中职数学立体几何教案

-.z.**职业技术教育中心教案教师姓名**授课班级12会计、通信授课形式新授授课日期2013年5月13日第13周授课时数2授课章节名称§9.1平面的根本性质教学目的了解平面的表示方法和根本性质教学重点平面的根本性质教学难点用集合符号表示空间点、直线和平面的关系更新、补充、删节容使用教具课外作业课后体会复习引入：新授：1．平面及其表示图5-27(1)ADBC图5-27图5-27(1)ADBC图5-27(2)DABCD如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进展．图图5-28一个平面通常用小写希腊字母、、、…表示，写在表示平面的平行四边形*一个顶角部，记作“平面〞、“平面〞,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC〞或“平面BD〞，当然也可记作平面ABCD(如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一局部．空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示：①点A在直线l上，记作Al，点A不在直线l上，记作Al；②点A在平面，记作A，点A不在平面，记作A；③直线l在平面，记作l；④直线l与直线m交于点N，记作lm={N}，直线l与直线m没有交点，记作lm=；⑤直线l与平面交于点N，记作l={N}，直线l与平面没有交点，记作l=；⑥平面与平面交于直线l，记作=l，平面与平面不相交，记作=．在以后的学习中，我们将经常用到这些记号．课练习11.能不能说一个平面长2米，宽12.画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．3.分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．ABCABCDA1B1C1D1(第3题图)(1)点A在平面，但在平面外；(2)直线l经过平面外的一点N；(3)直线l与直线m相交于平面的一点N；(4)直线l经过平面的两点M和N．5.下面的写法对不对，为什么？(1)点A在平面，记作A;(2)直线l在平面，记作l；(3)平面与平面相交，记作；(4)直线l与平面相交，记作l．2.平面的根本性质根本性质：(1)如果一条直线上的两点在一个平面，则这条直线上所有的点都在这个平面．如图5-29，直线l上两点A,B在平面，则图5-29ABll上所有的点都在平面，这时我们可以说，直线图5-29ABl图5-图5-30lC因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，则延展的结果，它们必定相交于一条直线．由此得平面的第二个根本性质：(2)如果平面有一个公共点，则它们相交于经过这个公共点的一条直线．如图5-30，平面与平面相交，C是公共点，则它们相交于过C的直线l．如果我们把一纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面．图5-31CBA这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平面．如图5-图5-31CBA现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：①一条直线和直线外一点可以确定一个平面；②两条相交直线可以确定一个平面；③两条平行直线可以确定一个平面．课练习21.判断题(1)如图，我们能说平面与平面只有一个交点A吗？(2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗"(3)如图,我们能说线段AB在平面,但直线AB不全在平面吗"(第1(1)(第1(1)题图)A(第1(2)题图)AB(第1(3)题图)AB3.一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？4.怎样检查一桌子的四条腿的下端是否在同一平面？小结作业**职业技术教育中心教案教师姓名**授课班级12会计、通信授课形式新授授课日期2013年5月14日第13周授课时数4授课章节名称§9.2空间两条直线的位置关系教学目的了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性会求异面直线所成的角教学重点异面直线的概念及其判定异面直线所成的角教学难点异面直线的判定异面直线所成的角更新、补充、删节容使用教具课外作业课后体会复习引入：新授：1.两条空间直线的位置关系ABABCD图9-32ABCD把教室看成一个长方体ABCD-ABCD〔如图9-32〕，可以发现直线对BC与AA、AD与DC以及对角线BD与AC等等，它们不同在一个平面．我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：(必定同在一个平面上)；(1)没有公共点(必定同在一个平面上)；l1图9-33l1图9-33l(3)既不相交也不平行——异面(不可能同在一个平面上)．在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面，这样就容易表达出“异面〞的特点．课练习11.找出日常生活中异面直线的几个例子．2.画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．3.两条直线分别在两个平面，它们是否一定异面直线？4.能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？2.