2018-2019学年江苏省南京市高淳区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年江苏省南京市高淳区九年级（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1、一元二次方程x2+x=0的根的是（）A.x1=0，x2=1 B.x1=0，x2=-1 C.x1=1，x2=-1 D.x1=x2=-1 2、为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（）A.随机抽取该校一个班级的学生B.随机抽取该校一个年级的学生C.随机抽取该校一部分男生D.分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生 3、如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积的比是（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：9 4、关于x的一元二次方程x2-（k+1）x=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A.k＞-1 B.k＜-1 C.k≠-1 D.k为任意实数 5、如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，弧AC=弧AE，∠B=118°，则∠D的度数为（）A.122° B.124° C.126° D.128° 6、二次函数y=-x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：A.m＞n B.m＜n C.m=n D.无法确定 二、填空题1、方程（x-2）2=9的解是______．2、甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，三人的测试成绩如下：甲

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10乙

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10丙

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10这三人10次射击命中的环数的平均数===8.5，则测试成绩比较稳定的是______，（填“甲”或“乙”或“丙”）3、已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为______．4、如图，在△ABC中，点E、D分别为AB与AC边上两个点，请添加一个条件：______，使得△ADE∽△ABC．5、关于x的一元二次方程x2+mx+2=0的一个根为-2，则另一个根为______，m的值为______．6、现有一半径为4cm半圆纸片，用这恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面半径为______cm．7、如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，EM•MF=12，则CD的长度为______．8、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是______m．9、在△ABC中，已知AB=2，AC=2，∠BAC=120°，则△ABC外接圆的半径长度为______．10、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=-1，下列结论正确的有______（填序号）．①若图象过点（-3，y1）、（2，y2），则y1＜y2；②ac＜0；③2a-b=0；④b2-4ac＜0．三、解答题1、解下列方程：（1）x2-2x-15=0；（2）2x（x-3）=6-2x．______2、光明中学全体学生1100人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：（1）填写表：中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩（单位：分）____________（2）估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．______3、小明的书包里只放了A4大小的试卷共4张，其中语文2张、数学1张、英语1张．（1）若随机地从书包中抽出2张，求抽出的试卷中有英语试卷的概率为______；（2）若随机地从书包中抽出3张，抽出的试卷中有英语试卷的概率为______．______4、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且∠ABD=∠ACD．（1）求证：；（2）求证：∠DAC=∠CBD．______5、用20cm长的铁丝围矩形．（1）若所围矩形的面积是16cm2，求所围矩形的长宽分别为多少cm？（2）能围成一个面积是30cm2的矩形吗？若能，请求长宽分别为多少cm，若不能，请说明理由．______6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），该函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…123…y…0-10…（1）求该二次函数的表达式．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为______；不等式ax2+bx+c＜3的解集为______．______7、如图，AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，四边形ABCD是平行四边形，BC交⊙O于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为5cm，弦CE的长为8cm，求AB的长．______8、某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了x元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销售利润为y元．（1）降价3元后商场平均每天可售出______个玩具；（2）求y与x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？______9、下面从认知、延伸、应用三个层面来研究一种几何模型．【认知】如图1，已知点E是线段BC上一点，若∠AED=∠B=∠C．求证：△ABE∽△ECD．【延伸】如图2，已知点E、F是线段BC上两点，AE与DF交于点H，若∠AHD=∠B=∠C．求证：△ABE∽△FCD．【应用】如图3，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是上一点，连接BD并延长交AC的延长线于点E；连接CD并延长交AB的延长线于点F．猜想BF、BC、CE三线段的关系，并说明理由．______10、已知二次函数y=（x-m）2-1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限？（直接写出答案）；（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．______11、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20，点D为AB边上一动点，若AD的长度为m，且m的范围为0＜m＜9，在AC与BC边上分别取两点E、F，满足ED⊥AB，FE⊥ED．（1）求DE的长度；（用含m的代数式表示）（2）求EF的长度；（用含m的代数式表示）（3）请根据m的不同取值，探索过D、E、F三点的圆与△ABC三边交点的个数．______

