机械振动课后习题集和规范标准答案第二章习题集和标准答案

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。解：设物体质量为m，弹簧刚度为k，则：mgk，即：k/mg/n取系统静平衡位置为原点x0，系统运动方程为：感谢阅读mx&kx0（参考教材P14）x20x&00解得：x(t)2costn,.2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设感谢阅读用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振谢谢阅读幅、周期及弹簧力的最大值。解：由题可知：弹簧的静伸长V0.850.650.2(m)感谢阅读g9.8所以：0.27(rad/s)nV取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：&2x0xn其中，初始条件：x(0)0.2（参考教材P14）&x(0)0所以系统的响应为：x(t)0.2cosnt(m)谢谢阅读弹簧力为：Fkx(t)mgx(t)cost(N)kVn因此：振幅为0.2m、周期为27(s)、弹簧力最大值为1N。精品文档放心下载,.2.3 重物m悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m从高感谢阅读1 2度为h处自由落到m上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。谢谢阅读1解：取系统的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x0，则谢谢阅读当m有x位移时，系统有：1(mm)x&2212T21kx2由()0&dEU可知：(mT12即：k/(mm)n12xm2g系统的初始条件为：0kmx&22gh0mm12（能量守恒得：m2gh1m&2）2(m12)x0因此系统的响应为：x(t)AcostAsint0n1n,.xmg其中:A00k2x&mg2ghkA10k2mmn12即：x(t)m2g(cost2ghksint)knmmn12,.2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k精品文档放心下载约束，如图所示，求系统的固有频率。解：取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0，则当m有感谢阅读转角时，系统有：E1&1&1&2I22m(r)22(Imr2)2T21k(r)2由(ETU)0可知：(I2&20dmr)kr即：kr2/(Imr2)（rad/s）n,.2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，感谢阅读试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。,.2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且k2k,kk。2131解：取m的上下运动x为坐标，向上为正，静平衡位置为原点x0，则当m谢谢阅读有x位移时，系统有：21mx&2TU1kx21kx25kx2（其中：kkk）2261211kk12由()0&5kx03T1即：5k3m（s）13m5k1n,.2.7 如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、精品文档放心下载以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。解：设物体重量W，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，则：W(Rr)(1cos)W(Rr)22感谢阅读&为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：c(Rr)&，即：(Rr)&&&记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为IA，则：谢谢阅读IIWr21Wr2Wr2ACg2ggET1&13Wr)(Rr&3W(Rr)&22222,.（或者理解为：121W2&，转动和平动的动能）ET2Ic&2g(Rr)由()03W&ETU可知：2g(Rr)2即： 2g （rad/s）n 3(Rr),.2.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。解：建立如图所示坐标系，系统平衡时x0，由牛顿第二定律得：谢谢阅读&(Ax)g0，即：Agmxnmxx00所以浮子的响应为：x(t)xsin(tAg)m2,.2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴谢谢阅读O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B谢谢阅读在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别感谢阅读m1，m2。解：两轮的质量分别为m,m，因此轮的半径比为：谢谢阅读1 2rm112 2由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：r&121r212取系统静平衡时0，则有：1E1(1mr&1(1mr&1(m&22222222242T1112221211U1k(r)21k(r)21(kk)(r)22111222221211由(EU)0可知：1(m2&(k2d2m)rk)r0T12111211,.即：2(k1k2)（rad/s），T2m1m2（s）nmm2(kk)1212,.2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。谢谢阅读解：取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时0，则当轮子有转精品文档放心下载角时，系统有：E1I&1P&1(IP&22(R)22gR2)2T2g21k(a)2由()0P2&2ET可知：(IgdUR)ka0ka22IPR2即：（rad/s），故Tg（s）P2ka2nIR2gn,.,.2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T，如果在m上附谢谢阅读加一个质量m1，则弹簧的静伸长增加Vl，求当地的重力加速度。感谢阅读解：mQT2k42mTQmgkVl1gkVl42mVlmTm1 1,.2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)精品文档放心下载中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。