新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选择性必修第三册

第七章7.3.2离散型随机变量的方差基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质.基础落实·必备知识全过关知识点1

离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称D(X)=

=

为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称

为随机变量X的标准差,记为σ(X).

该值一定为非负

(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn名师点睛随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.过关自诊随机变量的方差与样本的方差有何不同?提示

样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.知识点2

离散型随机变量的方差的性质1.一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).

b值不影响方差值2.一般地,随机变量X服从两点分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).过关自诊1.两点分布的方差是定值吗?提示

不是定值,仅与两点分布中P(X=0)或P(X=1)的值相关.2.若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为(

)

A.0.5和0.25 B.0.5和0.75C.1和0.25 D.1和0.75A解析

E(X)=p=0.5,D(X)=p(1-p)=0.5×0.5=0.25.3.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为(

)

A.2 B.3 C.4 D.5C解析

D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.4.设离散型随机变量X的分布列为

若Y=2X+2,则D(Y)=(

)D重难探究·能力素养全提升探究点一求离散型随机变量的方差【例1】

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,求X的方差.规律方法

1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:理解X的意义,写出X可能取的全部值↓求出X取每个值时的概率↓列出X的分布列↓由均值的定义求出E(X)↓利用公式D(X)=(xi-E(X))2pi求出D(X)2.已知随机变量Y=aX+b,求D(Y)时,注意D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)的应用,这样既可以避免求随机变量Y的分布列,又能避免复杂的计算,可简化计算

过程.变式训练1袋中有大小相同的四个球,编号分别为1,2,3,4,每次从袋中任取一个球,记下其编号.若所取球的编号为偶数,则把该球编号改为3后放回袋中继续取球;若所取球的编号为奇数,则停止取球.(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率;(2)若第一次取到球的编号为偶数,记第二次和第一次取球的编号之和为X,求X的分布列和方差.(2)若第一次取到编号为2的球,则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球;若第一次取到编号为4的球,则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个球.所以X的可能取值为3,5,6,7,所以X的分布列为

探究点二离散型随机变量的方差的应用【例2】

甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.解

E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165.由于E(X)=E(Y)>120,而D(X)<D(Y),故甲厂的材料稳定性较好.规律方法

离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定.本节要点归纳1.知识清单:(1)离散型随机变量的方差、标准差;(2)方差的性质;(3)方差的实际应用.2.方法归纳:公式法、转化与化归.3.常见误区:(1)易对方差公式套用错误;(2)对于标准差和方差的单位容易混淆.成果验收·课堂达标检测123451.设随机试验的结果只有A发生和A不发生,且P(A)=m,令随机变量

则X的方差D(X)等于(

)A.m

B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)D解析

显然X服从两点分布,∴D(X)=m(1-m).123452.若随机变量ξ的分布列如下,其中m∈(0,1),则下列结论正确的是(

)A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2ξ01PmnC解析

依题意,n=1-m,则E(ξ)=0×m+1×n=n=1-m,D(ξ)=[0-(1-m)]2m+[1-(1-m)]2(1-m)=m-m2.123453.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(

)A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4C.D(3X+2)=4 D.D(X)=AB12345123454.两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数X的方差D(X)=

.

12345123455.为选拔射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X,Y的分布列;(2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.12345解

(1)依据题意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.∴X,Y的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.212345(2)结合(1)中X,Y的分布列,可得E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)