最全总结递推数列求通项公式的常用方法

递推数列求通项公式的常用方法公式法例1、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.归纳猜想法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例2、已知数列中，，，求数列的通项公式.【解析】：，，，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.三、累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例3、已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.【解析】：,,=1++...+=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为。四、累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积)。例4、已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1×=,当时，满足，.反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.五、构造新数列（待定系数法）:将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列，也即是待定系数法。例5、已知数列中,,,求的通项公式.【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,反思：构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.六、倒数变换：将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时将数列看成一个新的数列，即再利用“构造新数列”的方法求解。例6、已知数列中,,,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得:,,是以为首项,公差为2的等差数列.,.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了。七、特征根法：形如递推公式为（其中p，q均为常数）。对于由递推公式，有给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例7:数列满足，,求【解析】：由题可知数列的特征方程是：。,。又由，于是故反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出A,B的用已知量a,b表示的值，从而可得数列的通项公式。八、不动点法若A,B且AD-BC，解,设为其两根=1\*ROMANI、若，数列是等比数列；=2\*ROMANII、若，数列是等差数列。例8、已知数列满足，求数列的通项公式。【解析】：令，得，则x=1是函数的不动点。因为所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。反思：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式九、换元法即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简单，更易找到解决的方法。例9、已知数列满足，求数列的通项公式。【解析】：令，则故代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。反思：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。十、取对数法：形如这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。例10：已知数列｛｝中，，求数列。【解析】：由两边取对数得，令，则，再利用构造新数列（待定系数法）解得：。十一、周期型：由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。例11：若数列满足，若，则的值为___________。反思：此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的n的值，求出数列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。变式:已知数列满足，则= （）十二、双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.高考递推数列题型分类归纳解析类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列满足，，求。变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，，求。例2:已知，，求。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列：，，求数列的通项公式。例:已知数列中，,,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列2.已知数列中，,,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.类型7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出不存在,则说明理由.类型8解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛｝中，，求数列变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1类型9解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{}满足时，，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．类型10解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相