《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业5

课时作业(五)1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的()A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10° B．50°C．120° D．130°答案D3．一只船速为2eq\r(3)米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为()A．120° B．90°C．60° D．30°答案B4．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10eq\r(3)m B．100eq\r(3)mC．20eq\r(30)m D．30m答案D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30eq\r(3).在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3答案C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm答案B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里答案D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m答案A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里答案D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为eq\r(3)km，则A，B两船的距离为()A．2eq\r(3)km B．3eq\r(2)kmC.eq\r(15)km D.eq\r(13)km答案D11．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________km.(精确到0.1km)答案5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是________m.答案6013．已知船在A处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B点，在B处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案eq\f(5\r(6)\r(3)－1,2)14．A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)≈2186(m)．答：山高CD为2186m.15．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．解析在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°.由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°).∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．∴A到BC的距离d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h后，该船实际航行为()A．2eq\r(15)km B．6kmC.eq\r(84)km D．8km答案B2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C、D，在某天10∶00观察到该航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案eq\f(\r(6),4)解析在△BCD中，∠BDC＝30°＋60°＝90°，CD＝1，∠BCD＝45°，∴BC＝eq\r(2).在△ACD中，∠CAD＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°，∴eq\f(CD,sin45°)＝eq\f(AC,sin30°)，AC＝eq\f(\r(2),2).在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos60°＝eq\f(3,2)，∴AB＝eq\f(\r(6),2)，∴船速为eq\f(\f(\r(6),2),2)＝eq\f(\r(6),4)千米/分钟．3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？答案救船到达D点需要1小时．解析由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900.∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝eq\f(30,30)＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20km处和54km处．某