两人绕正三角形的追溯问题

两人绕正三角形的追溯问题

1问题的数学模型目前，数学建模竞赛在世界各国举行，但中国也不例外。数学建模比赛涉及自然科学、工程、经济、管理等领域。数学模型可以为这些领域的许多问题提供强有力的数学回答，这是数学建模比赛的生命力。在中国许多大学的建模培训中，很常见的问题是，a和b在三角形的正三角形abc上行驶（如图1所示），从点b出发，从点c出发，以相同方向（反方向）前进。三角形每长度为100米，a秒为8米，b秒为6米。他问，每一个人第一次在相同的三角形旁边跑。第一次和第二次是什么时候？第三次是什么时候？。这个问题的数学模型是简单的,本文为该问题建立了两个数学模型:一个利用运动的周期性直接给出在一个周期内两人共边的次数及起止时刻;另一个则利用初等数论的方法给出了两人共边的充要条件,并利用matlab长于计算和强大的绘图功能,分别给出了求解两个模型的matlab程序,通过动画仿真演示两人绕正三角形的追逐模型,并给出二者同边的起止点和同边的次数.2模型1:个人双侧脑中是否可以行线易知,甲乙二人绕正三角形追逐运动是周期运动,因为甲乙的相对速度为8-6=2(m/s),正三角形周长为300m,所以不难得到该周期运动的最小正周期为T=300/2=150(s).所以,只要把第一个周期内的共边情况讨论清楚了,其他情况也就清楚了.下面讨论第一个周期的共边情况.模型一稍加分析即知,甲乙共边当且仅当下属情形之一发生:一、甲乙不相逢,甲进入该边时乙还没有走出该边,此时共边的起止时刻分别就是甲进入该边的时刻和乙走出该边的时刻;二、甲乙不相逢,乙进入该边时甲还没有走出该边,此时共边的起止时刻分别就是乙进入该边的时刻和甲走出该边的时刻;三、甲乙相逢,下述定理表明此时甲乙必相逢于顶点C,所以共边的起止时刻分别就是甲进入BC边的时刻和甲走出CA边的时刻.定理条件如问题所述,则甲乙在追逐过程中相逢且只能相逢于顶点C.证容易知道,甲乙追逐50s时即相逢于顶点C,下面证明甲乙只能相逢于顶点C.前面我们已经说明,在所给条件下甲乙追逐运动是周期运动,最小正周期为T=150s,所以我们只需讨论第一个周期内的情形就够了.在一个周期内,甲路程为s1=8×150=1200m,刚好从顶点B出发沿正三角形ABC跑了4圈回到B,乙路程为s2=6×150=900m,刚好从顶点C出发沿正三角形ABC跑了3圈回到C.假设甲乙相逢于正三角形ABC上反时针方向距离顶点C有xm处(见图2),则0≤x<300.假设甲跑了k圈到达相逢点,乙跑了l圈到达相逢点,则k,l为整数,且分别取值为k=0,1,2,3,4;l=0,1,2,3.此时甲所走路程为300k+100+x,乙所走路程为300l+x.由路程速度的关系,我们可得如下方程:300l+x300k+100+x=34.300l+x300k+100+x=34.对k,l用穷举法,解得x=0,这表明甲乙只相逢于顶点C.根据模型一的描述我们得到:一、在t=1008st=1008s这一时刻,甲进入CA边,此时乙尚未出该边,乙出该边的时刻是t=1006st=1006s.所以甲乙第一次共CA边,起止时刻为[1008‚1006][1008‚1006];二、在t=1008⋅2st=1008⋅2s这一时刻,甲进入AB边,此时乙尚未出该边,乙出该边的时刻是t=1006⋅2st=1006⋅2s.所以甲乙第二次共AB边,起止时刻为[1008⋅2‚1006⋅2][1008⋅2‚1006⋅2];三、在t=1008⋅3st=1008⋅3s这一时刻,甲进入BC边,此时乙尚未出该边,二人共BC边到t=50s这一时刻,甲乙相逢于C点.也就是说,甲乙既同时出BC边又同时入CA边,紧接又共CA边,这次不共边的时刻是甲出CA边的时刻,t=1008⋅5s.所以甲乙第三次共边的是先共BC边紧接又共CA边,由情形(3)知起止时刻为[1008⋅3‚1006⋅5];四、在t=1006⋅4s这一时刻,乙进入AB边,此时甲尚未出该边,甲出该边的时刻是t=1008⋅6s.