交流电路的基本知识-第二章单相直流电路

2.1

交流电的基本知识2.2

正弦交流电的表示法2.3

正弦交流电的相加与相减2.5

纯电感电路2.6

纯电容电路2.4

纯电阻电路2.7

电阻与电感串联电路*2.8

电阻、电感和电容串联电路及谐振**2.9

电感线圈与电容并联电路2.10

电路的功率因数**2.11

电阻、电感和电容并联电路及谐振第2

章单相交流电路2.1.1

交流电的基本概念2.1.2

正弦交流电的相关量2.1

交流电路的基本知识大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电。2.1.1

交流电的基本概念电路中物理量的表示方法：电路图中标出的US、i、

u的方向是电压、电动势和电流的参考方向，由于实际方向反复变化，与参考方向相同的为正，反之为负。直流电用大写的英语字母表示，如：E、

I、U。交流电用小写的英语字母表示，如：e

、

i、u。

2O+iUS即描述正弦交流电特征的物理量1．周期(T)正弦量变化一次所需的时间，单位为秒(s)。2．频率(f)

单位时间内完成的周期数，单位为赫[兹]

(Hz)。频率与周期互为倒数。T、f、

之间的关系

2O生产和生活中常用的是正弦交流电，简称交流电。3．角频率(

)单位时间内变化的电角度，单位为弧度/秒(rad/s)2.1.2

正弦交流电的相关量频率范围及他们的应用4．瞬时值5．最大值6．有效值正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示，如：i、u、e。瞬时值中最大的值，也称幅值。用带下标m的大写字母表示，如：Im、Um、Em。交流电流

i

通过电阻R

在一个周期内产生的热量与某直流

I

通过同样的电阻在相等的时间内产生的热量相等，该直流I

的数值就定义为交流电流i

的有效值。O根据上述定义，可得同理：一般情况人们所说的交流电压或电流的大小，以及测量仪表所指示的值都是有效值。有效值用大写字母表示，如U、I、

E。7．相位图示交流电流的波形可用数学式表示为它的初始值为零数学式表示为它的初始值不为零计时起点(t=0)不同，正弦量的初始值就不同；到达最大值或某一特定值所需时间也就不同。i

tO

2O在t=0时刻以前，正弦交流电具有的角度称为初相角，用表示，简称初相。7．相位而

称为相位角，简称相位。相位能反映正弦交流电流变化进程。例如，图示波形在相位时，电流为最大；当电流为零。相位和初相位的单位都是弧度。i

tO8．相位差两个同频率正弦交流电的相位之差。相位差可以比较两个同频率正弦量之间的相位关系(如超前或滞后，同相或反相)。设两个同频率交流电流相位差为

由于两个电流的频率相同，所以相位差等于初相位之差。O

tiuiu[例]：两正弦量为相位差则称电压超前电流60

或电流滞后电压60

。而超前是指：电压总比电流先经过对应的最大值或零值。相位差角要用小于或等于

表示。

tiOi1i2i3i1与i2同相,=0i1与i3反相,=

2.2

正弦交流电的表示法2.2.1

波形图表示法2.2.2

解析式表示法2.2.3

旋转矢量表示法O要把正弦量的三要素特征表示出来。可以直观地表达出交流电的特征。最大值ImIm角频率

或周期TT初相角

0(

0=0)Im

02.2.1

波形图表示法式中：α=ωt+φ0为该正弦交流电压的相位2.2.2

解析式表示法

[例]矢量以角速度

逆时针旋转。正弦量用矢量表示后，可以将复杂的三角函数运算转换成矢量运算，简化了运算过程。

旋转矢量表示法：选一矢量其长度表示交流电的最大值(或有效值)；矢量与横轴的夹角表示初相角，

>0在横轴的上方，

<0在横轴的下方；2.2.3

旋转矢量表示法[解]

