上海高中数学知识整理1(从集合到三角函数)

知识梳理NO.1集合集合：某些指定的对象全体看成一个集合，简称集（大写字母表示）元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素（小写字母表示）集合元素的三特性：确定性，互异性，无序性集合表示方法：列举法，描述法，图示法（文氏图，数轴） 集合的分类：有限集，无限集，空集（以表示）————元素的个数数集，点集————元素属性常见集合类型：N（自然数）,（正整数）,Z（整数）,Q（有理数）,R（实数）,C（复数）集合与元素的关系：元素a属于集合A，记作aA元素a不属于集合A，记作aA集合与集合的关系：“”读作“包含于”，“”读作“包含”集合相等，子集，真子集空集：不含有任何元素的集合，记作，={}规定是任何集合的子集集合元素个数：集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.集合运算：交集：A∩B={x|∈A，且x∈B}TIPS：当两个集合无公共元素时，称其交集是空集并集：A∪B={x|x∈A，或x∈B}全集：记作U。补集：CUA={x|x∈U且x∈A}基本运算结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩AAA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈BNO.2命题原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐTIPS：互为逆否命题的命题为等价命题NO.3不等式基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）①且；②推论：ⅰ.；ⅱ.且；③；④推论：ⅰ.；ⅱ.且、同号；ⅱ.；ⅲ.；⑤，；⑥；绝对值不等式ⅰ.；ⅱ.；ⅲ.；ⅳ.或；ⅴ.；3．基本不等式：①，则，当且仅当时，等号成立。，则，当且仅当时，等号成立。综上，若，则，当且仅当时，等号成立。*②若，则，当且仅当时，等号成立。4．解不等式：①一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：ⅰ.分解因式找到零点（分式不等式要先移项通分）；ⅱ.画数轴标根画波浪线（从右上角开始,奇穿偶不穿）；ⅲ.根据不等号，确定解集；注意点：ⅰ.分解因式所得到的每一个因式必须为x的一次式；ⅱ.每个因式中的系数必须为正。②一元二次不等式解集大于号则两根之外，小于号则两根之间.即③幂、指、对不等式去掉幂、指、对符号解不等式：解对数不等式时，应注意--化成同底、利用单调性、注意同解变形④解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。⑤对于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分离变量思想”，“图象思想”，“转化为最值问题”。5．不等式的证明：①比较法：作差→因式分解或配方→与“”比较大小→②综合法：由因导果。③最值法：，则恒成立；，则恒成立。NO4.函数概念与性质值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？ⅰ．二次函数型或可化为二次函数型；ⅱ．单调性；ⅲ．基本不等式；ⅳ．换元法；ⅴ．数形结合；注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）f(x)偶函数f(x)图象关于轴对称f(x)奇函数f(x)图象关于原点对称奇函数有f（0）=0有关函数对称轴（不是性质）：果对于一切，都有或f（2a-x）=f（x），那么函数的图象关于直线对称.（若a=0,则函数为偶函数）②与的图象关于直线对称（y轴）；与的图象关于直线对称（x轴）；与的图象关于坐标原点对称.与的图像关于直线对称。满足，则函数的图象关于直线对称。奇偶函数间的关系：(1)、奇·偶=奇；（2）、奇·奇=偶；(3)、偶·偶=偶；(4)、奇±奇=奇（公共定义域内）(5)、偶±偶=偶；(6)、奇±偶=非奇非偶函数的周期性：定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。是周期恒成立（常数）周期函数几种常见的表述形式：(1)、f（x+T）=-f（x），此时周期为2T；（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为；(3)、，此时周期为2m。常见函数的图像：TIPS：熟记各种相关数据九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象和性质正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，幂、指、对函数，三角函数，反三角函数。函数的零点：对于函数，如果存在实数，当时，，那么就把叫做函数的零点。注：零点是数；零点定理若，则在内有零点（条件：在上图象连续不间断）注：①零点即为的实根②在上连续的单调函数，，则在上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---单调性f(x)增函数：x1＜x2f(x1)＜f(x2)或x1＞x2f(x1)＞f(x2)f(x)减函数：x1＜x2f(x1)＞f(x2)或x1＞x2f(x1)＜f(x2)单调性性质：(1)、增+增=增；（2）、减+减=减；(3)、增-减=增；(4)、减-增=减；TIPS：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：（抄的时候可简写：减减增，增增减，增减减）函数单调单调性内层函数↓↑↑↓外层函数↓↑↓↑复合函数↑↑↓↓反函数定义：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，用y把x表示出，得到x=g(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=(x).反函数y==(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.性质：a互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称b函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一对应，（单调函数必有反函数）c若,则,反之亦然d互为反函数的两个函数具有相同的单调性反函数求解三步骤：1、换：X、Y换位2、解：解出Y3、标：标出定义域函数图象变化①平移变换：ⅰ．函数的图象函数的图象；ⅱ．函数的图象函数的图象；②伸缩变换：ⅰ．函数的图象函数的图象；ⅱ．函数的图象函数的图象；③对称变换：ⅰ．函数的图象函数的图象；ⅱ．函数的图象函数的图象；ⅲ．函数的图象函数的图象；ⅳ．函数的图象函数图象；ⅴ．函数的图象函数图象；NO5.常见函数指数函数指数运算法则：ⅰ.；ⅱ.；ⅲ.；分数指数幂与根式的性质：(1)（，且）.（2）（，且）.（3）.（4）当为奇数时，；当为偶数时，指数函数：函数叫指数函数。(1)、在定义域内是单调递增函数；（2）、在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有；（2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a取任何正数，时，；（3）当时，当时，（4）当时，是增函数，当时，是减函数。