欧拉方程的求解

.z.欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬仰跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰〞之一，人称“分析学的化身〞的盲人数学家欧拉〔LeonhardEuler,1707--1783〕.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线〞、“欧拉圆〞、“欧拉公式〞、“欧拉定理〞、“欧拉函数〞、“欧拉积分〞、“欧拉变换〞、“欧拉常数〞欧拉还是许多数学符号的创造者，例如用表示圆周率、表示自然对数的底、表示函数、表示求和、表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程〞.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比拟困难.本文在所学的欧拉方程的求解的根底上，对欧拉方程进展了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1形状为〔1〕的方程称为欧拉方程.〔其中，，，，为常数〕2.1二阶齐次欧拉方程的求解〔求形如的解〕二阶齐次欧拉方程：.〔2〕(其中,为常数〕我们注意到，方程〔2〕的左边、和的系数都是幂函数〔分别是、和〕，且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数来尝试，看能否选取适当的常数，使得满足方程〔2〕.对求一、二阶导数，并带入方程〔2〕，得或,消去，有.〔3〕定义2以为未知数的一元二次方程〔3〕称为二阶齐次欧拉方程〔2〕的特征方程.由此可见，只要常数满足特征方程〔3〕，则幂函数就是方程〔2〕的解.于是，对于方程〔2〕的通解，我们有如下结论：定理1方程〔2〕的通解为(i),〔是方程〔3〕的相等的实根〕(ii),(是方程〔3〕的不等的实根)(iii).〔是方程〔3〕的一对共轭复根〕〔其中、为任意常数〕证明〔i〕假设特征方程〔3〕有两个相等的实根:，则是方程〔2〕的解,且设，〔为待定函数〕也是方程〔2〕的解〔由于，即，线性无关〕，将其带入方程〔2〕，得,约去，并以、、为准合并同类项，得.由于是特征方程〔3〕的二重根，因此或,于是，得或,即,故.不妨取，可得方程〔2〕的另一个特解,所以，方程〔2〕的通解为.〔其中，为任意常数〕〔ii〕假设特征方程〔3〕有两个不等的实根:，则，是方程〔2〕的解.又不是常数，即，是线性无关的.所以，方程〔2〕的通解为.〔其中，为任意常数〕〔iii〕假设特征方程〔3〕有一对共轭复根：〔〕，则，是方程〔2〕的两个解，利用欧拉公式，有，,显然，和是方程〔2〕的两个线性无关的实函数解.所以，方程〔2〕的通解为.〔其中，为任意常数〕例1求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为，即,其根为：,所以原方程的通解为.〔其中，为任意常数〕例2求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为，即,其根为：，，所以原方程的通解为.〔其中，为任意常数〕例3求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为，即,其根为：,所以原方程的通解为.〔其中，为任意常数〕2.2二阶非齐次欧拉方程的求解〔初等积分法〕二阶非齐次欧拉方程：.〔4〕〔其中，为实常数，为实函数〕为了使方程〔4〕降阶为一阶线性微分方程，不妨设，,〔5〕则方程〔4〕变为，即,〔6〕根据韦达定理，由〔5〕式可知，，是一元二次代数方程〔3〕的两个根.具体求解方法：定理2假设，为方程〔2〕的两个特征根，则方程〔4〕的通解为.〔7〕证明因为，为方程〔2〕的两个特征根，于是方程〔4〕等价于方程〔6〕，令,代入方程〔6〕并整理，得和,解之，得方程〔4〕的通解为.由定理2知，只需要通过两个不定积分〔当〔7〕式中的积分可积时〕即可求得方程〔4〕的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3假设，为方程〔2〕的两个特征根，则〔i〕当是方程〔2〕的相等的实特征根时，方程〔4〕的通解为,〔ii〕当是方程〔2〕的互不相等的实特征根时，方程〔4〕的通解为,〔iii〕当是方程〔2〕的共轭复特征根时，方程〔4〕的通解为证明〔ii〕当是方程〔2〕的互不相等的的实特征根时，将方程〔1〕的通解〔7〕进展分部积分，得〔8〕〔iii〕当是方程〔2〕的共轭复特征根时，，再由欧拉公式有,,将其代入(8)式，整理可得方程〔4〕的通解为〔i〕的证明和〔ii〕类似.例1求方程的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为,所以由定理3，原方程的通解为〔其中，为任意常数〕例2求方程的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为，，所以由定理3，原方程的通解为〔其中，为任意常数〕例3求方程的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为，特征根为,所以由定理3，原方程的通解为〔其中，为任意常数〕在定理3中，假设令，则得到二阶齐次欧拉方程〔2〕的通解.