所以甲乙第四次共AB边,起止时刻为[1006⋅4‚1008⋅6];五、在t=1006⋅5s这一时刻,乙进入BC边,此时甲尚未出该边,甲出该边的时刻是t=1008⋅7s.所以甲乙第五次共AB边,起止时刻为[1006⋅5‚1008⋅7];六、在[1008⋅7‚150]这段时间内,甲乙不会有共边的情形发生.下面我们证明这一论断的正确性.在t=1008⋅7s时刻,甲乙所在位置如图3,此时沿运动方向,乙在甲前225m,甲乙共边的一个必要条件是在运动方向上甲距离乙小于100m,所以根据相对运动性,要达到这一必要条件甲需要的时间须多于225-1002=62.5(s).而[1008⋅7‚150]这段时间只有62.5s,所以在这段时间内不会共边.综上所述,我们得到如下的一般性结果:一、在一个周期内共有5次共边,第k个周期第l次共边的起止时刻为[150(k-1)+1008l‚150(k-1)+1006l],当l=1,2时;[150(k-1)+1008l‚150(k-1)+1008(l+2)],当l=3时;[150(k-1)+1006l‚150(k-1)+1008(l+2)]‚当l=4,5时.二、记n=5k+l,0≤l<5,则第n次共边的起止时刻正好是第k+1个周期第l次共边的起止时刻.模型二首先,以正三角形ABC顶点B(甲所在的位置)为坐标原点,边BC所在的直线为x轴建立坐标系(见图4).甲乙在t时刻的路程分别为s1(t)=8t,s2(t)=6t;对甲而言,我们给BC,CA,AB分别赋予标签0,1,2;对乙而言,则给CA,AB,BC分别赋予标签0,1,2,则易知下述结论成立(下述同余式的右端是边的标签):1°甲乙共边AB当且仅当[8t100]≡2(mod3)且[6t100]≡1(mod3);2°甲乙共边BC当且仅当[8t100]≡0(mod3)且[6t100]≡2(mod3);3°甲乙共边CA当且仅当[8t100]≡1(mod3)且[6t100]≡0(mod3).3模型的matlab程序下面给出两个模型的计算机求解程序.为了在模型二中获得共边的起止时刻,我们通过动画仿真演示甲乙二人的追逐过程.下面所给两个程序直接复制到matlab的m文件编辑器里面保存运行即可.我们首先给出模型一的matlab程序,该程序提供如下两个问题的解答:一、[0,t]内共边的次数有多少?二、第n次共边的起止时刻是多少?下面我们给出模型二的matlab程序,该程序利用matlab强大的绘图功能,用形象的动画仿真演示追逐过程,并且给出了第一个周期内的共边次数及相应的起止时刻.从上面的结果我们不禁惊叹于matlab强大的数值计算功能:12.5,25,62.5,75和87.5这五个值都为真实值而非近似值.4u3000结论对于引言中提到的追逐问题,我们建立了两个模型,模型一给出了完整的解答,运动的周期性用得淋漓尽致,一个周期内的共边的次数和起止时刻交待得都很清楚,论证严谨,结果明了,没有留下任何悬念;但模型一不能容易地推广到三人沿正三角形追逐或多人绕正多边形追逐的情形.模型二表述简单,运用初等数论知识建立模型,能够较易地推广到多人绕正多边形追逐的情形;但模型二没有明确交待共边的起止时刻和没有给出相逢的判断,即留下了三个模糊的东西:一是共边的起止时刻,二是时段[0,t]内共边的次数,三是相逢前后都有共边,应算一次共边,模型二却将其一分为二.虽然这三个问题都可通过计算机程序给以解决,但由于计算机运算的近似性起止时刻只是近似的数值解.本文为引言中提到的追逐问题所建立的两个模型,都是一种理想化的结果,即甲乙二人体质无差异地绕正三角形做持续的匀速运动,没有考虑人的生命特征,即没有考虑甲乙二人的体质差异、转弯所造成的速度损失、能量消耗所带来的速度损失,等等,所以理论上的结果将与实际情况有所不符.matlab语言具有极强的数值计算功能和绘图功能(包括动画),是一款优秀的在科学与工程计算、系统仿真等领域得到广泛应用的软件.本文没有用matlab的仿真工具箱simulink,也没有用matlab动画命令getframe和movie(这两个命令在普通的matlab教程中难以