谢谢阅读解：取系统的摆角为坐标，静平衡时0（a）若不计杆重，系统作微振动，则有：E1(P&2gL2)2TPgL(1cos)21PgL2感谢阅读由()0P&ETU可知：g20即： g（rad/s）L如果考虑杆重，系统作微振动，则有：,.ET1P&11&1Pm&2(gL2)22(3mLL2)22(g3L)L22UPgL(1cos)mgL(1cos)(PmL)gL2L2g22由(ET)0Pm2&PmdU可知：(g3L)L(g2L)gL0(PmL)g即：g2（rad/s）n(PmL)Lg3（b）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：ET1P&11&1Pm&2(gL2)22(3mLL2)22(g3L)L22(Pgm2L)gL2221(k2)(L2)22感谢阅读(PmL)gkL即：g24（rad/s）n(PmL)Lg3（c）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：,.ET1P&11&1Pm&2(gL2)22(3mLL2)22(g3L)L22(Pgm2L)gL2221(k2)(L2)22精品文档放心下载kL(PmL)g即：4g2（rad/s）(PmL)Lng3,.2.13 求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。谢谢阅读答案：系统的运动微分方程mx&a2b2kx0a2感谢阅读,.2.14 一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组精品文档放心下载成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度精品文档放心下载EI＝1.66105N·m2。(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；谢谢阅读(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为 的弹性梁的一端，感谢阅读如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。wL3/(3EI),.2.16 求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为精品文档放心下载L。解：假设U形管内液柱长l，截面积为A，密度为，取系统静平衡时势能感谢阅读为0，左边液面下降x时，有：E1&2Axgxd(ETU)0可知：Alx&2gAx0谢谢阅读即：2g（rad/s），T2l（s）nlg,.2．17 水箱l与2的水平截面面积分别A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率。感谢阅读解：设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降x时，右谢谢阅读1边液面上升x，液体在水箱l与2和细管中的速度分别为x&,x&,x&，则有：感谢阅读2 1 2 3E1212122[A(hx)]x&2[AL]x&2[A(hx)]x&T11133222[AhAL(A1)2Ah(A1)2]x&2谢谢阅读213AA123 2（由于：hxh;hx&&&）121122331122UAxgx1x212,.由()0AAAETU可知：[h(1A)L(A)]x1g(1A)x10111&232A即：g(1A1)（rad/s）A2Anh(1A1)L(A1)23,.2.18 如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性感谢阅读液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周谢谢阅读期。试证明：2WT2T2gATT2212并指出的意义(式中液体阻尼力Fd= ·2Av)。精品文档放心下载,.2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示1lnx0，(式中xn是经过nnx精品文档放心下载n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。感谢阅读解：设系统阻尼自由振动的响应为x(t)；t时刻的位移为x；ttnT时刻的位移为x；则：00n0nxXent0cos(t)ennTd0d0nT)]xXen(t0nTd)cos[(tnd0d所以有：xx1xnTnnln，即：lnxndxnxn1n当振幅衰减到50%时，x0.5x，即：n1ln2ln2122n01)当0.01时，n11；要11个循环；谢谢阅读2)当0.1时，n1.1；要2个循环；谢谢阅读3)当0.3时，n0.34；要1个循环；感谢阅读,.2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为谢谢阅读k1=1.02105N／m，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架谢谢阅读垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比0.25，那么应给前悬架设计谢谢阅读多大阻尼系数(c)的悬架减振器?,.2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时感谢阅读所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数c的最谢谢阅读低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。谢谢阅读解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运感谢阅读动微分方程为：Px&cx&Px0g系统的阻尼比：cc2mkPP2g系统不振动条件为：1，即：c2P/g物体在平衡位置以初速度x0开始运动，即初始条件为：00x&00此时系统的响应为：（可参考教材P22）1)当1时：x(t)ett21Aet21)n(Aenn12,.A10其中：1,2221gnn2)当1时：x(t)AentAtent，其中：A0112A20即：x(t)tent03)当1时：x(t)ent(CcostCsint)1d2dC0其中：1，即：x(t)etC020/dnsindt12ddn,.2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N／m的驻退弹簧。如感谢阅读果发射时炮管后座1.2m，试求：①炮管初始后座速度；②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)；谢谢阅读③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。精品文档放心下载2.23 设系统阻尼比0.1，试按比例画出在＝0.5、1.0、2.0三种精品文档放心下载n情况下微分方程的向量关系图。