推论方程〔2〕的通解为(i),〔是方程〔2〕的相等的实特征根〕(ii),〔是方程〔2〕的不等的实特征根〕(iii).〔是方程〔2〕的共轭复特征根〕〔其中，为任意常数〕2.3三阶非齐次欧拉方程的求解〔常数变易法〕三阶非齐次欧拉方程：.〔9〕〔其中，，为常数〕〔9〕对应的齐次方程为.〔10〕特征方程为.〔11〕定理4设是方程〔11〕的根，是方程的根，则〔9〕的通解为.〔12〕证明根据条件〔为任意常数〕是方程〔10〕的解.设是方程〔9〕的解〔其中是待定的未知数〕，将其代入方程〔9〕，整理得〔13〕因为是〔11〕的根，则,于是〔13〕式化为〔14〕这是以为未知函数的二阶欧拉方程.设为〔14〕对应的齐次方程的特征方程,〔15〕的根，则.从而.故方程〔1〕的通解为.定理5设是方程〔11〕的根，是方程〔15〕的根，则〔i〕当是方程〔11〕的单实根，是方程〔15〕的单实根，则〔9〕的通解为〔ii〕当是方程〔11〕的单实根，是方程〔15〕的单虚根，则〔9〕的通解为〔其中，〕(iii〕当是方程〔11〕的单实根，是方程〔15〕的重实根，则〔9〕的通解为,〔iv〕当是方程〔11〕的三重实根，方程〔15〕变为，有，则〔9〕的通解为.证明〔i〕因为是方程〔15〕的单实根，得〔14〕的通解为则〔9〕的通解为〔ii〕因为是方程〔14〕的单虚根，此时方程〔15〕有一对共轭虚根,得〔14〕的通解为则〔9〕的通解为〔其中，〕〔iii〕因为是方程〔15〕的重实根，得〔9〕的通解为.〔iv〕当是方程〔10〕的三重实根〔〕，方程〔15〕变为，有，将，代入〔12〕式得,对上式分部积分得〔9〕的通解为.例1求三阶欧拉方程的通解.解原方程对应的齐次方程为,其特征方程为，解得其特征根为，，，取，将，，，代入方程〔15〕，得,解得或，利用定理5〔i〕的通解公式有.〔其中，，为任意常数〕例2求三阶欧拉方程的通解.解原方程对应的齐次方程为,其特征方程为，从而解得特征单实根为，将，，代入方程〔15〕，得到，解得.令，则，，利用定理5〔ii〕的通解公式有〔其中，，为任意常数〕2.4阶齐次欧拉方程的求解〔求形如的解〕令是方程〔1〕的解，将其求导〔需要求出、、〕代入方程〔1〕，并消去，得.(16〕定义3以为未知数的一元次方程〔16〕称为阶齐次欧拉方程〔1〕的特征方程.由此可见，如果选取是特征方程〔16〕的根，则幂函数就是方程〔1〕的解.于是，对于方程〔1〕的通解，我们有如下结论：定理6方程〔1〕的通解为〔其中，，为任意常数〕，且通解中的每一项都有特征方程〔16〕的一个根所对应，其对应情况如下表：方程〔16〕的根方程〔1〕通解中的对应项单实根：给出一项：一对单共轭复根：给出两项：重实根：给出项：一对重共轭复根：给出项：例1求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为,整理，得，其根为，，所以原方程的通解为.〔其中，，，为任意常数〕例2求方程的通解.解该欧拉方程的特征方程为，整理，得，其根为，〔即一对二重共轭复根〕，所以原方程的通解为.〔其中，，，为任意常数〕3.完毕语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决方法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在围对齐次欧拉方程求解的，如果要在围对其求解，则文中的所有都将变为，所得的结果和围的结果相似.4.致经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储藏，这也是写作的根底.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问教师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获〞的.在这里首先要感我的指导教师胡宏昌教授.胡教师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬仰胡教师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感大学四年来我的所有的教师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的根底.最后祝各位评审教师身体安康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.：高等教育，2006:142-144.[2]华东师大学数学系.数学分析〔上〕[M].第3版.：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.：高等教育，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，克