高中数学人教A版（2023）必修1 4.5 函数的应用（二）之二分法、零点 解答题专项练习题（含解析）

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4.5函数零点解答题专项

一、解答题

1．（2023高三上·潮州月考）设是定义在实数集上的函数，且对任意实数满足恒成立

（1）求，；

（2）求函数的解析式；

（3）若方程恰有两个实数根在）内，求实数的取值范围.

2．（2023高二下·白山期末）已知函数.（参考数据：.）

（1）讨论的单调性；

（2）若与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围.

3．（2023高二下·黄浦期末）设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间，

（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，；

（2）若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围.

4．（2023高二下·安徽月考）已知函数.

（1）若，判断在上的单调性；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

5．（2023高一下·金华期末）已知函数.

（1）若，求的值；

（2）已知函数的图象经过，

（i）若，求的值；

（ii）若的三个零点为，且，求的值.

6．（2023高二下·湖州期末）已知函数（且）.

（1）求函数的奇偶性；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.

7．（2023·黄埔）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数．

8．（2023高一下·湖南期中）已知函数.

（1）证明：函数为奇函数；

（2）判断函数的单调性；

（3）若函数，其中，讨论函数的零点个数.

9．（2023高一下·富阳月考）已知函数.

（1）在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并写出单调增区间；

（2）方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.

10．已知函数．

（1）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；

（2）设函数，若，对总有成立，求的取值范围．

11．（2023高二下·十堰期末）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（参考数据：.）

12．（2023高一下·联合期末）已知函数．

（1）当函数是偶函数时，解不等式：；

（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

13．（2023高二下·宁波期末）已知定义在R上的函数，其中a为实数.

（1）当时，解不等式；

（2）若函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围；

（3）对于，若存在实数，满足，求的取值范围.（结果用a表示）

14．（2023高二下·工农月考）设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数存在两个零点，证明：.

15．（2023高一下·浙江期中）已知函数

（1）证明：函数在上单调递减；

（2）讨论关于x的方程的实数解的个数．

16．（2023高一下·浙江期中）已知函数（其中）.

（1）若且方程有解，求实数的取值范围；

（2）若是偶函数，讨论函数的零点情况.

17．（2023高二下·工农月考）已知函数（x∈R）为奇函数.

（1）求实数k的值；

（2）若对[-2，-1]，不等式≤6恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若函数-5在[1，+∞]上有零点，求实数的取值范围.

18．（2023·淮南模拟）已知函数，，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若方程恰有两个根，求a的取值范围.

19．（2023·连云模拟）已知函数．

（1）求函数在区间上的最大值；

（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

20．（2022高一上·诸暨期末）已知函数.

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）当时，函数恰有3个不同的零点，求实数的取值范围.

答案解析部分

1．【答案】（1）解：令得；

令得，即.

（2）解：令，得

即：

则：

（3）解：

令，则方程在内只有一个解，

并且时，代入方程有三个解，不符合题意.

设是方程的两根，令，则

(i)当，且在内时，有，此时，满足要求.

(ii)当或时，有

即

综上：或.

【解析】【分析】（1）令得；令，得；

（2）令，得，得函数解析式；

（3），令，则方程在内只有一个解，令，分和或讨论，求解即可.

2．【答案】（1）解：因为，所以.

当时，恒成立，则在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）解：因为函数与函数的图象有三个不同的交点，

所以关于的方程有三个不同的根.

令，则有三个不同的零点.

.

当时，单调递增，则至多有一个零点，不合题意.

令，则.

当时，因为，所以，

所以单调递减，所以至多有一个零点，不合题意.

当时，令，得，且.

当，即时，，则，所以在上单调递增.

因为是连续的函数，且，

所以，所以在上只有一个零点.

当或，即或时，，

则在上单调递减.

令，

则，所以在上单调递增.

因为，所以.

因为，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

设在上的零点为，且，

因为，故为奇函数，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

综上可知，的取值范围为

【解析】【分析】(1)数利用导研究函数f(x)的单调性；

(2)将两函数图象有三个不同的交点转化为函数有三个零点，利用导数研究函数的单调性，分析求解即可.