空间的平行直线ABCD图9-34ABCD平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABBA、BCCB都是矩形，AA∥BBABCD图9-34ABCD在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的和。ABCDEFHG图9-35例1如图9-35，E、F、G、H分别是任意空间四边形ABCD四条边ABABCDEFHG图9-35ABABCDEFGH由此即得EH=FG且EH//FG．所以四边形EFGH是平行四边形．课练习21.把一长方形的纸对折两次然后翻开，观察折痕是否平行，为什么？2.画两个相交平面，在这两个平面各画一条直线，使它们成为平行直线．AEFF1A1E1第3题图ABCD第4题图ABCDEEEAEFF1A1E1第3题图ABCD第4题图ABCDEEE4.如图，在长方体ABCD-ABCD中，E,E分别是棱AD,AD的中点，求证：CEB=CEB．3.异面直线所成的角图5-36(2)l图5-36(2)lmlP图5-36(1)lmmlP如图5-36(1)，设l、m是两条异面直线，在空间任取一点P，过P作l∥l、m∥m，把l、m所成的(不大于90)角，叫做异面直线l、m所成的角(或l、m的夹角)，采用平面情况的记法，记作l^m．为了简便起见，点P常取在两异面直线中的一条上．例如在直线m上，过点P作直线l∥l〔如图9-36(2)〕，则l、m所成的角就是异面直线l、m所成的角．图9-37ABCDABCD图9-37ABCDABCD例2图9-37表示一个正方体．(1)哪些棱与AB是异面直线？(2)求AB与CC的夹角的度数；(3)哪些棱与AA垂直？解课练习31.在以下各图中，分别以O为顶点，画出异面直线l、m所成的角．第第1题图mlOmlOlmO2.设l、m、n为三条空间直线，其中l∥m,ln，则m、n的关系如何？3.设l、m、n为三条空间直线，且l^m=n^m=45，能否得出l∥n的结论？你能举出反例吗？小结：作业：**职业技术教育中心教案教师姓名**授课班级12会计、通信授课形式新授授课日期2013年5月20日第14周授课时数4授课章节名称§9.3直线和平面的位置关系教学目的认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论掌握三垂线定理的应用教学重点直线和平面平行的判定和性质直线和平面垂直的判定和性质三垂线定理及其逆定理教学难点直线和平面平行、垂直的有关结论三垂线定理的应用更新、补充、删节容使用教具课外作业课后体会复习引入：新授：图5-3图5-38ABCDB1A1C1D1我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考察AB所在的直线，它在面ABCD上；与面BCC1B1有一个公共点B；与面DCC1D1没有公共点．这个实例告诉我们：空间直线l与平面的位置关系只有三种：(1)l与有无数个公共点——直线l在平面；(2)l与没有公共点——直线l平行于平面；(3)l与只有一个公共点——直线l与平面相交．图5-39图5-39BAllAl课练习1(第2(3)(第2(3)题图)l2.答复以下问题：(1)能否说直线l与平面有两个交点A、B"(2)如果直线l在平面外，l是否一定与平行？(3)如图，因为l与没有交点，是否能说l∥"(4)如果直线l不平行于平面，l必与相交吗？2.直线和平面平行(1)直线和平面平行的判定图5-40(2)图5-40(2)ba图5-40(1)ba我们看图5-40(1)，这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a、b．把墙面视为一个平面，当门关着时，直线a、b图5-40(1)ba且a∥b．开门时，a离开了平面，但仍保持与b平行，而且a与平面也是平行的(如图5-40(2))．这就给出了一个判定直线与平面平行的方法：图5-41b图5-41ba如图5-41中所示，如果a∥b，b，则a∥。根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面找出一条直线和这条直线平行就可以了．画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四边形外面，并且如图5-41那样，与平行四边形的一组对边平行或与平行四边形的一条线段平行．在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否相等；往墙上贴一条横幅时，检查横幅的上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行，使用的原理正是这个判定方法．为便于记忆，这个方法可简记为：“假设线线平行，则线面平行〞．ACBDEF图5-42例1如图5-42，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、ADACBDEF图5-42证明在ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD．又因为EF平面BCD，BD平面BCD，所以EF∥平面BCD．课练习21.在平面上有直线b，与平面外直线a不平行，能否说a与必定不平行？为什么？2.设平面与平面外的直线a平行，证明a与的任意直线都不相交．(2)直线和平面平行的性质图5-43a则交线必定平行于这条直线．b现在把图5-40(2)墙面、门分别看作为平面、，门边缘b是、的交线，a∥b．这说明，当直线a和平面平行时，过a图5-43a则交线必定平行于这条直线．b如果直线a和平面平行，经过a的平面假设与相交，则交线必定平行于a．如图5-43，假设a∥，a，=b，则a∥b．