[例]某两个正弦交流电流，其最大值为A和A，初相角为角频率为

作出它们的旋转矢量，写出其对应的解析式。选定和为矢量长度，在横轴上方角度作矢量，且以角速度

逆时对应的解析式为与下方针旋转。

两个同频率交流电流，旋转的速度一样，则两个旋转矢量在空间的相对位置固定，这样，可将旋转矢量看成在t=0时刻的相对静止矢量(不需标注

)。从矢量图上可求出相位差，即两矢量之间的夹角；从矢量图上可判断正弦量的相位关系，逆时针在前的为超前，图示矢量为i1超前i2角

/2。动画：正弦量的旋转矢量表示法动画：正弦量解析式、波特图、矢量图相互转换2.3.1

波形合成法2.3

正弦交流电的相加和相减2.3.2

矢量运算法用已知的两个同频正弦交流电各瞬时值逐点相加的方式，描述出相加的波形图。[例][解]

01O

tii

02i1

i2合成波形如图示。若计算两电流之差，可采用2.3.1

波形合成法由波形合成法知：一般情况下Im≠I1m+I2m当

0=

01-

02=0时，Im＝I1m+I2m当

0=

01-

02=

时，Im＝

I1m－I2m将已知的两个或几个同频率的正弦交流电矢量作在同一坐标图中，利用矢量的平行四边形法则求其矢量和。矢量和的长度和辐角即为交流电求和后的最大值(或有效值)和初相角。

例

解

图为两个正弦量的矢量，试求u1+u2。作平行四边形U2=40VU1=30VU2.3.2

矢量运算法

例

图示为两个交流电流的波形，求i1+i2。i1

、i2、i的角频率

w相同，所以i=i1+i2=Imsin

(wt+)

2.4

纯电阻电路2.4.1

电流与电压的关系2.4.2

功率+-设电阻两端输入正弦电压根据欧姆定律电流与电压的关系为:(1)u和

i的频率相同；(2)u和

i的相位相同；

(3)u和

i的最大值、有效值满足欧姆定律u2.4.1

电流与电压的关系纯电阻电路波形图与矢量图u+-

tiOuuiUI1．瞬时功率2．有功功率u

tOipO

tP=UI取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路消耗的功率，称为有功功率有功功率是定值P2.4.2

功率

例

电炉的额定电压UN=220V，额定功率PN=1000W，在220V的交流电源下工作，求电炉的电流和电阻。使用2h，消耗电能是多少？

解

由于电炉可以看成纯电阻负载，所以电炉的电阻为工作2h消耗的电能为2.5.1

电流与电压的关系2.5纯电感电路2.5.2

功率忽略电阻的线圈接在交流电源上称为纯电感电路。u设通过线圈的电流为由于电流的变化在线圈中产生自感电动势eL

，形成电压。在图示u

与eL的参考方向下由理论推导可得2.5.1

电流与电压的关系比较i与

u式(1)i与

u的频率相同;(3)i与

u最大值与有效值关系为

(2)i与

u相位差,即电压超前电流，或说电流滞后电压；Um=

LImU=XLIUm=XLImXL=L=2

fL

其中称为电感的电抗，简称感抗，单位是(

)。纯电感电路电压和电流的波形图与矢量图

tiOuuiuUXLf2

fL1．瞬时功率2．有功功率有功功率是瞬时功率在一个周期内的平均值。显然P=03．无功功率纯电感元件的交流电路中只有能量互换，将能量交换时功率的最大值称为无功功率Q。Q=UI=XLI2单位：乏(var)u,i,pOP>0线圈从电源吸收电能P<0线圈从电源送回电能2.5.2

功率

解

例

纯电感线圈，电感L=300mH,接至的工频电源上，求电感线圈的电流有效值和无功功率；若改接在有效值为100V交流电源上，测得其电流为0.4A，求该电源的频率是多少？(1)

f=50Hz时XL

=L=2fL

=2×3.14×50×0.3

=94.2Q=UI=220×2.34var

=514.8var(2)接100V交流电源时2.6.1

电流与电压的关系2.6.2

功率2.6

纯电容电路电容损耗很小，一般情况下可看成纯电容。设通过电容的电压为

其

u与i参考方向如图所示由理论推导可得u+-2.6.1

电流与电压的关系u+-比较u与i式(1)u与

i的频率相同;(3)i与

u最大值与有效值关系为

(2)电流超前电压，或电压滞后电流；Im=

CUmU=XCI其中称为电容的电抗，简称容抗，单位欧(

)。纯电感电路电压和电流的波形图与矢量图

tiOuuiuUXLf2

fL1．瞬时功率2．有功功率电容有功功率与电感一样都为零。即3．无功功率QQ=UI=XCI2单位：乏(var)uiuOp>0，电容储存电压p<0，电容释放电压2.6.2