3．【答案】（1）解：对于，有，在区间，上是增函数，

则不是，上的单峰函数，

对于，有，

在区间，上，，是增函数，在区间，上，，是减函数，

故是，上的单峰函数，其峰点为

（2）解：根据题意，若函数是区间，上的单峰函数，

则在在区间，上先增后减，

其导数，则的值在区间，上先正后负，

若，，在区间，上为减函数，不符合题意；

若，设，则在区间，上恒成立，所以为区间，上的增函数，且，，

若，则，则的值在区间，上先负后正，不符合题意，

若，则，则的值在区间，上恒小于或等于0，不符合题意，

若，则，则的值在区间，上恒大于或等于0，不符合题意，

故在区间，上不存在，满足的值在区间，上先正后负，

综合可得：不存在实数，使函数是区间，上的单峰函数，即实数的集合为.

【解析】【分析】（1）根据“单峰函数”的定义即可分析两个函数是否是“单峰函数”；

（2）根据题意，可得的值在区间上先正后负，分与两种情况讨论，即可得出答案．

4．【答案】（1），

∵，∴，，∴，

∴当时，，∴函数在上单调递增.

（2）由题意得，，，则.

令，则，∴，.

（ⅰ）当，即时，令

，∴在上单调递增，则，

∴在上单调递增，∴，∴符合题意；

（ⅱ）当，即时，

①当时，，

故在区间上单调递减，∴，这与题设矛盾；

②当时，有，又，，令

，∴在上单调递增，

由零点存在性定理，知在上存在唯一零点，

∴当时，，此时，故与题设矛盾.

综上所述，的取值范围是.

【解析】【分析】(1)求出函数的导数，判断(1-x)与的正负，即可判定函数在上的单调性；

(2)求得，，再分3a-2≥0，3a-2<0两种情况讨论求解，即可求出的取值范围.

5．【答案】（1），

，

.

（2）由题设有，故，故.

（i）

.

（ii）因为，

所以.

若，则，

由（1）可知，当时，，所以.

所以也是函数的三个零点.

由，求得，所以.

由，求得，所以.

由，求得，所以.

所以，

同理可得，

又记，

所以

.

【解析】【分析】(1)根据f(-x)+f(x)=2可求出的值；

(2)先求出f(x)，

(i)把代入f(x)结合计算可得的值；

(ii)利用根分布可判断出，进而得出，，，再根据(i)中结论可得三根之间的关系，可得，进而求出的值.

6．【答案】（1）解：对于函数，有，则，解得，

所以函数的定义域为，

，故函数为奇函数.

（2）解：由可得，

则，

令，其中，

因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，

当时，，

因此，实数的取值范围是.

【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，观察是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义验证即可.

(2)先根据方程由实数根，解得，再构造函数（），求出g(x)的值域即可求出实数m的取值范围.

7．【答案】（1）解：由，可得，

令，解得，

当时，则，可得，在单调递减；

当时，则，可得，在单调递增；

故函数的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）解：由，得，

因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，

因为，所以的递增区间是，递减区间是，

所以当时，取最大值，

由（1）可知，当时，取最小值，

当，即时，函数与的图象没有交点，即函数没有零点；

当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点；

当，即时，函数有两个零点，

理由如下：

因为，

所以，，

由函数零点存在定理，知在内有零点.

又在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以在上只有一个零点.

又因为，

所以的图象关于直线对称，

因为的图象关于直线对称，

所以与的图象都关于直线对称，

所以在上只有一个零点.

所以，当时，有两个零点.

【解析】【分析】(1)求得，令，解得，结合导数的符号，即可求解出函数的单调区间；

(2)根据题意转化为函数f(x)与g(x)的图象的交点个数，根据二次函数的性质，得到g(x)的单调性和最值，由(1)知f(x)取最小值f(1)=2，分别分-28．【答案】（1）证明：，

则函数的定义域为，关于原点对称，

，所以函数为奇函数；

（2）解：，

又函数在和上单调递减，

由函数图象的平移可知在上单调递减，

而函数在上单调递增，利用复合函数的单调性质知，

函数在上单调递减；

（3）解：由，得，令，则，

当时，由，得，如图，

当时，，由图可知，对应有3个零点；

当时，，由图可知，对应有1个零点；

当时，如图，

由图可知，只有一个，对应有1个零点；

综上，当时，函数只有3个零点；

当时，函数只有1个零点；

当时，函数只有1个零点.

