九年级数学下圆综合复习计算

切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A、（1）（2）（3）B、（2）（3）（5）C、（2）（4）（5）D、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC是⊙O的割线，A点是⊙O上一点，且．·OPA·OPABC例3．如图所示，已知：梯形ABCD中AB∥CD，∠A=，腰BC是⊙O的直径，且BC=CD+AB．求证：AD和⊙O相切．ABDABDC例4．如图所示，已知：两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E．求证：CD是小圆O的切线．··ACBDO例5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC为弦，C为弧AD的中点，过C作BD的垂线交BD的延长线于E点．求证：CE与⊙O相切．DD·CAOBEBOADCE例6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径为BOADCE【课堂练习】一．填空题：1．以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为，，.2．已知⊙O的直径为，点O到直线的距离是方程的根，则直线与⊙O的位置关系是．3．两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切,则AB=cm.4.如图1，AB是⊙O的直径，直线MN切半圆于C，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=，BN=，则AB=.5．如图2，AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=，∠ACD=，若半径为，AC=．6．经过圆的直径两端点的切线必互相．7．如图3，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于C，交AB的延长线于M，∠ACN=，∠M=。8．如图4，P为⊙O外一点，PB切⊙O于B，连结PO交⊙O于A，已知OB=5cm，则PB=．··ABDCO图2·OBMCNA图3·OPBA图4·CAOBN图1M二．选择题：1．如图5所示，PA切⊙O于A，PA=，PO交⊙O于B，，则PB的长为（）A、1cmB、2cmC、1.5cmD、2．如图6所示，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P=，则∠C=（）A、B、C、D、3．已知直径为13cm的圆，圆心到直线的距离是6.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点个数是（）A、0个B、1个C、2个D、不能确定4．如图7，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=，以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3，BC=4，则CD的长为（）A、7B、3.5C、D、以上答案都不对·CBO·CBOAP图6C·ABODDE图7·AOBP图5三、解答题：·ABCEOD1．如图所示，已知：AB是·ABCEOD·ABCEOD2．如图所示，中，，以AC为直径作·ABCEOD三角形的内切圆【知识要点】三角形的内接圆，三角形的内心，圆的外切三角形，以及相应的多边形的内切圆，圆的外切多边形．本节课通过作图题引入新的概念，说明作三角形的外切圆的重要性，另外学生要深刻理解三角形的内心的实质：三角形三个内角平分线的交点．这对于解相关问题起点睛的作用．常用公式：已知三角形ABC三边分别为a,b,c面积为s，则其内切圆半径r=;若该三角形为直角三角形，∠C=，则则其内切圆半径r=;若等边三角形边长为m,则则其内切圆半径r=。【经典例题】·AOBC例1．如图所示，O是的内心，且∠BOC=．求·AOBC·AFEMDCB例2．如图所示，中，内切圆M与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．若·AFEMDCB例3．如图所示，点I是的内心，AI的延长线交边BC于点D，交外接圆于点E．（1）求证：IE=BE；（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．··ABICED·AFOCDBE例4．如图所示，，∠C=，AB=10，AC=8，BC=6，⊙·AFOCDBE·AFOCDBE例5.如图所示，∠C=，·AFOCDBE【典型练习】一、填空题1．如图1，在中，∠ABC=，∠ACB=，点O是内心，则∠BOC的度数为．2．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．3．等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则=．4．如图2，中，∠C=，⊙O是的内切圆，分别切BC、AC、AB于D、E、F，AB=8cm，OD=2cm，则的周长为cm．5．外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则的外心是的。6．圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为．7．的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=，则为三角形．图4·ABCODEF·图3ABCOD图1·OB图4·ABCODEF·图3ABCOD图1·OBCAAABCDO·EF图29．等腰中，AB=AC=13，的面积为60．求的内切圆的半径=．二、选择题1．半圆圆心在的斜边BC上，且半圆分别外切AB、AC于D、E，AB=4，AC=5，则半圆的半径R为（）A、B、C、D、2．如图4，的内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F，如果∠A=，∠EDF的度数为（）A、B、C、D、3．一定有内切圆的四边形是（）A、矩形B、菱形C、等腰梯形D、直角梯形4．等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是（）A、1::B、1::C、1:2:3D、1:2:5．等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于（）A、B、C、D、三、解答题·BDFCEAO·BDFCEAO2．如图所示，⊙O为的内切圆，切点分别是D、E、F，∠A:∠B:∠C=2:3:4．求∠EDF:∠DEF:∠EFD．