TIPS：此处与的图象关于y轴对称以下为我觉得可以适当记忆的（别抄(⊙o⊙)哦）：（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。对数函数对数定义：如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作（a是底数，N是真数，是对数式。） 由于故中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。对数函数的常用简略表达方式（1）常用对数:（2）自然对数:对数性质：(1)、；（2）、；(3)、；(4)、；(5)、(6)、；(7)、对数的换底公式:(,且,,且,).对数恒等式：(,且,).推论(,且,).对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2);(3);(4)。指对互换：常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题举例子不用抄求解：设 评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求中的，化为对数式即成。对数函数： 定义：指数函数的反函数叫做对数函数。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0）；（2）时，。即；（3）当时，若，则，若，则；当时，若，则，若时，则；（4）时，是增函数；时，是减函数。TIPS：的图象与的图象关于x轴对称。指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型同底数型不同底数型需代换型取以a为底的对数取以a为底的对数取同底的对数化为换元令转化为的代数方程对数方程的题型与解法：名称题型解法基本题对数式转化为指数式同底数型转化为（必须验根）需代换型换元令转化为代数方程幂函数定义：形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.定义域RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减定点(0，0),(1，1)(1，1)NO6.三角比与三角函数（1）弧度制定义：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度：参考图不用抄（注意：换算关系式中“弧度”单位不能省略不写）（）扇形的弧长、面积公式：弧长面积初中：圆心角为，半径为：高中：圆心角为，半径为：角的概念：任意角：包含任意大小的正角（逆时针方向旋转所形成的角）逆时针：角变大负角（顺时针方向旋转所形成的角）顺时针：角变小

零角（射线没有旋转时所形成的角）终边相同的角：与终边相同的角连同在内构成集合为象限角：角的顶点与坐标系的原点重合，角的始边与轴的正半轴重合。此时，角的终边在第几象限，就称该角为第几象限的角。如果角的终边落在坐标轴上，那么就认为这种角不属于任何象限。终边在x轴上的角的集合:;终边在y轴上的角的集合：;终边在坐标轴上的角的集合：.任意角的三角函数定义：在角的终边上任取点，设（与原点不重合），记则；；各象限角的三角函数值符号:,（随y的符号）（随x的符号）三角函数定义域RR特殊角的三角函数值0sin010cos100tg01/0/同角三角函数关系式（1）倒数关系：（2）商数关系：（3）平方关系：以下是常见的一种题目的标准作法（可求2α,3α范围），几何求解的方法就不另举例了问题1：若α是第三象限角，试求eq\f(α,2)、eq\f(α,3)的范围.点拨：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定eq\f(α,2)、eq\f(α,3)的范围，再进一步判断eq\f(α,2)、eq\f(α,3)所在的象限.：∵α是第三象限角∴k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)(1)k·180°+90°＜eq\f(α,2)＜k·180°+135°(k∈Z)当k＝2n(n∈Z)时，n·360°+90°＜eq\f(α,2)＜n·360°+135°当k＝2n+1(n∈Z)时，n·360°+270°＜eq\f(α,2)＜n·360°+315°∴eq\f(α,2)为第二或第四象限角.(2)k·120°+60°＜eq\f(α,3)＜k·120°+90°(k∈Z)当k＝3n(n∈Z)时，n·360°+60°＜eq\f(α,3)＜n·360°+90°(n∈Z)当k＝3n+1(n∈Z)时，n·360°+180°＜eq\f(α,3)＜n·360°+210°（n∈Z)当k＝3n+2(n∈Z)时，n·360°+300°＜eq\f(α,3)＜n·360°+330°(n∈Z)∴eq\f(α,3)为第一或第三或第四象限角.三角比的一种几何表示单位圆：半径等于单位长度1的圆叫做单位圆.规定：与轴同向为正，反向为负；与轴同向为正，反向为负；与轴同向为正，反向为负；图3由正弦、余弦、正切三角比的定义有：------角的正弦线-------角的余弦线-------角的正切线当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线则不存在．解斜三角形正弦定理：在一个三角形中，有（为的外接圆的半径）．变形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．（2）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即推论：（注意：）（3）三角形面积公式：．诱导公式：奇变偶不变，符号看象限如，,,,,两角和差的三角恒等式和差公式倍角半角公式（又称升降幂公式）,TIPS：常值代换——特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°分拆项——;配凑角(常用角变换):、、等.万能公式辅助角公式引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。NO7.三角比与三角函数（2）正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像{三角函数图象的作法：五点作图法} （可不考虑）（A、＞0）定义域RRR值域RR周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）上为减函数（）上为增函数；上为减函数（）注意：=2\*GB3②很重要，其他可以不要抄=1\*GB3①与的周期是.=2\*GB3②的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.=3\*GB3③函数在上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].=4\*GB3④不是周期函数；为周期函数（）；是周期函数（如图）；为周期函数（）；同角三角函数的基本关系式：，=，正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）二倍角公式及降幂公式...三角函数的周期公式函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.三角函数的图像：正弦、余弦、正切、余切函数的解集：的取值范围解集的取值范围解集①的解集