数值分析(颜庆津)第7章 学习小结_第1页
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第7章常微分方程初值问题的数值解法学习小结本章学习体会本章的主要内容是要掌握如何用数值解代替其精确解，这对于一些特殊的微分方程，特别是一些不好解其通解方程是非常有用的。对于本章我总结如下几点：1、本章计算量相对较小，重要是其思想。在做题过程中，要理解各种方法的原理及推导过程。2、本章对泰勒展开法有一定要求。无论是求方法的阶数还是推导数值解法的公式经常用到泰勒展开。因此，我们对于泰勒级数要有很清楚的认识。3、在求数值解法的公式推导时，经常用到第六章的插值型求积公式。可见，在整本书中，知识往往是贯通的。本章知识梳理将初值问题离散化数值微分法（离散变量法）数值积分法局部截断误差Taylor级数法整体截断误差初值问题数值解法的一般形式：常微分方程初值问题的数值解法的分类显式方法隐式方法一般形式局部截断误差整体截断误差显示单步法局部截断误差与整体截断误差的关系若，则若数值方法的局部截断误差为，则称这种数值方法的阶数是显式欧拉公式欧拉法隐式欧拉公式基本思想等价于龙格-库塔法不同点的数值解加权平均代替而使得截断误差的阶数尽可能高N级R-K方法的形式，相容性，收敛性和绝对稳定性1、相容性：设增量函数在区域上连续，且对满足Lipschitz条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法至少是一阶的方法2、收敛性;（1）定义：若对任意的及任意的，极限则称单步法是收敛的（2）单步法的收敛的充要条件：（3）收敛与相容的关系:设增量函数在区域上连续，且对满足Lipschitz条件，则单步法与微分方程相容的充要条件是单步法是收敛的3、稳定性（描述初始值的误差对计算结果的影响）4、绝对稳定性：线性多步法的基本思想线性多步法的一般形式线性多步法Simpson公式Admas公式基于数值积分方法Milne公式线性多步法的构造基于泰勒展开的待定系数法本章思考题试用数值积分法建立常微分方程的初值问题：的数值求解公式：解：由得：（1）对于（1）式。左右两边同时在上积分得：左边=（2）右边=（3）其中带入（3）式化简整理可得：将（2）（3）带入（1）中可得：本章检测题试用Taylor级数法（取p=2）导出求解初值问题的数值方法，并指出此方法的阶。解：

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