【解析】【分析】（1）根据对数函数的概念求出函数的定义域，结合奇偶函数的定义即可证明；

（2），利用复合函数的单调性质即可判断；

（3）令，则，分类讨论，时，结合图形，t分别对应的零点个数，进而得解.

9．【答案】（1）解：当时，；当时，，

所以，.

作出函数的图象如下图

由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）解：

如图2，作出函数与直线的图象.

由图2知，当时，直线与有4个交点，即方程有四个不相等的实数根，

所以，.

【解析】【分析】（1）由题意得，作出函数图象，数形结合可得函数的单调增区间；

（2）方程有四个不相等的实数根，即直线与有4个交点，数形结合即可得解.

10．【答案】（1）解：函数，由得，

依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，

，当时，，当时，，

因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，取最小值，最小值为，

，又，

所以.

（2）解：由总有成立知，

函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，

由（1）知，在区间上，，

当时，，当时，，当时，，

因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

于是，则有，即，

所以的取值范围是.

【解析】【分析】（1）先根据在区间上恰有2个不同的实数解，转化为与在区间上恰有2个交点，讨论的单调性后，通过数形结合即可求出m的范围.

（2）由题意可知，先根据（1）得到在的最小值；再讨论在的单调性求出最大值；最后根据，即可求的取值范围．

11．【答案】（1）解：因为，所以.

当时，恒成立，则在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）解：因为函数与函数的图象有三个不同的交点，

所以关于的方程有三个不同的根.

令，则有三个不同的零点.

.

当时，单调递增，则至多有一个零点，不合题意.

令，则.

当时，因为，所以，

所以单调递减，所以至多有一个零点，不合题意.

当时，令，得，且.

当，即时，，则，所以在上单调递增.

因为是连续的函数，且，

所以，所以在上只有一个零点.

当或，即或时，，

则在上单调递减.

令，

则，所以在上单调递增.

因为，所以.

因为，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

设在上的零点为，且，

因为，故为奇函数，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

综上可知，的取值范围为

【解析】【分析】(1)先对进行求导，对a进行分类讨论，利用导数和单调性的关系即可求判断单调性.

(2)将两个函数图象交点问题转化成方程零点问题，再利用导数的性质进行求解.

12．【答案】（1）解：函数的定义域为，

，

，

因为函数是偶函数，所以，即，

则有，化简得，

因为不恒为0，所以，即．

，即，

化简得，

即，

即，

解得，

所以不等式的解集为．

（2）解：由题有两个零点，

定义域为，

即方程在上有两个实数根，在上有两个实根，

即在上有两个实数根，

所以

令，则在上有两个实数根，

所以函数与图象有两个交点，

因为，

当时，，当时，，

结合函数的图象可知，当时，恰有两个交点，

所以实数的取值范围为．

【解析】【分析】(1)利用偶函数的定义可得，对不等式化简得，结合二次不等式和指数函数单调性运算求解；

(2)分析可知在上有两个实数根，换元令，可得函数与图象有两个交点，结合函数图象分析求解.

13．【答案】（1）解：，

当时，，无解；

当时，，即，满足题设；

所以的解集为；

（2）解：令，则有，，

如果，则有，当时都能成立，不满足题意；

当时，，又，a的取值范围是；

（3）解：对于，令有2个不同的实数解，并且，

当时，，当时，，函数的大致图像如下：

当并且时，有，即，

令，则，并且，，

令，则，

，显然是关于t的增函数，即，，

是关于t的增函数，，并且，即；

当时，，同理令，，，

，y是关于t的增函数，

；

所以的取值范围是；

综上，（1）的解集为，（2）a的取值范围是，（3）的取值范围是.

【解析】【分析】(1)将代入解不等式即可；

(2)令，分和两种情况讨论，分析求解；

(3)用求根公式将转化为a和m，再根据m的取值范围讨论，利用导数判断原函数的单调性，结合单调性分析求解.

14．【答案】（1）由于，则定义域为，

可得：，

当时，∵，∴，故在区间上单调递减；

当时，∵，∴由可得，由得，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）证明：∵，，，不妨设，

则有，，

两式相加得，相减得，

消去得：，

令，则，

要证，即证，也就是要证，即证，

令，

∵

∴在上为增函数，，即成立，故.

