抛物线复习题及答案

[例1]给定抛物线，设A（）（），P是抛物线上的一点，且，试求的最小值。解：设（）（）则∴∵，∴（1）当时，，此时当时，（2）当时，，此时当时，[例2]过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求。解：当时，直线AB的方程为由得A（）、B（，）∴当时，直线AB的方程为由得设A（）、B（），则∴[例3]过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆通过抛物线的焦点？解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为由得∵直线与抛物线交于M、N两点∴即，，设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）∵以线段MN为直径的圆通过抛物线的焦点∴MF⊥NF∴即又，，且、同号∴解得∴即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆通过抛物线的焦点。[例4]过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为由得∴又∵，∴∴∴又[例5]如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。解：由解得A（4，4）、B（1，），知，因此直线AB的方程为设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离∵∴∴从而当时，因此，当点P坐标为时，[例6]已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范畴。解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3）直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知当不不大于零且不大于BC的斜率时满足题意而，故。[例7]设抛物线的焦点为F，通过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC通过原点O。证法一：由于抛物线的焦点坐标为F（）因此通过点F的直线AB的方程为代入抛物线方程得0设A（）、B（），则∵BC//轴，且点C在准线上∴点C的坐标为故直线OC的斜率为即也是OA的斜率，因此直线AC通过原点O证法二：如图所示，设轴与抛物线准线的交点为E，过点A作AD⊥，D为垂足则。连结AC，与EF相交于N，则，根据抛物线的几何性质，得，∴∴点N是线段EF的中点，与抛物线的顶点O重叠∴直线AC通过点O证法三：设A（）、B（），由已知C得直线AC的方程为，把原点的坐标代入，得运用得上面等式恒成立∴直线AC通过点O证法四：设A（）、B（），由已知得C（），∴又∵O是公共点∴A、O、C共线，即AC过点O[例8]如果抛物线上总有有关直线对称的相异两点，试求的范畴。办法一：设抛物线上有关对称的相异两点坐标为A（）、B（）∵两点都在抛物线上∴（1）－（2），得∵∴（3）（3）代入（2），得∵，且相异∴∴∴的取值范畴是（）办法二：设抛物线上有关直线对称的两点所在直线方程为，代入，得∵，且两点为相异两点∴即（1）设两对称点为A（）、B（）则，又∵∴，即（2）（2）代入（1），得∴的取值范畴是（）【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题：1.等腰直角三角形AOB内接于抛物线，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则的面积是（）A.B.C.D.2.已知点（）在抛物线上，则的最小值是（）A.2B.3C.4D.03.已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若且的垂心恰是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（）A.B.C.D.4.已知点A（），的焦点是F，P是上的点，为使获得最小值，P点的坐标是（）A.B.C.D.5.抛物线与直线的一种交点是（1，2），则抛物线的焦点到直线的距离为（）A.B.C.D.6.抛物线的焦点F，点P在抛物线上，若，则P点的坐标为（）A.B.C.或D.7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于A（）、B（）两点，如果，那么（）A.10B.8C.6D.48.过抛物线（）的焦点F作始终线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则的值为（）A.B.C.D.二.填空：1.过抛物线的焦点，倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为。2.抛物线的焦点为F，准线交轴于点R，过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥于点Q，则梯形PQRF的面积是。3.线段AB是抛物线的一条焦点弦，且，则线段AB的中点C到直线的距离是。4.抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上点A（）到焦点的距离为5，则抛物线方程为。三.解答题：1.已知抛物线上有三点A（）、B（）、C（）且，若线段AB、BC在轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列。2.过抛物线的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程3.设抛物线的焦点为F，通过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥轴。证明：直线AC通过原点O。

【试题答案】一.1.B2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.C二.1.162.143.4.或或三.1.证明：根据题意，得，即、、成等差数列又由抛物线的定义得，，∵∴、、成等差数列2.解：设线段AB的中点为P（），OA的斜率为，则直线的方程为由得或依题意得A点的坐标为A（，）∵OA⊥OB∴OB的斜率为，直线OB的方程为由得或∴B点的坐标为线段AB的中点P（）满足即（2）式平方后减去（1）×3，得为所求。3.证明：∵抛物线的焦点为F（）∴通过点F的直线AB的方程可设为代入抛物线方程，得设，则是该方程的两根∴∵BC//轴，且点C在准线上∴点C的坐标为（）∴直线OC的斜率为即也是直线OA的斜率∴直线AC通过原点O1、通径是过焦点的弦中最短的弦2、对y^2=2px来说，过焦点的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，则y1*y2=-p^23、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，(1/AF)+(1/BF)为定值4、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，过A作AA1垂直于准线于A1，过B作BB1垂直于准线于B1，M为A1B1中点，则AM⊥MB5、对y^2=2px来说，过焦点F的弦与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则AC过原