二面角的求法(高老师)

二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例1、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；CDPMBA例2、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角CCDPMBA例3、如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平面MB1D1。（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。解：（Ⅰ）连结A1D，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面ADD1A1为矩形，∵A1C⊥平面MB1D1，∴A1C⊥D1M，因此A1C在平面AD1上的射影A1D⊥D1M，∴△A1MD1∽△D1A1D，∴A1M=因此M是A1A的中点。（Ⅱ）引A1E⊥B1M于E，连结D1E，则A1E是D1E在平面BA1上的射影，由三垂线定理可知D1E⊥B1M，∴∠A1ED1是二面角D1－MB1－B的平面角的补角，由（Ⅰ）知，A1M=，则∴∴二面角D1－MB1－B等于例4、四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小的余弦值．CDEAB解：（1）取中点，连接交于点，CDEAB，，又面面，面，．，，，即，面，．（2）在面内过点作的垂线，垂足为．，，面，，则即为所求二面角的平面角．，，，，则，例5、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角ADFB的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE。∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE。(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小为60º。（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF。在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ。∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。三、垂面法已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；PlCBA例6、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.PlCBA分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；例7、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M. （Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小； （Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN； （Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.解：（I）取AD中点O，连结PO，BO.△PAD是正三角形，所以PO⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD， BO为PB在平面ABCD上的射影， 所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角 由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=， 所以，PB与平面ABCD所成的角为45°.（Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB， 又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB， 所以PB⊥平面ADMN.（Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影， 因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，故∠PON为所求二面角的平面角. 因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°， 即所求二面角的大小为45°五、平移或延长（展）线（面）法对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例8、过边长为的等边△顶点、，分别引△所在平面的垂线、，且，求面与面所成角的大小．解：

取的中点，作交于，则，．又∵，∴，∴是平行四边形，∴，∴面．过作直线，则为所求二面角的棱，且．∴

，即，又面，∴，∴就是所求二面角的平面角．显然．六、向量法（一）、利用法向量求二面角的大小的原理ωθβlα设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或（图2）ωθβlαθθβlα图1图2DABCDABCA1B1C1D1图GEFxyz（二）、如何求平面的一个法向量例9、如图，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，,0)、F(，1,0)、G(1,0，)由此得:设平面的法向量为由及可得令y=1取平面的一个法向量为评析：因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。（三）、法向量的应用举例例10、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．O（A）BA1O（A）BA1C1B1D1DCQzyx图依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）．∴Q（2，2，0），D（0，4，0），∴．面AA1D的法向量．设面A1DQ的法向量，则∴．令a1=1，则，∴．二面角的平面角为锐角∴二面角A—A1D—Q的大小为．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养。（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令，则，∴，∴二面角A—A1D—Q的大小是的补角。所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。AAzyxDCBS图例11、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，），A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），∴，显然平面SBA的一个法向量为=(1，0，0)，设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，则⊥平面SCD∴则评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）但判断侧面SCD与面SBA所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时，图形的直观性就不明显了，当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。（四）、当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时,通过判断法向量的方向来求解二面角.图6原理：首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系：图6如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”，此时两法向量在三个坐标平面的投影也可以看成是“一进一出”，这时不难得出的夹角就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？oABoABC图7若要法向量的方向“向上”,可设＝或＝,其中>0；若要法向量的方向“向前”,可设＝或＝,其中；若要法向量的方向“向右”，可设＝或＝,其中所以，只要我们判断两个法向量的方向是“一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。AABCD例12、如图，正三棱柱的