2018-2019学年江苏省南京市高淳区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题第1题参考答案:B解：∵一元二次方程x2+x=0，∴x（x+1）=0，∴x1=0，x2=-1，故选：B．把一元二次方程化成x（x+1）=0，然后解得方程的根即可选出答案．本题主要考查解一元二次方程的因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解．本题比较简单，属于基础题型．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:D解：因为要了解初中的视力情况范围较大、难度较大，所以应采取抽样调查的方法比较合适，本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析，故只有D符合实际并具有普遍性，故选：D．本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题考查了调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析，难度适中．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:C解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ACB，且相似比为1：2，∴△ADE与△ACB的面积的比是1：4，故选：C．根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:C解：∵一元二次方程x2-（k+1）x=0有两个不相等的实数根，∴△=[-（k+1）]2-4×1×0＞0，∴k≠-1，故选：C．根据判别式的意义得到△=[-（k+1）]2-4×1×0＞0，然后解不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:B解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC=180°-∠B=62°，∵弧AC=弧AE，∴∠ACE=∠AEC=62°，∴∠CAE=180°-62°-62°=56°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D=180°-56°=124°，故选：B．连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:A解：当x=-2和x=4时，y=-7，所以点（-2，-7）和点（4，-7）为对称点，所以抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线开口向下，点（0，m）到直线x=1的距离比点（3，0）到直线x=1的距离要小，所以m＞n．故选：A．先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，再比较点（0，m）和（3，n）到直线x=1的距离大小，然后根据二次函数的性质得到m、n的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．二、填空题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:5或-1解：开方得x-2=±3即：当x-2=3时，x1=5；当x-2=-3时，x2=-1．故答案为：5或-1．观察方程后发现，左边是一个完全平方式，右边是3的平方，即x-2=±3，解两个一元一次方程即可．本题关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:丙解：∵===8.5，∴S甲2=×[2×（7-8.5）2+3×（8-8.5）2+3×（9-8.5）2+2×（10-8.5）2]=1.05，S乙2=×[3×（7-8.5）2+2×（8-8.5）2+2×（9-8.5）2+3×（10-8.5）2]=1.45，S丙2=×[（7-8.5）2+4×（8-8.5）2+4×（9-8.5）2+（10-8.5）2]=0.65，∵S丙2＜S甲2＜S乙2，∴测试成绩比较稳定的是丙，故答案为：丙．根据方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，再利用方差的意义解答即可得出答案．此题主要考查了方差公式的应用，方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:3解：∵四条线段a，2，6，a+1成比例，∴，解得：a1=3，a2=-4（舍去），所以a=3，故答案为：3由四条线段a，2，6，a+1成比例，根据成比例线段的定义解答即可．此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:∠ADE=∠B或∠AED=∠C或=（答案不唯一）解：∵∠A=∠A∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或=时，△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADE=∠B或∠AED=∠C或=（答案不唯一）．要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:-1

