中每一项可以随意更换次序的必要条件是数列{〡an〡}的前n项和在n→∞时也收敛。用黎曼的话说，绝对收敛的级数可以随意调换和式每一部分的位置而不改变原有极限值的大小。在这里我们放上图片以供参考：注意：这个不是极限发散的例子，因为这两个极限不是同一极限，因此还是需要加以区分的。02递推公式与等比数列考虑一个问题：斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。这个问题相信大家都很熟悉。那么好，请大家考虑这么一个问题，如何求出它的通项公式？有的人说数学分析最常用的两句话是“这玩意也要证？！”与“这玩意也能证？！”其实是可以的，参见《高等代数》（北京大学出版社第五版向量空间这一单元，有详细过程）。但是对于目前而言，很多极限我们只能判定它的存在，并不能直接求出极限值。判定存在的方法最常用的有比较审敛法（俗称放缩法），判定的准则是与等比数列作比较。【例2】已知函数：且{an}满足an+1=f（an），a1=1，求{an}的极限。【分析】做过高中联赛的都知道这种递推公式有一个叫做特征根的办法求通项公式（上面斐波那契数列的通项公式就是特征根公式求出来的），但是很明显要花很大力气，高等数学的办法是讨论它的两个子数列，我们换一种方式。这里我们可以采用与等比数列比较的办法做下去。【答案】考虑证明不等式：并且注意到不等式的左端有一个隐含条件：绝对值大于等于0；什么？你问我这个不等式怎么想出来的？我问你泛函分析与实变函数构造的函数都是怎么想出来的？！然后在已经证明的结论左右两侧取极限，并且注意到常数的极限是