功率

[例]

有一个

50F的电容器，接到的工频交流电源上，求电容的电流有效值和无功率。若将交流电压改为500Hz时，求通过电容器的电流为多少？

电容电流由式(2.38)求得

无功功率由式(2.41)求得

[解]（1）电压的工频交流电压的有效值为220V，频率为50Hz，电容容抗为

电容容抗为

电容电流为

(2)当

f=500Hz时

[解]

2.7

电阻与电感串联电路2.7.1

电流与电压的关系2.7.2

功率设电路中的电流电阻与电感两端的电压为电源电压uL+-uR+-u+-2.7.1

电流与电压的关系uR+-u+-uL+-

(1)作矢量图求电压

u

的有效值和初相角

URIULU

根据矢量图可得解之总电压电压有效值之间为三角形关系(2)根据公式解出电压与电流有效值之间关系称为电阻和电感串联电路的阻抗，单位欧(

)。

Z

、R、XL关系构成与电压相似的三角形关系，称阻抗三角形。通过阻抗三角形可求

。注意：阻抗三角形不是矢量关系1．有功功率有功功率即电阻消耗的功率P=

URI

=

UIcos

2．无功功率式中：UR=Ucos

总为电压的有功分量；

=cos

称功率因数；

称功率因数角。即电路中总电压与总电流的相位差。电感与电源进行能量交换形成无功功率。Q=ULI=UIsin

Usin

称为总电压的无功分量。IULUUR

2.7.2

功率3．视在功率电路中电流和电压的乘积定义为视在功率，即S=UI单位是伏安(V·A)

S、P、Q的关系为三角形关系，与电压、阻抗三角形相似IULPQS

RXLZ

UUR

[例]

电阻和电感串联电路中，已知XL=6.24k

，电流滞后电压

82，试求电阻。[解]

[例]

在实际线圈上加12V

直流电压，测得直流电流I=2A；加交流工频220V电压，测得有效值电压I=22A,求线圈的电阻R和电感L。[解]直流电源作用交流电源作用

[例]

某电动机接在220V工频交流电源上可获得14A电流，2.5kW的有功功率，试求电动机的视在功率S、无功功率Q和功率因数

。[解]

根据视在功率的定义S=UI=220

14V·A=3080V·A=3.08kV·A因为

P=UIcos=Scos

所以Q=UIsin

=Ssin

=3.08

sin35.7°kvar=1.8kvar*2.8

电阻、电感和电容串联电路及谐振2.8.1

电流与电压的关系2.8.2

功率2.8.3

电路呈现的三种性质2.8.4

串联谐振–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+设电路中电流的初相角为零，即R、L、C

两端的电压分别为2.8.1

电流与电压的关系–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+总电压为

(1)电源电压矢量为电阻、电感和电容电压矢量之和IURU

ULUCUC电压矢量符合三角形关系–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+(2)电路的阻抗称为电路的阻抗，单位为欧(

)，

Z

、R、

XL、

XC仍构成与电压相似的三角形。阻抗角X

称为电抗。1．有功功率

R、L、C串联电路中只有电阻是耗能元件，电阻功率即为电路中的有功功率P=URI=RI2=UIcos

UR=Ucos

为总电压U的有功分量。2．无功功率为电感和电容无功功率之差。即Q

=QL-

QC=ULI-UCI

=UXI=I2X其中：UL–UC=Usin

为总电压U的无功分量。Q=UIsin

IUUR

其中：2.8.2

功率3．视在功率根据视在功率定义S=UI单位是伏安(V·A)

S、P、Q的关系为三角形关系，与电压、阻抗三角形相似。IPQL-QCS

UUR

RXL

-XC

Z当XL>XC

,

电路中电压超前电流

角，电路呈感性；当XL<XC

,

则电流超前电压

角，电路呈容性；当XL=XC

,

则电流与电压同相，电路呈阻性。IUURUL

UCULUCIUURUL

ULUCUCIURULUCUL=UUL>UCUL<UCUL=UC实际电路中R、L、C及f

参数不同，电路对外会分别呈现三种性质。2.8.3

电路呈现的三种性质[解]