3

;解：设方程另一根为x1，∵原方程为：x2+mx+2=0，∴-2+x1=-m，-2×x1=2，∴x1=-1，m=3．∴m的值为3；方程的另一根为-1，故答案为：-1，3．设方程另一根为x1，根据根与系数的关系可得出-2+x1=m、-2×x1=2，由此可得出x1与m的值，此题得解．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握“两根之和为-，两根之积为”是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:2解：，解得r=2cm．利用底面周长=展开图的弧长可得．解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:4解：连接CE，DF，∵∠E=∠D，∠C=∠F，∴△CEM∽△DFM，∴=，∴CM•DM=EM•MF=12，∵直径EF⊥CD，∴CM=DM，∴CM==2，∴CD=2CM=4，故答案为：4．连接CE，DF，根据圆周角定理得到∠E=∠D，∠C=∠F，根据相似三角形的性质得到CM•DM=EM•MF=12，根据垂径定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:解：过A作AD⊥CE于D，∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD⊥CE，∴四边形ABED是矩形，∵BE=5m，AB=1.5m，∴AD=BE=5m，DE=AB=1.5m．在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AD=5m，∴CD=AD•tan30°=5×=，∴CE=CD+DE=+1.5=（+）m．答：这棵树高是（+）m．故答案为：+．过A作AD⊥CE于D，根据题意得出AD=BE=5m，然后在Rt△ACD中利用锐角三角函数的定义求出CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论．本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，作出辅助线，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．---------------------------------------------------------------------第9题参考答案:2解：连接OA、OB、OC，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS）∴∠OAB=∠OAC=∠BAC=60°，∵∠OAB=60°，OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴OA=AB=2，故答案为：2．连接OA、OB、OC，证明△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质得到∠OAB=60°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．---------------------------------------------------------------------第10题参考答案:①②③解：①∵抛物线的对称轴为x=-1，∴（-3，y1）关于直线x=-1的对称点的坐标为（1，y1），∵-3＜-1＜1＜2，∴y1＜y2，故①正确；②由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故②正确；③对称轴为x=-1，∴=-1，∴b=2a，∴2a-b=0，故③正确；④由图象可知抛物线与x轴的交点有两个，∴△＞0，故④错误；故答案为：①②③．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．三、解答题---------------------------------------------------------------------第1题参考答案:解：（1）x2-2x-15=0，（x-5）（x+3）=0，x-5=0，x+3=0，x1=5，x2=-3；（2）2x（x-3）=6-2x，2x（x-3）+2（x-3）=0，2（x+1）（x-3）=0，x+1=0，x-3=0，x1=-1，x2=3．（1）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是此题的关键．---------------------------------------------------------------------第2题参考答案:4

4

解：（1）

中位数众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩（单位：分）4

4（2）随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：=×（1×2+2×9+3×13+4×14+5×12）=3.5（分）．估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.5×1100=3850（分）（1）根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；（2）算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．本题考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．---------------------------------------------------------------------第3题参考答案:

解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽出的试卷中有英语试卷的结果数为6，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为=，故答案为：；（2）∵从4张试卷中抽出3张有如下4种情况：（语、数、英）、（语、数、英）、（语、语、英）、（语、语、数），其中抽出的试卷中有英语试卷的有3种结果，所以抽出的试卷中有英语试卷的概率为，故答案为：．（1）先画出树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽出的试卷中有英语试卷的结果数，然后根据概率公式求解．（2）列举出抽出3张试卷的结果数，再从中找到抽出的试卷中有英语试卷的结果数，根据概率公式即可得．本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．---------------------------------------------------------------------第4题参考答案:证明：（1）∵∠ABD=∠ACD，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴；（2）∵，∴=，又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAC=∠CBD．（1）依据∠ABD=∠ACD，∠AEB=∠DEC，即可得到△ABE∽△DCE，进而得出比例式；（2）依据=，∠AED=∠BEC，即可判定△ADE∽△BCE，进而得出∠DAC=∠CBD．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．---------------------------------------------------------------------第5题参考答案:解：（1）设矩形一边长为xcm，则另一边长为（10-x）cm，由题意得：（10-x）x=16，解得：x1=2，x2=8，∴10-x=8或2．答：矩形的长和宽分别为8cm和2cm．（2）设矩形一边长为ycm，则另一边长为（10-y）cm，由题意得：（10-y）y=30，整理得：y2-10y+30=0．∵a=1，b=-10，c=30，b2-4ac=-20＜0，∴此方程无解．答：不能围成一个面积是30cm2的矩形．（1）设矩形一边长为xcm，则另一边长为（10-x）cm，根据矩形的面积可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）设矩形一边长为ycm，则另一边长为（10-y）cm，根据矩形的面积可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-20＜0，可得出此方程无解，进而可得出不能围成一个面积是30cm2的矩形．本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△＜0时，一元二次方程无解”．---------------------------------------------------------------------第6题参考答案:x＜1或x＞3

