专题05 直角三角形的性质与判定综合（四大类型） （含解析）

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专题05直角三角形的性质与判定综合（四大类型）

【题型1根据直角三角形的性质求角度】

（2023春惠来县期末）

1．在中，，若，则等于（）

A．B．C．D．

（2023春汉寿县期中）

2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（）

A．B．C．D．

（2023春济南期末）

3．在中，，，则的度数是（）

A．B．C．D．

（2022秋岳麓区校级期末）

4．在中，，，则的度数为（）

A．°B．C．D．

（2023大连一模）

5．如图，在中，，，点是上一点，将沿线段翻折，使得点落在处，若，则（）

A．B．C．D．

（2023春大兴区期末）

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB=50°，则∠DBE=．

（2023春菏泽月考）

7．如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为．

【题型2三角形板与平行线综合应用】

（2023历下区模拟）

8．如图，在中，，过点作．若，则的度数为（）

A．B．C．D．

（2023中山区一模）

9．如图，已知于点D，若，则的度数是（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

（2023和平区模拟）

10．如图，在中，，点在上，，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

（2023春龙岗区校级期中）

11．如图，在中，，点B在直线上，点C在直线上，且直线，，则的度数为（）

A．B．C．D．

（2023惠州校级模拟）

12．如图，直线，的直角顶点C在直线b上，若，则的度数为．

（2023春固始县期末）

13．如图，已知直线，的顶点在直线上，，，若，则的度数是．

【题型3直角三角形解答题综合应用】

（2023春社旗县期末）

14．如图，在直角中，是斜边上的高，．

求：（1）的度数；

（2）的度数．

对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：

(1)（已知），

________．

（________）．

________________（等量代换）．

(2)（________），

（等式的性质）．

（已知），

________________（等量代换）．

（2023春文山市期中）

15．如图，在中，，，过点作的平行线．求的度数．

（2023春江阴市期中）

16．已知在中，，D是上一点

(1)如图1，，求证：；

(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．

①如图2，若，求的度数；

②若，则的度数为（用含α的代数式表示）．

（2022春雁峰区校级期末）

17．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，．

(1)求的度数；

(2)求的度数．

解：（1）（已知），

______°，

（______），

______°______°（等量代换），

（2）（______），

_____（等式的性质），

（已知），

____________°（等量代换）．

（2022春镇平县月考）

18．如图，在中，，于，平分交于，交于F．

(1)如果，求的度数；

(2)试说明：．

（2022春南阳月考）

19．如图，在直角中，，于，平分交于点，交于点F．

(1)试说明．

(2)若，求的度数．

（2022春巴中期末）

20．如图，在中，，顶点B在直线PQ上，顶点A在直线MN上，BC平分，AC平分．

(1)求证：//；

(2)求的度数．

（2022春鄂城区期末）

21．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB，BD平分∠ABC，若∠A＝50°，求∠D的度数．

【题型4直角三角形全等的判定】

（2022春泾阳县期中）

22．已知：如图，点E、F在线段上，，，，，求证：．

（2022春横山区期中）

23．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．

（2022春华容县期末）

24．如图，，分别是的高，且，求证：．

（2023澜沧县模拟）

25．如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，，求证：．

（2023春金坛区期中）

26．如图，，垂足为E，与相交于点D，，求的度数．

（2023春禅城区校级期中）

27．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

（2023秋集贤县期中）

28．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．

参考答案：

1．D

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果．

【详解】解：在中，，，

，

，

故选：D．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．

2．D

【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．

【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是

，

故选D．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．

3．D

【分析】在直角三角形中，两个锐角互余，由此即可求解．

【详解】解：在中，，

，

，

，

，

，

故选：D．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．

4．B

【分析】根据直角三角形的性质计算可求解．

【详解】解：在中，，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

5．B

【分析】先由直角三角形的两个锐角互余求得，由，求得，再由翻折的性质得，则．

【详解】解：，，

，

，

，

由翻折得，

，

故选：B．

【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质等知识，求得，再由翻折的性质求出的度数是解题的关键．

6．25°．

【分析】证明∠CAD＝∠DBE即可解决问题．

【详解】∵∠C=∠E=90°，∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠DAC．

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD∠CAB=25°．

故答案为：25°．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7．35°

【分析】由直角三角形两锐角互余及∠BAE＝20°，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得答案．