2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的感谢阅读关系，并计算当0.2、 =5rad/s时系统的品质因子和带宽。感谢阅读n2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数，v是运动速谢谢阅读度)，激励为FFsint，当即共振时，测得振动的振幅为X，求0n激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0。精品文档放心下载,.2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F50cost(N)，精品文档放心下载系统在周期T＝0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。精品文档放心下载解：由T0.20s时共振可知，系统固有频率为：210nT当时，已知响应振幅：XF0，（参教材P30）nc所以：cF105(Ngs/m)0X,.2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它谢谢阅读的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。感谢阅读,.2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即精品文档放心下载Faxx0d22x0Faxd求其等效阻尼系数和共振时的振幅。解：实际上，这是一种低粘度流体阻尼。设系统的运动为：x(t)Xcos(t)谢谢阅读x&2dxc/wx&2d(A|H(w)|w)(wt)感谢阅读0/w[a|H(w)|w(wt)]2[|H(w)|wAsin(wt)]dx谢谢阅读0/waX3w3A3sin3(t)dt谢谢阅读A3/waw3X3sin3(t)dt精品文档放心下载0X3w2[2(0)2(0)3]34ax32d38ax3238ax32 CX23,.8a3x2e32.29Xcos(t)•xXsin(t)W/x•2dx2/x•2dx感谢阅读c0//2X2sin2(t)(2Xcos(t))dt谢谢阅读02/2X2sin2(t)(2Xcos(t))dt感谢阅读/8X323WWCX2P C8aX3XF03F0c8aX2X3F013F08axw22w22ann2.29,.F•2•xx0d•2•xx0Fdx4T/4x•2dx谢谢阅读ed04T/4x•3dx04T/4Z33cos3(t)dt谢谢阅读08Z323CZ2C8Z3ZF0Z3F0C8Z20,.2.30 KGlⅡ电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为 。当转速为nr精品文档放心下载／min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫精品文档放心下载振动。试求激励的幅值，不计阻尼。2.31 电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度 。转子重Q，偏心距精品文档放心下载为e。试求当转速为 时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。精品文档放心下载,.2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T—2.32)，并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为I，因而系统固有频率图T—2.32K/I，但因kT不能精确计nT算，必须用试验测定。为此固定升降舵，利用弹簧k2对调整片做简谐激精品文档放心下载n励，并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率。试以感谢阅读T T和试验装置的参数来表示调整片的固有频率。n解：设调整片的转角为，系统的微分方程为：&(kk)L2]kLysintI[kT122系统的共振频率为：2k(kk)L2T120I因此：kI2(kk)L2T012,.调整片的固有频率为：2k2(kk)L2T12nI0I,.2.33 如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。解：由题目2.33TL w2V TYcos2VtL••wXK(xy)

2VL••KYcos2VtwXL••KxKYcos2VtwXLwS2X(s)KX(s)KY2LV(2V)2s2L,.X(s)KY2L2KV(s2(2V)2)(ws2K)nwLX2n2Ysina2aYsint2a22a2nnnXY0YYwKL2YVw2222222n2KLVLk/w22.3322vTvLL••mXKXKy••X2X2yn nXYn2n22XYn2Yn2n22242v2nL2V2RL242m,.2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34)， =asin t。试求精品文档放心下载在微幅的强迫振动中偏角 的变化规律。已知摆长为L，摆锤质量为m。谢谢阅读2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600～2200r/min范精品文档放心下载围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少?感谢阅读2.36 试从式(2.95)证明：1.无论阻尼比取何值，在频率比/2时，恒有X＝A。n2.在/2，X/A随增大而减小，而在/2，X/Ann随增大而增大。2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz，阻尼比=0.65。试估计所能测感谢阅读量的最低频率，设要求误差≤1％，≤2％。,.2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的感谢阅读简谐振动，测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?谢谢阅读2.39 一振动记录仪的固有频率为fn＝3.0Hz，阻尼比 =0.50。用其测量精品文档放心下载某物体的振动，物体的运动方程已知为x=2.05sin4 t+1.0sin8 t (cm)精品文档放心下载证明：振动记录仪的振动z将为z＝1.03sin(4 t-500)+1.15sin(8 t-1200)(cm)精品文档放心下载,.2.40 求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。感谢阅读解：ah(t)1entsintmddh(t)1en(t)sin[(t)]mddh(t)1sintmddh(t2)1sin[(t)]mddX(t)tdcos(t)F1(cost)0nRnFt1sin(t)d(t)感谢阅读1 0mn nX(t)tF(t)h(t)dtF(t)h(t)dF1[cos(tt)]F2[1012Rn1Rt1,.X(t)t1F(t)h(t)d