空间向量运算的坐标表示

姓名年级性别学校学科教师上课日期上课时间课题15空间向量运算的坐标表示知识点1.设｛i,j,k｝为单位正交基底，即i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1),在此基底下，a=(a1,a2,a),b=(b,b,b),即a=ai+aj+ak,b=bi+bj+bk,根据向量线性运数与数量积运算的3 12 3/ 123 123定义及运算律，可得出a±b,Aaa・b,a±b,a〃b,lai及cos〈a,b〉的坐标表示.空间向量的线性运算及数量积的坐标表示设a=(a],a?,电〉b=(b],b2,b3),则：①a+b=； ②a_b=③入a=； ④a•b=向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示：设a=(。],a2,a3)，b=(b],b2，b3)，贝若a〃b(b尹0)，则 若a±b,则a*b=a1b1+a2b2+a3b3=0.®lal=[a-a=；④cos〈a,b〉a,bab+a2b2+a3b3

lallbl qa'+ag+ag.qb'④cos〈a,b〉向量坐标与其起点、终点坐标的关系将i、j、k的起点移到同一点O,以i、j、k的方向分别为x轴、j轴、乙轴正方向，建立空间直角坐标系O—xyz,则对空间任一点P,相对于原点确定了一个向量OP,设OP=xi+yj+zk,则(x,y,z)也就是点P的坐标，即以原点为起点的向量的坐标等于向量 的坐标.设A(x1，y1，&)、B(x2,y2，z2)，贝9AB=OB—OA=.一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的 坐标减去 坐标.注意：向量的坐标与点的坐标表示方法不同，a=(x,y,z)、A(x,y,z).类型一：向量运算的坐标表示例1：已知a=(2,—1,3)、b=(0,—1,2),求：(1)a+b； (2)2a—3b； (3)a-b; (4)(a+b)-(a—b).变式：1、已知向量a=(2,—3,1)、b=(2,0,3)、c=(0,0,2),则：(1)a•(b+c)=； (2)(a+2b)•(a—2b)=.— —设M(5,—1,2)、A(4,2,—1)，若OM=AB,则点B应为( )A.(—1,3,—3) B.(9,1,1)C.(1,—3,3) D.(—9,—1,—1)已知a=(2,—3,0)、b=(k,0,3),<a,b>=120°，则k=.已知a=(2,—1,3)、b=(—1,4,—2)、c=(7,7,入)，若a、b、c共面，则实数入=,类型二、向量平行与垂直的坐标表示例2：设向量a=(3,5,—4),b=(2,1,8),确定兀《的关系，使混+泌与z轴垂直.变式：1、若向量a=(—1,0,1)，向量b=(2,0,k),且满足a〃b，则k等于()2、设a=(1,5,—1)、b=(—2,3,5)，若(ka+b)〃(a—3b),则k=类型三：向量的夹角与长度例3：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是DQ、BD的中点，G在棱CD上，且CG=|cD,H为GG的中点，应用空间向量方法求解下列问题.(1)求证：EF±B1C； (2)求EF与qG所成的角的余弦值.变我・1正方体ABCD—ABCD中E是棱DD的中占PQ分别为纬段BDBD上的占日3BP=JAj«1、 1。111， 1 ，匚、^Q为刀J/V-<XiD1^1、 ， yD1P,BD=4DQ,求证：PQ±AE.2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、BB1的中点，则cosZEAF=,EF=课后练习：一、选择题1.已知A（3,—2,4）、B（0,5,—1），若OC^2AB，则C的坐标是（ ）D.(一D.(一2,TOC\o"1-5"\h\z已知空间四点A(4,1,3)、B(2,3,1)、C(3,7，—5)、D(x，—1,3)共面，则x的值为( )A.4B.1C.10 D.11已知a=(1,2，—y)、b=(x,1,2)，且(a+2b)〃(&—2)，则( )A.x=3，y=1 B.x=2，y=—4C.x=2，y=—4D.x=1，y=—1已知a=（2,4，x）、2=（2，y,2），若lal=6，a±2，贝9x+y的值是（ ）A.—3或1B.3或一1 C.—3D.1已知a=（x,2,0）、2=（3,2—x，x），且a与2的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A.x<—4 B.—4<x<0 C.0<x<4 D.x>46.已知向量a=(1,2,3)、2=(—2，—4，—6)，lcl=¥14，若(a+2)-c=7，则a与c的夹角为( )A.A.30° B.60°C.120°D.150°7.已知A（1,2,3）、B（2,1,2）、C（1,1,2），O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当DA・DB取最小值时，一 444 848 448 884点D的坐标为（ ）A.（3，3，3）B.（3，3，3） C.（3，3，3） D.（3，3，3）二、 填空题空间向量。=(一1,1,一2)、万=(1,一2,—1)、n=(x,必一2)，且n^b，则a・n=AABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,也)、B(—23，2,但、。(一1,0,扼)，则角A的大小为.三、 解答题11.已知点4(2,3,—1)、8(8,—2,4)、C(3,0,5)，是否存在实数x,使AB与AB+xAC垂直？12.已知A(1