三角函数、数列不等式精解

三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=倍角公式tan2A=Sin2A=2SinA•CosACos2A=Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A=3sinA-4(sinA)3cos3A=4(cosA)3-3cosA半角公式sin()=cos()=tan()=tan()==和差化积sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb=2coscoscosa-cosb=-2sinsintana+tanb=积化和差sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式sin(-a)=-sinacos(-a)=cosasin(-a)=cosacos(-a)=sinasin(+a)=cosacos(+a)=-sinasin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosatgA=tanA=万能公式sina=cosa=tana=其它公式a•sina+b•cosa=×sin(a+c)[其中tanc=]a•sin(a)-b•cos(a)=×cos(a-c)[其中tan(c)=]sin（+α）=cosαcos（+α）=-sinαtan（+α）=-cotαsin（-α）=cosαcos（-α）=sinαtan（-α）=cotαsin（+α）=-cosαcos（+α）=sinαtan（+α）=-cotαsin（-α）=-cosαcos（-α）=-sinαtan（-α）=cotα定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。2、把函数的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是（）A、非奇非偶函数B、既是奇函数，又是偶函数C、奇函数D、偶函数3、函数的图像的一条对称轴方程是（）A、B、C、D、4、函数的单调递增区间是（）A、B、C、6、如果函数的最小正周期是T，且当时取得最大值，那么（）A、T＝2B、T＝1，C、T＝2，D、T＝1，7、函数是（）A、周期为的奇函数B、周期为的偶函数C、周期为的奇函数D、周期为的偶函数9、为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A、向右平移个单位长度B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度D、向左平移个单位长度10.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）（A）（B）（C）（D）15．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0.上述四个命题中，正确的命题有__________个。16、已知，（1）求的值；（2）求的值.17、已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．18、函数（1）、求函数的最小正周期和最大值。（2）、说明函数是由函数的图像经过怎样的伸缩和平移变换得到？数列复习题3、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()(A)(B)(C)(D)4、设等差数列的首项为a,公差为d，则它含负数项且只有有限个负数项的条件是()(A)a＞0,d＞0(B)a＞0,d＜0(C)a＜0,d＞0(D)a＜0,d＜06、设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1+a4+a7+……+a97=50，则a3+a6+a9……+a99=()(A)182(B)－80(C)－82(D)－849、数列{an}的通项公式，已知它的前n项和为Sn=9，则项数n=()(A)9(B)10(C)99(D)10012、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()(A)9(B)10(C)11(D)1213、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)16028、数列{an}、{bn}都是等差数列，它们的前n项的和为，则这两个数列的第5项的比为()(A)(B)(C)(D)以上结论都不对19、正数a、b、c成等比数列,x为a、b的等差中项,y为b、c的等差中项,则的值为________.20、等比数列{an}中,已知a1·a2·a3=1,a2+a3+a4=,则a1为________.2、设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.4、设数列{}的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,试求此数列的通项公式及前n项和.3、B、4、C5、A6、C7、C8、D9、C10、C11、D12、B13、C14、A15、B16、B17、D18、D19、D20、B21、B22、A23、D24、C25、B26、B27、A28、C19、2.20、2或2、解：(Ⅰ)依题意,有，即由a3=12,得a1=12－2d(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得，∴.(Ⅱ)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0，即a6+a7＞0,a7＜0.由此得a6＞－a7＞0.因为a6＞0,a7＜0,故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.4、∵a1=3,∴S1=a1=3.在Sn+1＋Sn=2an+1中,设n=1,有S2＋S1=2a2.而S2=a1＋a2.即a1＋a2＋a1=2a2.∴a2=6.由Sn+1＋Sn=2an+1,……(1)Sn+2＋Sn+1=2an+2,……(2)(2)－(1),得Sn+2－Sn+1=2an+2－2an+1，∴an+1＋an+2=2an+2－2an+1即an+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.an的通项公式an=此数列的前n项和为Sn=3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n–1=3＋=3n.不等式的证明规律及重要公式总结重要公式1、（可直接用）2、（要会证明）3、即可）4、，；5、，证明方法方法一：作差比较法：已知：，求证：。证：左－右=方法二：作上比较法，设a、b、c，且，求证：证：当a>b>0时当0<a<b时∴不论a>b还是a<b，，同理可证，，，……方法三：公式法：设a>0,b>0，且a+b=1，求证：①②证①由公式：得：证②由∴左（*）∵∴(*)方法四：放缩法：∵n>1，∴∴只要证：即可左<<方法五：分析法：设a1，a2，b1，b2，求证：(自证)方法六：归纳猜想、数学归纳法：设，求证：（自证）柯西不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）类型一：利用柯西不等式求最值

例1．求函数的最大值

解：∵且，函数的定义域为，且，

即时函数取最大值，最大值为

法二：∵且，∴函数的定义域为由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设且，求的最大值及最小值。

利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，，求的最值.

法一：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．

根据柯西不等式

，

故。

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，类型二：利用柯西不等式证明不等式

基本方法：（1）巧拆常数（例1）（2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构（例3）（4）添项（例4）例1．设、、为正数且各不相等，求证：

又、、各不相等，故等号不能成立∴。

例2．、为非负数，+=1，，求证：∴

即

例3．若>>，求证：

解：，，∴，∴所证结论改为证

∴

例4．，求证：

左端变形，∴只需证此式即可。

【变式1】设a,b,c为正数，求证：．，即。

同理，．将上面三个同向不等式相加得，

．【变式2】设a,b,c为正数，求证：

于是即均值不等式应用1.(1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）2.(1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)（2）y＝x＋eq\f(1,x)解：(1)y＝3x2＋eq\f(1,2x2)≥2eq\r(3x2·eq\f(1,2x2))＝eq\r(6)∴值域为[eq\r(6)，+∞）(2)当x＞0时，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2；当x＜0时，y＝x＋eq\f(1,x)=－（－x－eq\f(1,x)）≤－2eq\r(x·eq\f(1,x))=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。技巧三：分离例3.求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）（2）(3)2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知，且，求的最小值。错解：，且，故。错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。变式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七已知x，y为正实数，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤eq\f(a2＋b2,2)。同时还应化简eq\r(1＋y2)中y2前面的系数为eq\f(1,2)，xeq\r(1＋y2)＝xeq\r(2·eq\f(1＋y2,2))＝eq\r(2)x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))下面将x，eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))分别看成两个因式：x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(x2＋(eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2)))2,2)＝eq\f(x2＋eq\f(y2,2)＋eq\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)即xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2)·xeq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(3,4)eq\r(2)技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝eq\f(1,ab)的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝eq\f(30－2b,b＋1)，ab＝eq\f(30－2b,b＋1)·b＝eq\f(－2b2＋30b,b＋1)由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝eq\f(－2t2＋34t－31,t)＝－2（t＋eq\f(16,t)）＋34∵t＋eq\f(16,t)≥2eq\r(t·eq\f(16,t))＝8∴ab≤18∴y≥eq\f(1,18)当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2eq\r(2ab)∴30－ab≥2eq\r(2ab)令u＝eq\r(ab)则u2＋2eq\r(2)u－30≤0，－5eq\r(2)≤u≤3eq\r(2)∴eq\r(ab)≤3eq\r(2)，ab≤18，∴y≥eq\f(1,18)点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，eq\f(a＋b,2)≤eq\f(a2＋b2,2)，本题很简单eq\r(3x)＋eq\r(2y)≤eq\r(2)eq\r(（eq\r(3x)）2＋（eq\r(2y)）2)＝eq\r(2)eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(5)解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)＝10＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)≤10＋(eq\r(3x))2·(