0＜x＜4

解：（1）设该二次函数的关系式为y=a（x-m）2+n，∵顶点坐标为（2，-1），∴y=a（x-2）2-1，∵该二次函数过点（1，0），∴0=a（1-2）2-1，解得a=1，即y=（x-2）2-1．（2）当（x-2）2-1=0时，x=1或x=3，∵抛物线开口向上，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜1或x＞3；当（x-2）2-1=3时，x=0或x=4，∵抛物线开口向上，∴不等式ax2+bx+c＜3的解集为0＜x＜4．故答案为：x＜1或x＞3，0＜x＜4．（1）由表格可得抛物线顶点坐标，设其顶点式，将（1，0）代入计算可得；（2）利用二次函数与一元二次不等式间的关系求二级可得．本题主要考查二次函数与不等式，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．---------------------------------------------------------------------第7题参考答案:解：（1）直线CD与⊙O相切，理由：∵AC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点A，∴AC⊥AB，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）连接AE，∵AC为圆的直径，∴∠AEC=90°，∵AB与⊙O相切于点A，∴AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∴∠AEC=∠BAC=90°，又∵∠ACE=∠BCA，∴△CAE∽△CBA，∴=①，又∵AC=2AO=10cm，EC=8cm，∴根据勾股定理可得，AE==6（cm），代入关系式①得，=，解得AB=7.5cm．（1）根据题意，易得∠BAC=90°，又由四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质AB∥CD，可得∠BAC=∠DCA=90°，故直线CD与⊙O相切，（2）连接AE，易得△CAE∽△CBA，进而可得=，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AE的值，代入关系式，可得答案．主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，以及坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系．---------------------------------------------------------------------第8题参考答案:46解：（1）降价3元后商场平均每天可售出玩具数量为：40+2x=40+2×3=46个；（2）由题意得y=（100-x-60）（40+2x）=-2x2+40x+1600，其中，x的取值范围是0＜x≤30；（3）y=-2x2+40x+1600=-2（x-10）2+1800（0＜x≤30），∴当x=10时，y有最大值1800，此时玩具的售价为100-10=90（元）．∴该商场将每个玩具的售价定为90元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1800元．故答案为：（1）46．（1）根据：降价后销量=降价前销量+增加的销量，列出代数式；（2）根据：每天的总利润=每个玩具利润×降价后每天的销售数量，可列出y关于x的函数关系式；根据降价后价格不小于进价，确定x的范围；（3）将（2）中函数表达式配方成顶点式，结合x的范围可求出最大利润．本题考查了二次函数及其应用问题，是中学数学中的重要基础知识之一，是运用数学知识解决现实中的最值问题的常用方法和经典模型；应牢固掌握二次函数的性质．---------------------------------------------------------------------第9题参考答案:解：【认知】证明：∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠A+∠B，又∵∠AEC=∠AED+∠DEC，∴∠A+∠B=∠AED+∠DEC，∵∠B=∠AED，∴∠A=∠DEC，又∵∠B=∠C，∴△ABE∽△ECD．【延伸】证明：∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠A+∠B，∵∠HEC是△EFH的外角，∴∠AEC=∠HFE+∠FHE，∴∠A+∠B=∠HFE+∠FHE，∵∠B=∠AHD，∠AHD=∠FHE，∴∠B=∠FHE，∴∠A=∠HFE，∵∠B=∠C，∴△ABE∽△FCD．【应用】猜想：BC2=BF×CE，证明：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠BDC+∠A=180°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠BDC=120°，∵∠FDE是△CDE的外角，∴∠FDE=∠E+∠DCE，∴∠E+∠DCE=120°，∵∠ACB=∠ABC=60°，∴∠CBF=∠ECB=120°，∴∠DCB+∠DCE=120°，∴∠E+∠DCE=∠DCB+∠DCE，∴∠E=∠DCB，又∵∠ACB=∠ABC=60°，∴△FBC∽△BCE，∴=，∴BC2=BF×CE．【认知】由∠AEC=∠A+∠B=∠AED+∠DEC，结合∠B=∠AED知∠A=∠DEC，再由∠B=∠C即可得证；【延伸】由∠HFE+∠FHE=∠A+∠B，由∠B=∠AHD=∠FHE知∠A=∠HFE，再由∠B=∠C即可得证△ABE∽△FCD；【应用】由∠BDC+∠A=180°及∠A=60°知∠BDC=∠FDE=120°，由∠ABC=∠ACB=60°知∠FBC=∠ECB=∠FDE=120°，与【延伸】解答过程同理可证△FBC∽△BCE得=，从而得出答案．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握三角形外角的性质、相似三角