勾股定理及两点间距离公式C学生版

学科教师辅导讲义年级：科目：数学学时数：课题勾股定理及两点距离公式授课日期及时段教学目的理解用面积割补法证明勾股定理的思路和勾股定理的推导办法；初步掌握勾股定理及其逆定理，能用勾股定理及其逆定理解决基本的有关证明的问题；掌握两点间距离公式.教学内容【知识梳理】直角三角形中，斜边不不大于直角边,勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.两点的距离公式：如果直角坐标平面内有两点，，那么、两点的距离为：【典型例题解说】题型一：【例1】已知在△中，∠=90°.（1）若，则.（2），则.（3），则.（4），则.【例2】直角三角形的两边长为3、4,则第三边长为___________，面积为.【例3】直角三角形的两边长为5和12，求第三边的长及斜边上的高.【例4】在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是()A.5,6,7B.32,42,52C.5,11,12D.5,12,13【借题发挥】A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形2．三角形三边长分别为a－b、2ab、a＋b（a＞b＞0）,则这个三角形为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不是直角三角形3．某直角三角形两直角边长的比为2：1，斜边长10cm，则该直角三角形的面积为4.直角三角形中,一条直角边比斜边上的中线长1厘米,如果斜边长是10厘米,则两直角边长是.题型二：【例5】已知：△中，.求高的长；求三角形的面积△。【例6】有一种角为30°的等腰三角形,若腰长为4,则腰上的高是,面积是.【例7】在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为【例8】三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是_________cm．【借题发挥】已知在△中，∠=90，°.（1）若∠=30°，则,.（2）若∠=45°，则,.2．已知等边△的边长是6厘米.求高的长；求△的面积△.已知直角三角形的两边长分别是和，求它的面积.题型三：【例9】以下图，字母B所代表的正方形的面积是；【例10】如图，在一块用边长为的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在点处，，鸽子吃完小朋友洒在、处的鸟食，最少需要走多远？【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，最少需多长的梯子？【例12】如图，有一种高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？【例13】有一种圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（的值取3）【例14】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，你能结合此图证明勾股定理吗？（四个直角三角形全等） CC【借题发挥】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一种男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数。3．如图：设甲到岛上去探宝，登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，碰到障碍后又向西走3千米，再折向北走6千米处往东一拐，仅1千米找到宝藏，问登陆点到探宝点的距离是多少？4．△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？ABABCabcS1S3S2ACabcS2S3BS15．你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种有趣的问题，这个问题的意思是：有一种水池，水面是一种边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端正好达成岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？7．求四个水平放置的正方形的面积的和.（即求）题型四：两点间距离公式【例14】求下列两点间的距离：（1）和（2）和（3）和（4）和（5）和（6）和【例15】已知三角形三个顶点的坐标，判断三角形的形状.（1）、、（2）、、（3）、、（4）、、（5）、、（6）、、【例16】在角坐标平面内，已知、两点的坐标分别为、，线段的垂直平分线交轴于点，求点的坐标【借题发挥】在直角坐标平面内，已知△是等边三角形，且、两点的坐标分别为、.（1）求点的坐标.（2）如果△内一点到三角形三边的距离都相等，求点的坐标.【随堂练习】填空题：1．在直角三角形中，两条直角边分别为5,12，则斜边上的高为.2．若长方形的一条对角线与一边的差为，另一条边长，则这个长方形的面积等于平方厘米.3．若3是有关的方程的解，那么觉得边的等腰三角形的面积为.4．如图所示，在△中，是边上的中线，且⊥于，,如果将△绕点旋转180°，将交点转到点的位置，那么.5．如图，△为等边三角形，边长为，为中点，⊥，垂足为，∥交于，则△的周长是.选择题：1．在△中，∠=90°，∠=30°，，则此三角形的周长为（）A.;B.;C.;D..2．已知△的三边都是整数，两条直角边长度的比是3:4，则斜边的长可能是（）A.9;B.10;C.12;D.14.3．已知，下列各点中在线段垂直平分线上的点有（）①②③④A.1个;B.2个;C.3个;D.4个.4．三角形三个内角的度数比为，那么它的三条边的长度之比为（）A.;B.;C.;D..5．已知直角三角形有一条直角边长11厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为（）A.120厘米;B.132厘米;C.144厘米;D.156厘米.解答题：1．如图，在△中，，∠=90°，，平分∠交于点，若.求：的长,2．在△中，∠=90°，中线的长为7，中线的长为4.求：的长3．已知和在轴上找一点，使△为直角三角形.4．四边形中，∠=60°，∠=∠=90°，.（1）求、的长；（2）求四边形的面积.【课堂总结】【课后作业】1．如图所示，在平行四边形中，⊥于，⊥于，∠=120°，，则平行四边形的面积为平方厘米.2．在△中，，∠=60°，则的长为.3．如图所示，在扇形中，，∠=120°，那么阴影部分的面积等于.4．已知弓形的高为，弦长为，则弓形所在圆的半径为.5．在直角坐标平面内有三个点，则以这三个点为顶点的△是三角形.选择题：1．下列列各组数为三边长的三角形中，不能构成三角形的是（）A.;B.;C.;D..2．在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（）A.偶数;B.奇数;C.自然数;D.以上结论都不对.3．在下列命题中，真命题有（）①有一种角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形；②有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形；③三条边长分别为的三角形是直角三角形；④三个外角的度数之比为的三角形是直角三角形.A.4个;B.3个;C.2个;D.1个.4．在△中，斜边上的中线，直角边，则直角边的长等于（）A.30;B.32;C.33;D.34.5．若直角三角形三边、、满足整式则的形状为（）A.等腰三角形;B.等边三角形;C.等腰直角三角形;D.直角三角形.解答题：1．如图，已知△中，∠=90°，点为的中点，⊥于.求证：.2．如图，在△中，∠=90°，，以点为圆心，的长为半径作弧，交斜边于.求的长.3．如图，某船向正东航行，在处望见某岛在北偏东60°方向，迈进6海里到点，此时又测得岛在北偏东30°方向，已知在该岛周边6海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁危险，请阐明理由.4．给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．…(1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子；(2)请你证明你所发现的规律．5．在直角坐标平面内，已知△是直角三角形，且∠=90°，点在轴上，、两点的坐标分别是、，求点的坐标.6．在直角坐标系内，已知△是等腰三角形，、两点的坐标分别为（0,0）、（3,4），点在轴上，求点的坐标.二、综合提高练习1.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中