··BDFCEAO切线长定理【知识要点】1、切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3、切线长定理的基本图形研究如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写出图中所有的全等三角形；(3)写出图中所有的相似三角形；(4)写出图中所有的等腰三角形．说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．【典型例题】：·APEMDBO例1．如图所示，过半径为5cm的⊙O外一点P引⊙O的切线PA、PB，连结PO交·APEMDBO例2．已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．ADCB·O例3．ADCB·O例4．如图所示，已知过⊙O的直径AB的两端及AB上任一点E作⊙O的三条切线AD、BC和CD，它们分别交于D、C两点．求证：为定值．··ADOBCE·ABCDO例5．如图，已知AD是⊙·ABCDO【典型练习】一、填空题1．⊙O是菱形ABCD的内切圆，半径为，∠A=，则菱形ABCD的边长为．2．如图1，外切于⊙O，D、E、F为切点，AB=5，BC=7，AC=8，则AD=，BE=，CF=．3．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为5，由P作⊙O的切线，切点为A，则PA的长为．4．已知点P为⊙O外一点，AP、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠APB=，则∠AOB=，∠POA=．5．如图2，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若⊙O的半么为5，AB=8，则PA=．AABCEFD图1·ABOP图2·ABOPED图3·ABCOPE图4二、选择题。1．PA、PB切⊙O于A、B两点，若点C为优弧AB上一点，若∠P=，则∠ACB=（）A、B、C、D、2．PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，则（）A、OP不一定垂直于ABB、OP不一定平分ABC、OP不一定垂直平分ABD、以上结论都不对3．如图3，∠APB=，PA、PB、DE均为⊙O的切线，则∠DOE为（）A、B、C、D、4．如图4，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，AC是直径，弦BC和切线PB所夹的角∠CBE=，则∠APB的度数为（）A、B、C、D、5．从圆外一点向半径为1cm的圆上引切线，其切线长为cm，则两切线所夹的角是（）A、B、C、D、以上都不对三、解答题·ABOECD1．如图所示，在中，∠BAC=，以AB为直径的·ABOECD·ABFCDOEG2．如图所示，AB为·ABFCDOEG·APCQB·APCQBO[课堂小练]1．如图1，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍到D，若∠DAC=，则∠D=．2．腰长为10cm，底边长为6cm的等腰三角形内切圆在两腰上切点间的距离为．3．如图2，PC为⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点A，过A的切线交PC于点D，CD:DP=1:2,AD=2cm，则⊙O的半径长为cm．4．若⊙O是四边形ABCD的内切圆，且AB=8，BC=7，CD=5，则AD=．5．PA、PB切⊙O于A、B，AB=，若⊙O的半径为，则PA·PB=．·AODBC图36．如图3，·AODBC图3·A·AODCP图2·ABODC图1弦切角【知识要点】1.弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。2.弦切角定理：3.迁移圆周角定理的证明方法先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况．将一般情况的证明转化为特殊情况：如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．如图(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，【典型例题】例1填空题：（1）如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于A点，∠A=，则∠DBE=（2）如图，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC=·A·ACPB例1（2）题ADCBP·例1（3）题···ABDC例1（1）题E（3）如图，已知直线BC切⊙O于点C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A=28°，∠B=26°，∠PDC=例2．如图所示，PA、PB切⊙O于A、B两点，PCD为割线．求证：··APBCOD例3．如图所示，⊙O是的外接圆，PD是⊙O的切线，与AC的延长线交于点P，D是切点，且BC∥DP．求证：··ACEDBPO例4．如图所示，内接于⊙O，AE是∠BAC的角平分线，交BC于E，过A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D．求证：（1）AD=DE（2）··ACEDBO例5．如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连ON，NP，下列结论中哪些是一定成立的，成立的给出证明。（1）四边形ANPD是梯形；（2）ON=NP；（3）DP·PC为定值；（4）PA为∠NPD的平分线AABCDNOP·ABEPFCDO·ABEPFCDO【典型练习】一、填空题1．一条弦把圆周分成1:3两部分，过这条弦的一端引圆的切线，则所成的弦切角的度数为．2．如图1，AB是⊙O的直径，C是AB的延长线上一点，且BC=OB，CD切⊙O于D，则∠A=．3．如图2，CB、CD切⊙O于B、D，直径DA的延长线交CB于E．若AB的度数为，则∠BDC=，∠C=，∠E=．4．如图3，AB为⊙O的直径，DE切⊙O于点C，AD⊥DE于D，若∠CAD=，则AC的度数为，∠BAC=，∠BCE=．A·OBCD图1·BCEDA图3A·OBCD图1·BCEDA图3·AOBED图4FC··AEBCDO图2二、选择题1．如图4，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点B，点C、D是⊙O上的点，弦切角∠CBE=，AD=CD，则∠BCD的度数（）A、B、C、D、2．如图5，以等腰直角三角形ABC直角边AC边直径的圆交斜边AB于D，过D的切线交BC于E，设AC=，则CE+DE=（）A、B、C、D、3．如图6，内接于⊙O，EC切⊙O于点C，若∠BOC=，则∠BCE=（）A、B、C、D、4．如图7，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切⊙O于B，DC的延长线交MN于G，若，则的值为（）A、B、C、1D、5．