类光测地线时的二维类空超曲面时类时曲线的形成

类光测地线时的二维类空超曲面时类时曲线的形成

众所周知，在广义的辩论中，不仅连接了固定点p和q的类光测地线（），而且通过共同骑既是p，连接了q的类时曲线。当p转换为二维空心俱乐部时，类似的结论是，当s的类光测地线0（）时，它与超俱乐部呈正相关。r（，q）对应于超俱乐部，但r（，q）对应于r（，q），即类光测地线0（）的变分，即。当s类曲线的变分向量场不是l类光测地线上的广义jcobi场时，这些类曲线倾向于类光测地线，它们的固有加速度趋于无限。我们首先给出类光测地线γ0(λ)的变分的准确含义:类光测地线γ0与超曲面φ正交,它的变分是C1映射σ:(-ε,ε)×[0,λq]→M,满足1)σ(0,λ)=γ0(λ);2)存在λ1,…,λn把区间0=λ1<λ2<…<λn=λqof[0,λq]分成n-1个分区间,σ在每个分区间(-ε,ε)×[λi,λi+1]上是C3的;3)对于每个常数u,u∈(-ε,ε)且u≠0,σ(u,λ)是类时曲线,记为γu(λ);4)σ(u,0)在二维超曲面φ上,σ(u,λq)=q.记γu(λ)的切矢为(∂∂λ)au≡vau,其中,va0满足类光测地线方程vb0Δbva0=0.(1)设曲线σ(u,λ)且λ=const的切矢为(∂∂u)a≡Ζa(u,λ),定义类光测地线γ0(λ)上的变分矢量场Zα(λ)为Zα(0,λ),则Zα(u,λ)对vαu的李导数为零,即vbuΔbΖα(u,λ)=Ζb(u,λ)Δbvau,(2)记gabvauvbu为-α2u,则-α2u=gabvauvbu.(3)用泰勒级数把-α2u展开,得-α2u=-α20+β1u+β2u2+0(u3),(4)其中α20=gabvα0vb0=0.(5)-α2u对u的一阶导数必须是零,即β1=∂(-α2)∂u|u=0=2∂∂λ[gabva0Ζb]=0,(6)也就是gabvα0Ζb=0,(7)即得-α2u=β2u2+0(u3),(8)其中β2=[12∂2∂u2(-α2u)]u=0是β2=[∂2∂λ∂u(gabvauΖb(u,λ))]u=0-[Ζa(λ)vd0Δd(vc0ΔcΖa(λ))+Rdcaevc0ve0Ζd(λ)Ζa(λ)].(9)类时曲线γu(λ)上的参数λ一般不是该曲线上的固有时τ,参数λ和τ之间的关系由下面几个公式决定:gab(∂∂τ)au(∂∂τ)bu=-1,(10)vau=(∂∂λ)au=(dτdλ)(∂∂τ)a.(11)由(3)式,可得(dτdλ)2=α2u.(12)同样,矢量˜Aua,定义为˜Aua=vcuΔcvua,(13)它与类时曲线γu(λ)上的固有加速度Aa不同:Aa的定义为Aa=(∂∂τ)bΔb(∂∂τ)a,(14)这两个矢量的关系为˜Aau=α2uAa+12α2uvauvbuΔbα2u,(15)由(15)和(8)式,计算得gabA˜uaA˜ub=αu4AaAa-14αu2[1αu2∂αu2∂λ]2=β22AaAau4+14β2[dβ2dλ]2u2+0(u3).(16)这是一个非常重要的公式.我们有另一个重要的公式Ζd(u,λ)ΔdA˜ua=Ζd(u,λ)Δd(vucΔcvua)=vudΔd(vucΔcΖa(u,λ))+RdcaevucvueΖd(u,λ).(17)选择沿类光测地线γ0(λ)平移的伪正交标架E1a,E2a,E3a,E4a,满足E4a=(∂∂λ)0a=v0a,gabEiaEib=1,i=1,2;gabEiaEib=0,i=3,4;gabEiaEjb=0,i=1,2,j=3,4gabE3aE4b=-1,gabE1aE2b=0,对于λ等于常数,上述标架的四个矢量是常矢量,可沿σ(u,λ)且λ=常数的曲线对它们进行平移,得到Eia(u,λ),i=1,2,3,4,满足当u=0时,Eia(0,λ)=Eia.这样矢量A˜ua可分解为A˜ua=∑i=14A˜uiEia(u,λ),(18)且有[(∂∂u)dΔdA˜ua]u=0=∑i=14[Eia(u,λ)(dA˜uidu)]u=0=∑i=14Eia(dA˜uidu)u=0.(19)由(17)式,并对其取极限u→0,得[(∂∂u)dΔdA˜ua]u=0=v0dΔd(v0cΔcΖa(λ))+Redcav0cv0eΖd(λ).(20)设(dA˜uidu)u=0=C˜i,i=1,2,3,4,则C˜i=v0dΔd(v0cΔcΖi(λ))+Redciv0cv0eΖd(λ),i=1,2,3,4,(21)由(7)式和黎曼曲率张量Rabcd的反对称性质可知,(21)式的第二部分与voa的缩并为零.这样由(20)式推出(dA˜u3du)u=0=C˜3=0,(22)故,有A˜u1=uC˜1+0(u2),A˜u2=uC˜2+0(u2),A˜u4=uC˜4+0(u2)‚gabA˜uaA˜ub=u2(C˜1C˜1+C˜2C˜2)+0(u3).(23)1)如果C˜1C˜1+C˜2C˜2＞0,从(8)式可得β2<0.除非在u趋于零时,A2=AaAa趋于无穷大;否则,(16)式与(23)式是相互矛盾的.所以,得到类时曲线γu(λ)的固有加速度在u趋于零时为无穷大.2)如果C˜1=0,C˜2=0,则变分矢量场Za的空间分量满足方程(21),即C˜i=v0dΔd(v0cΔcΖi(λ))+Redciv0cv0eΖd(λ),i=1,2,(24)它说明变分矢量场Za是类光测地线γ0(λ)上的广义Jacobi场.由于Za不恒等于零,但在q点为零,说明γu(λ)也是测地线.连接固定点q和二维类空超曲面φ的类光测地线γ0(λ),它与超曲面φ正交,假设沿该类光测地线存在一