【详解】在Rt△ABC中，，

，

，

，

AC的垂直平分线DE交AC于点D，

，

，

故答案为：35°．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

8．C

【分析】利用平行线的性质可求得出的度数，然后在中利用三角形内角和定理即可求出的度数．

【详解】解：∵，，

∴，

∵在中，，，

∴．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是是解题的关键．

9．B

【分析】根据垂直的定义和三角形的内角和定理，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得解．

【详解】解：，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选：B．

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，对顶角相等．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．

10．C

【分析】由，得，而，即有，故．

【详解】解：，

，

∵，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查直角三角形性质，平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线性质，能灵活运用三角形内角和定理．

11．C

【分析】根据平角的定义，求出，，得到，利用直角三角形的两个对角互余，进行求解即可．

【详解】解：如图，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查利用平行线的性质求角的度数．正确的识图，找准角度之间的关系，是解题的关键．

12．50°##50度

【分析】如图：由平行线的性质可得，然后根据平角的性质可得即可求得．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案为50°．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．

13．##70度

【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，再根据平行线的性质解答即可．

【详解】解：如图，

在中，，，

则，

，

，

是的外角，

，

∵，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、对顶角性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

14．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据垂直和外角的定义即可求出答案．

（2）利用外角的定义和直角三角形的定义即可求出答案．

【详解】（1）解：（已知），

．

（外角的定义）．

（等量代换）．

（2）解（外角的定义），

（等式的性质）．

（已知），

（等量代换）．

【点睛】本题考查了外角的定义和直角三角形的定义，解题的关键在于知道题目过程的思路．

15．

【分析】利用三角内角和得出，再利用得出即可．

【详解】解：在中，

，，

，

，

．

【点睛】本题考查直角三角形的性质和平行线的性质，掌握直角三角形，两锐角互余是解题关键．

16．(1)见解析

(2)①；②或

【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；

（2）①由，得，再结合（1），得，再由折叠的性质即可得到答案；②由，得，再结合（1），得的度数，再由折叠的性质即可得到答案；

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：①∵，

∴，

∴，

由题意得：，

∴；

②∵，

∴，

当时，在线段上，

；

当40时，在的延长线上，

，

∴当时，，

当时，．

故答案为：或．

【点睛】本题考查直角三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质．

17．(1)；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125

(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；；；35

【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；

（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．

【详解】（1）解：已知，

，

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．

等量代换．

（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，

等式的性质．

已知，

等量代换．

【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．

18．(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数；

（2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证．

【详解】（1）解：，，

，

平分交于，

，

；

（2）证明：，

，

，

，

，

平分交于，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得，，再根据同角的余角相等可得，等量代换即可证明．

（2）根据三角形的一个外角性质解答即可．

【详解】（1）解：，，

又，，

，

．

（2）解：，于，

，，

平分交于点，

，

．

【点睛】本题考查三角形外角的性质，余角的性质，本题证明的方法很多，可根据利用直角三角形两锐角互余来证明，也可根据三角形外角定理证．

20．(1)见解析

(2)

【分析】（1）先由角平分线的定义得，，再由，即可求得∠PAB+∠MAB=2∠ABC+2∠CAB=2(∠ABC+∠CAB)=2×90°=180°，即可由平行线的判定定理得出结论；

（2）先由平行线的性质得出，再由，即可由求解．

【详解】（1）证明：∵BC平分，

∴，

∵AC平分，

∴，

∵，

∴，

∴∠PAB+∠MAB=2∠ABC+2∠CAB=2(∠ABC+∠CAB)=2×90°=180°，

∴；

（2）解：由（1）知：，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

21．∠D=20°

【分析】由直角三角形的性质可求得的度数，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可．

【详解】解：，，

，

平分，

，

，

．

【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是求解的度数．

22．证明见解析．

【分析】根据得到，根据，运用证得，得到．

【详解】证明：∵，，

∴，

∵，

∴；

∴；

在和中

，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了直角三角形全等，熟练掌握直角三角形全等的判定及性质是解决问题的关键．

23．见解析

【分析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD＝CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．

【详解】解：连接BD，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

在Rt△ABD和Rt△CBD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），

∴AD＝CD，

∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，

∴∠E＝∠F＝90°，

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．

【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，正确作出辅助线，根据全等三角形的性质证得AD=CD是解决问题的关键．

24．证明见解析.

【分析】根据高的定义求出∠BEC=∠CDB=90°，根据全等三角形的判定定理HL推出即可；

【详解】证明：∵，分别是的高，

∴，

在和中，

，

∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

25．见解析

【分析】根据，得到，根据判定即可得到结论；

【详解】证明：∵，，

∴，

在和中，