如图8，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过点B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于点E，若AE平分∠BAD，则∠ABD=（）A、B、C、D、·ACDE·ACDEBO图8·ABMGNOADC图7··ABCOE图6·AADBEC图5·A·ACBEODF1．如图，已知DA与⊙O相切于点A，CE∥AD．求证：2．如图所示，内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BD∥AC、BD相交于点E．·ABD·ABDCOEMN3．已知，如图所示，⊙O的弦AB的延长线和过点E的切线相交于点P，∠APE的平分线和AE、BE分别相交于点C、D．求证：（1）EC=ED；（2）．··APBECDO与圆有关的比例线段【知识要点】1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点的到割线与圆交点的两条线段的比例中项．4．切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等．（图示）相交弦定理及推论BPBPTOA图形OOBDACPOOBDACPDDPBOAC条件弦AB与弦CD相交于P点弦CD垂直于直径AB于PPT是⊙O切线，PAB是割线PAB、PCD均为QO的割线结论PA·PB=PC·PDPC2=PA·PBPT2=PA·PBPA·PB=PC·PD5、垂径定，：切线长定理，射影定理，相交弦定理，切割线定理之间的关系，如图所示，PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点，PCD为过O的割线。连结AB交PD于E，则有下列结论：BPADOEC（1）PA2=PBBPADOEC（2）AE2=BE2=DE·CE=OE·PE；（3）AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；（4）OA2=OC2=OE·OP=OD2；（5）AC=BC·AD=DB，PD⊥AB；（6）∠AOP=∠BOP，∠APD=∠BPD。【经典例题】·DBAP·DBAPCTO·PAQODCB例2．如图所示，PAB和PCD为⊙O的割线，PQ是·PAQODCB·APODC例3．已知：如图所示，PA切⊙O于点A，D是⊙·APODC·ACTBDPO例4·ACTBDPOABCD例5．如图所示，内接于⊙O，DA切⊙ABCD【典型练习】一、填空题1．圆内两条弦AB、CD相交于点E，AE=BE，CD=9，DE=4，则AB=.2．在⊙O中，弦AB平分弦CD于点E．若CD=8cm，AE：BE=3：1，则AB=cm．3．从圆外一点引圆的切线长为20cm，再从圆外的这一点引圆的最长的割线为50cm，则圆的半径为cm．4．⊙O的半径是，P是⊙O内一点，OP=，AB是过点P的弦，则．5．AB是⊙O的直径，P是AB上一点，PC⊥AB交⊙O于C，连结OC，若AP=，PB=则]OC=，PC=．6．如图1所示，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=4cm，PB=2cm，则⊙O的面积为．7．如图2所示，PA切⊙O于点A，⊙O的半径为3cm，OP=6cm，则PA=cm．·OAPBC图1··OAPBC图1·O图2AP·OABDCP图3ABPQCD图4二、选择题1．如图3所示，直径AB=20，在0B上取一点P，使0P=8，过点P的弦CD被P点分成4:9两部分，则弦CD的长为（）A、10B、12C、13D、142．如图4所示，正方形ABCD，以D为圆心，以DA为半径的圆与以AB为直径的圆交于点P，AP的延长线交BC于Q，则CQ和QB的关系是（）·OABDC·OABDCP图53．如图5所示，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成圆环的面积是·OABDC·OABDCE图6EC=2，则⊙O的直径长为（）A、B、C、D、三、解答题1·AOBPCDT．如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，过点B的切线和PT交于点C，和AT的延长线交于D．（1）求证：为等腰三角形．（2）当·AOBPCDTA·ODBBMBNBA·ODBBMBNBC与圆有关的计算【知识要点】线段的计算：通过弦、半径、弦心、弦距之间的关系，构造直角三角形求解。弧的计算：（1）圆的周长；（2）弧长。角的计算：通过圆心角、圆周角、弦切角及其关系求解。面积的计算：（1）圆的面积；（2）扇形面积；（3）弓形面积。【经典例题】一、多边形的有关计算1．主要考点：设正多边形的边数为n，边长为an，半径为Rn，边心距为rn，中心角为，内角为，周长为Pn，面积为Sn，则求：中心角；边心距，周长，面积2．重难点突破：①将正多边形的计算问题围化为角平直角三角形的问题；②正多边形的有关计算公式例1用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地，试问造用哪一种方案，使围成的场地面积较大？并说明理由。举一反三练：1．半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A、 B、 C、3:2:1 D、1:2:3ABC2．如图三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每边都与其中两个圆相切，那么△ABCA、B、C、D、3．如图是五角星，已知AC=a，求五角星外接圆的直径。AABCDEMO二、弧长计算1．主要考点：弧长计算2．重难点突破：弧长公式：，已知、、中任意两个量可求分第三个量，由此可见求弧长关键要有两个量：圆心角的度数n和半径，同时应注意圆心角应以度为单位。…例2如图，大半圆的弧长为，几个小圆互相外切，其直径之和等于大圆的直径，若几个小的半圆的总弧长，同下列关系成立的是（）…A、B、C、D、举一反三练：1、秋干拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，其小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所汤过的圆弧长为（）。A、B、2米 C、D、ABC2．如左下图，在△ABC中，∠C=90o，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90o，那么点A移动能走过的路线长是ABC3．如图，5个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲早沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，则下列结论不正确的是（）AAAA1A2A3BDEFGC、甲、乙同时到B点D、无法确定三、求阴影部分面积1．主要考点：阴影面