电流有效值为

[例]R、L、C串联交流电路如图示。已知R=250、L=1.2H、C=10F，。求电路中I、UR、UL、UC、URL和P、Q、S。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+uRL+–

–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+uRL

UL=XLI=376.8

0.857V=322.9V

UC=XCI=318.5

0.857V=273.0VP=RI2=250

0.8572W=183.6WQ=(XL-XC)

I2=(376.5-318.5)

0.8572

var=42.8varS=UI=220

0.857V·A=188.5V·A+–

电压有效值分别为UR=RI=250

0.857V=214.3V–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+在RLC串联电路中，当UL

=UC，即或时，u与i

同相，这时电路中发生串联谐振。谐振条件1．谐振频率当电路中的频率达到f0值时，电路就会发生谐振。2.8.4

串联谐振2．谐振时的阻抗其阻抗值最小电路中电流最大3．谐振时电流和电压UL=UC=XLI0=XCI04．品质因数QU=UR串联谐振时，电感和电容通常会获得很大电压，将UL或UC与U之比称为谐振电路品质因数其值可高达数百串联谐振时相量图–

+L–

+uCRiuLucuR–

+–

+IUURULUC当时，UL和UC都高于电源电压U。如果电压过高时，可能会击穿线圈和电容的绝缘。因此，在电力系统中应避免发生串联谐振。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。2.8.4

串联谐振

[例]

电阻、电感与电容串联电路参数为R=10

，

Ｌ=0.3mH，C=100pF，外加交流电压有效值为U=10V，

试求在其发生串联谐振时的谐振频率f0、品质因数Ｑ、

电感电压UL、电容电压UC

及电阻电压UR。

[解]

谐振频率为

品质因数为

电感电压为

电容电压为

电阻电压为

动画：串联谐振电路可见发生串联谐振时，电感和电容上会得到比外加电压高许多倍的电压，利用这个特性，可以从多个不同频率的信号中选出所要求得到的某个特定频率的信号。

**2.9

电感线圈与电容并联电路2.9.1

电流与电压的关系2.9.2

功率2.9.3

电路呈现的三种性质设电路外加正弦电压iRL、iC

电流分别为其中u2.9.1

电流与电压的关系Uu电路的总电流总电流可用矢量求和的方法解由矢量图可知电路总阻抗UI

Z=2.9.1

电流与电压的关系1．有功功率uU由矢量图知IRLcos

RL=Icos

2．无功功率Q=QL

-QC=UIsin

RL–UIC=U

(ILRsin

LR-IC)由矢量图知IRL

sin

RL

-IC=Isin

Q=UIsin

所以：2.9.2

功率u1．呈感性UUI1ICUICI

I1IICIC

1

12．呈容性3．呈阻性总电流滞后电压

角；I1sin

1>IC

，总电流超前电压

角；I1sin

1<IC，总电流与电压同相位。I1sin

=IC，2.9.3

电路呈现的三种性质2.10

电路的功率因数有功功率与视在功率的比值为功率因数。功率因数：为总电压与总电流的相位差，称为功率因数角。越小、功率因数arctan

越高，而角的大小与电路的参数和频率f有关。功率因数一般情况下在1和0之间，cos=1，功率因数最高，但此时可能会发生谐振，给电路带来其他问题。提高功率因数不能达到“1”！提高功率因数的意义在以下两个方面：有功功率(1)提高供电设备的利用率(2)减小了供电设备和输电线路的功率损耗在P、U一定的情况下，cos

越低，I越大，损耗越大。况下，cos

越低，P越小，供电容量得不到充分利用。，在电源设备容量S

一定的情IICI1U

1

iiCLuR–

+i1C交流电路的负载大多数是感性负载。提高功率因数的方法并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了电源或电网的功率因数。

已知感性负载的功率及功率因数cos

1，若要把电路功率因数提高到cos

，则应并联电容C。并联电路提高功率因数应注意：

(1)并