【解析】【分析】（1）由函数，可知定义域为，再求出函数的导函数，分、根据导函数的正、负讨论函数的单调性；

（2）易得，因时函数的两个零点，可得，，两式相加、相减消去整理可得：，令，则，要证明，即证，令，求导利用导数推出函数在区间的单调性，从而得证.

15．【答案】（1）解：任取，

则，

令，且，

则，，

所以，即，

故函数在上单调递减．

（2）解：关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，

由（1）可得：，

令，且，

则，，

所以，即，

故函数在上单调递减，

结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，

令，且，整理得，解得或，

故函数的图像如图所示：

可得函数的图像如图所示：

对于函数与常函数的交点个数，

则有：当时，交点个数为0个；当或时，交点个数为2个；

当时，交点个数为3个；当时，交点个数为4个．

【解析】【分析】（1）利用定义法令，化简得到，即可函数在上单调递减；

（2）将问题转化为函数与常函数的交点个数，根据函数单调性画出图形，进行翻折得到图形，进而讨论方程的实数解的个数．

16．【答案】（1）解：因为方程有解，所以方程有解，

即的值域与方程的值域相同.

所以，即，故

（2）解：因为是偶函数，所以，

有，解得，经检验满足题意.

函数的零点情况等价于的解的情况，

即，讨论的解的情况，

令，则

当时，，此时方程无解，

当时，函数开口向上，且恒过定点，

则只有一解，此时方程只有1解，

当时，函数开口向下，且恒过定点，且函数的对称轴，则方程（*）无解，

综上所述：当时函数无零点，当时函数有一个零点.

【解析】【分析】(1)根据题意进行参数分离，将方程有解问题转化成函数交点问题，对部分函数值域进行分析，从而得出参数有关的等式或不等式.

(2)需要从偶函数的定义得到k的值，进一步化简整体替换，从而得到新的函数并分类讨论m值结合二次函数图象与性质分析得出答案.

17．【答案】（1）解：因为是奇函数，

所以，解得k＝1，

此时符合题意．

（2）解：原问题即为，，即恒成立，

则，

设，∵，∴，

则，

∵，∴当时，取得最小值26，

要使不等式在上恒成立，则，

即实数m的最大值为26．

（3）解：，

则，

设，当x≥1时，函数为增函数，则，

若在上有零点，

则函数在上有零点，

即，即，

∵，当且仅当时取等号，

∴，即λ的取值范围是．

【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数f(0)=0可解得k的值；

(2)分离参数得，整体换元，易知3≤t≤9，利用二次函数的性质可求得实数m的取值范围；

(3)化简得，构造函数，利用函数为增函数，可得当x≥1时，，若在上有零点，则函数在上有零点，分离参数，利用基本不等式可求得实数的取值范围.

18．【答案】（1）解：，，

当时，，函数在上单调递增，

当时，当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）解：令，则，

设，则为增函数，，

当时，则，函数在上单调递增，则为增函数，

因此方程不可能有两个根；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，由于，

，方程恰有两个根，当且仅当有两个实根，因此，即，

由于，则在上恰有一个根，

函数，则，令，

即函数在上单调递增，，函数在上单调递增，

当时，，即，

于是，由于，

取，则，

因此在上恰有一个根，从而有两个实根，

所以a的取值范围是.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。

（2）令，再利用对数的运算法则，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出方程不可能有两个根，当时结合函数在上和在上的单调性以及，，从而得出方程恰有两个根，当且仅当有两个实根，因此，进而得出实数a的取值范围，由于，则在上恰有一个根，函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，于是，由于，取，则，因此在上恰有一个根，从而有两个实根，进而得出实数a的取值范围。

19．【答案】（1）解：当时，，则，

所以，函数在上单调递增，所以，.

（2）解：函数的定义域为，由可得，

令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，且，

当时，，则，所以，函数在上单调递增，

当时，，则，所以，函数在上单调递减，

所以，，

令，其中，则，则函数在上为增函数，

因为，，则存在，使得，

当时，；当时，.

由题意可知，直线与函数的