这个性质可简记为：“假设线面平行，则线线平行〞．ABCDEFPA1B1C1D1ABCDEFPA1B1C1D1图5-44解因为BC∥平面A1C1，B1C1是平面BC1与平面A1C1的交线，所以BC∥B过P作B1C1的平行线EFEF∥B1C1∥BC所以EF、BC共面．连结EB和FC，所得的四边形EFCB必定在同一平面上，所以沿此四边形画线即可．课练习31.一块木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD转动到各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？2.判断下面的说法是否正确：(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；〔〕(2)过直线外一点可以作无数个平面与直线平行；〔〕(3)如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面的任何直线平行；〔〕(4)平行于同一平面的两条直线互相平行．〔〕3.设a是平面外的一条直线，a∥，证明在上有无数条直线与a平行．4.：长方体ABCD-A1B1C1D1(1)BC||面A1ADD1；(2)BC1||面A1ADD1；(3)C1D||面ACB1．5.如果平面外的两条平行线中有一条和平面*一条直线平行，试证另一条直线和这个平面平行．3.直线和平面垂直直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交．我们先来研究前一种情况．如果直线l与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线l垂直于平面，记作图5-45l⊥，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，交点叫做垂足．图5-45画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直〔如图5-45〕．(1)直线与平面垂直的判定按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：如果一条直线和一个平面的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．l图5-46omn如图5-46，l≠，m，n，mn={O}，假设lm，lnl图5-46omn有了这个方法，要判定一条直线l是否垂直于一个平面，只要在去找到两条相交直线与l垂直就行了．这也是人们在日常生活中用来判定直线与平面垂直的方法．例如树立旗杆时，只要从不在一条直线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就能确定旗杆是否与地面垂直了．ACDB图5-47E例3如图5-47，有一旗杆AB，从它的顶端A挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C、D、E三点处，其中C、B、E在一条直线上，假设测得BCACDB图5-47E证明因为ΔABC,ΔABD,ΔABE的三边对应相等，所以ΔABCΔABDΔABE，所以∠ABC=∠ABD=∠ABE；又因为C、B、E在一条直线上，所以∠ABC=∠ABE=90；所以∠ABD=90．即ABBC，ABBD．又知B、C、D有三点不共线，所以AB平面BCD，即旗杆和地面垂直．课练习41.答复以下问题：(1)直线l垂直于平面的一条直线m，是否能说l？(2)直线l垂直于平面的两条直线m,n，是否能说l？(3)直线l垂直于平面的无数条直线，是否能说l？(4)一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三边垂直？ACDACDB(第3题图)2.直线a∥平面，直线b，求证ab．3.如图，有一旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的一端先后放在地面上和B点不在同一条直线的两点C,D上．如果这两点和B点的距离都是6m，求证旗杆和地面垂直．图5-48mn(图5-48mn当直线与平面垂直时，有如下的性质：如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行．如图5-48中，m，n，则m∥n．这也是判定两条直线平行的另一个方法．PPO图5-49设P是平面外的一点，过点P向作垂线，垂足为O，线段PO的长就是点P到的距离，O也叫做点P在平面的正射影(简称射影)(如图5-49)．ACDB图5-50例4如图5-50，旗杆AB垂直于水平地面，从旗杆顶拉一条绳子下来，拉紧后在地面上点C,D处量得BC=BD=6m，且BCBD；假设ACDB图5-50解因为BCBD，所以CD=在等腰ACD中，CD2=AC2+AD2-2ACADcos∠CAD=(2-)AC2，解得AC2=．在RtABC中，AB2=AC2-BC2=-36=108+72,AB=15.25m．所以旗杆高约15.25m．课练习51.判断题(1)假设直线l平面，直线l1不平行于l，则l1不垂直于()(2)假设直线l∥平面，直线l1垂直于l，则l1垂直于()(3)假设直线l∥平面，直线l1不垂直于l，则l1不垂直于()(4)假设直线l,l1平行，由它们确定的平面为，假设直线ml，则m()ACDB(第2题图)B1(5)假设直线l,l1平行，由它们确定的平面为ACDB(第2题图)B1(6)过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直()2．如图，在例4中，假设旗杆立在平台顶上，无法得到垂足B，但绳子长度为16m，量得CD=8.5m，且BCBD，请计算旗杆顶离地面的距离．4.直线和平面所成的角l2l1图5-51l2l1图5-51直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足．lQ图5-52PA我们看图5-51，直线l1lQ图5-52PA应该怎样来度量这个角度呢？现在来讨论这个问题．设斜线l与平面交于A点，点P在l上，P在上的射影为Q；直线AQ叫做斜线l在平面上的正射影〔简称射影〕(图5-52)．可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角(图5-52中的)是l与所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫做l与所成的角，即：斜线和它在平面的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角．假设一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；假设一条直线与一个平面所成的角是0角，我们就说这条直线和平面平行或在平面．图5-53ABCDA1B1C1D1例5如图5-53，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长分别为AB=1图5-53ABCDA1B1C1D1解因为CC1底面ABCD，所以C1AC就是对角线AC1与底面ABCDAC===，CC1=AA1=3，所以tanC1AC===，所以C1AC=60即对角线AC1与底面ABCD的夹角为60．课练习61.过平面外一点P，可以作多少条与夹角为角0的斜线？你能说出这些斜线的斜足在平面的轨迹是什么吗？2.在正方体ABCD-A1B1C1D1(1)A1C1(2)D1B与面A1ADD1所成角的正切值．小结：作业：**职业技术教育中心教案教师姓名**授课班级12会计、通信授课形式新授授课日期2013年5月28日第15周授课时数4授课章节名称§9.4平面和平面的位置关系教学目的理解平面与平面平行的判定和性质理解平面与平面垂直的判定和性质理解二面角的概念及求值会应用二面角的概念解决简单的实际问题教学重点平面与平面平行的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质两面角的概念教学难点二面角平面角确实定平面垂直结论的应用更新、补充、删节容使用教具课外作业课后体会复习引入：新授：1.平面位置的根本关系两个平面,的位置关系就只有两种：(1)相交——此时必定相交成一条直线l；称l为交线；(2)平行——即没有公共点，记作∥．2.平面与平面平行(1)平面平行的判定如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．如图5-55，设l1，l2，l1l2={O}，且l1∥，l2∥，则∥．图5-56β图5-56ββ如果一个平面有两条相交直线，分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行(如图5-56)．垂直于同一条直线的两个平面平行画两个平面平行时，一般要使表示平面的两个平行四边形对应的对边分别平行．图5-57ABCDEFG例1如图5-57，E、F、G分别为空间四边形ABCD的边AB、AD及对角线图5-57ABCDEFG证明课练习11．两个平面的位置关系有哪几种？2.判断题：(1)假设平面的一条直线与平面平行，则与平行()(2)假设平面的两条直线分别与平面平行，则与平行()(3)假设平面的无数条直线分别与平面平行，则与平行()(4)假设平面的任何一条直线都与平面平行，则与平行()(5)过平面外一点，能作、且仅能作一个平面与平面平行()(6)过平面外一条直线，必定能作与平面平行的平面()(第4题图)EABCDA1B1C1D(第4题图)EABCDA1B1C1D1FF1E14.如图，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1棱AB、CDA1B1、C1,D1上的中点，证明：平面ED1∥平面BF1．(2)平行平面的性质两个平行平面具有下面的性质：如果两个平行平面都与第三个平面相交，则它们的交线平行．夹在两个平行平面间的平行线段相等．课练习2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证平面A1BD∥平面CD1B1证明横截一块长方体形状的木块，其截面不是矩形就是平行四边形．3.二面角和二面角的平面角在开门时常说把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间“角度〞的大小．这个角度如何度量呢？现在我们给出平面交角的定义．lOABβ图5-60平面的一条直线把平面分成两局部，其中的每一局部都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l、两个面分别为,的二面角记为二面角-lOABβ图5-60一个垂直于二面角-l-的棱l的平面，交l于点O，分别与两个半平面交于半直线OA,OB，则AOB叫做二面角-l-的平面角．显然，平面角的大小与垂直平面的位置无关．所以二面角的大小可用它的平面角来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称二面角是多少度．BACDEFBACDEF例2在图的空间四边形ABCD中，由它们的边和对角线组成的ABC,ADB,ADC和BCD都是等边三角形．(1)把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二面角？(2)证明这些二面角均相等；